最小二乘法市公開課獲獎課件

1、第5章線性參數(shù)最小二乘處理第1頁第1頁 例 已知銅棒長度和溫度之間含有線性關系為 取得時銅棒長度和銅線膨脹系數(shù)，現(xiàn)測得不同溫度下銅棒長度，以下表，求，最可信賴值。.60.48.07.8.72.36454030252010第2頁第2頁 最小二乘法原理是一個在多學科領域中取得廣泛應用數(shù)據(jù)處理辦法。本章將重點闡述最小二乘法原理在線性參數(shù)和非線性參數(shù)預計中應用。從而使學生掌握最小二乘法基本思緒和基本原理，以及在等精度或不等精度測量中線性、非線性參數(shù)最小二乘預計辦法，并科學給出預計精度。教學目的第3頁第3頁 最小二乘法原理； 等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理； 不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理； 最小二乘

2、預計量精度預計； 組合測量最小二乘法處理；重點與難點第4頁第4頁第一節(jié)最小二乘原理 一、引入待測量（難以直接測量）：直接測量量：問題：如何依據(jù) 和測量方程解得待測 量預計值 ？第5頁第5頁直接求得 。有助于減小隨機誤差，方程組有冗余，采用最小二乘原理求 。討論：最小二乘原理：最可信賴值應使殘余誤差平方和最小。第6頁第6頁二、最小二乘原理 設直接測量量 預計值為 ，則有由此得測量數(shù)據(jù) 殘余誤差：殘差方程式第7頁第7頁 由概率論可知，各測量數(shù)據(jù)同時出現(xiàn)在相應區(qū)域概率為： 若 不存在系統(tǒng)誤差，互相獨立并服從正態(tài)分布，原則差分別為 ，則 出現(xiàn)在相應真值附近 區(qū)域內(nèi)概率為：第8頁第8頁測量值 已經(jīng)出現(xiàn)，

3、有理由認為這n個測量值出現(xiàn)于相應區(qū)間概率P為最大。要使P最大，應有最小由于結果只是靠近真值預計值，因此上述條件應表示為最小第9頁第9頁等精度測量最小二乘原理：最小 不等精度測量最小二乘原理：最小最小二乘原理（其它分布也合用） 測量結果最可信賴值應使殘余誤差平方和（或加權殘余誤差平方和）最小。第10頁第10頁三、等精度測量線性參數(shù)最小二乘原理線性參數(shù)測量方程和相應預計量為：殘差方程為：第11頁第11頁令則殘差方程矩陣表示式為等精度測量最小二乘原理矩陣形式：第12頁第12頁不等精度測量最小二乘原理矩陣形式：思緒一：權矩陣四、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘原理第13頁第13頁則有：思緒二：不等精度等精

4、度第14頁第14頁第二節(jié)正規(guī)方程 正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到有擬定解代數(shù)方程組。一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理正規(guī)方程第15頁第15頁正規(guī)方程：特點：主對角線分布著平方項系數(shù)，正數(shù)；相對于主對角線對稱分布各系數(shù)兩兩相等。第16頁第16頁看正規(guī)方程組中第r個方程：則正規(guī)方程可寫成即正規(guī)方程矩陣形式第17頁第17頁將代入到中，得：（待測量無偏預計）第18頁第18頁.60.48.07.8.72.36454030252010解：1）列出誤差方程令 為兩個待估參量，則誤差方程為例5.1 已知銅棒長度和溫度之間含有線性關系為 取得時銅棒長度和銅線膨脹系數(shù)，現(xiàn)測得不同溫度下銅棒長度，以下

5、表，求，最可信賴值。第19頁第19頁按照最小二乘矩陣形式計算則有：第20頁第20頁那么：第21頁第21頁二、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理正規(guī) 方程由此可得不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理正規(guī)方程：第22頁第22頁整理得：第23頁第23頁即不等精度正規(guī)方程將代入上式，得（待測量無偏預計）第24頁第24頁例5.2 某測量過程有誤差方程式及相應原則差： 試求 最可信賴值。解：首先擬定各式權第25頁第25頁令第26頁第26頁三、非線性參數(shù)最小二乘處理正規(guī)方程針對非線性函數(shù)其測量誤差方程為 令 ，現(xiàn)將函數(shù)在 處展開，則有第27頁第27頁將上述展開式代入誤差方程，令則誤差方程轉(zhuǎn)化為線性方程組于是可解得

6、 ，進而可得 。近似值第28頁第28頁為取得函數(shù)展開式，必須首先擬定 1）直接測量；2）通過部分方程式進行計算：從誤差方程中選取 最簡樸t個方程式，如令 ，由此可解得 。四、最小二乘原理與算術平均值原理關系 為擬定一個被測量X預計值x，對它進行n次直接測量，得n個數(shù)據(jù) ，相應權分別為，則測量誤差方程為第29頁第29頁按照最小二乘原理可求得結論：最小二乘原理與算術平均值原理是一致， 算術平均值原理是最小二乘原理特例。第30頁第30頁目的：給出預計量 精度。一、測量數(shù)據(jù)精度預計A）等精度測量數(shù)據(jù)精度預計對 進行n次等精度測量，得 預計量。能夠證實 是自由度（nt） 變量。依據(jù) 變量性質(zhì)，有第三節(jié)精

7、度預計 第31頁第31頁則可取作為 無偏預計量。因此測量數(shù)據(jù)原則差預計量為第32頁第32頁B）不等精度測量數(shù)據(jù)精度預計測量數(shù)據(jù)單位權原則差無偏預計第33頁第33頁二、最小二乘預計量精度預計A）等精度測量最小二乘預計量精度預計設有正規(guī)方程第34頁第34頁設利用上述不定乘數(shù)，可求得其中：第35頁第35頁由于 為等精度 互相獨立正態(tài)隨機變量，則同理可得則相應最小二乘預計值原則差為第36頁第36頁B）不等精度測量最小二乘預計量精度預計同理經(jīng)推導可得：各不定乘數(shù) 由 求得：第37頁第37頁第四節(jié)組合測量最小二乘處理 組合測量：通過直接測量待測參數(shù)組合量（普通是 等精度），然后對這些測量數(shù)據(jù)進行處理， 從而求得待測參數(shù)預計量，求其精度預計。以檢定三段刻線間距為例，要求檢定刻線A、B、C、D間距離 。ABCDABCD第38頁第38頁直接測量各組合量，