高考數(shù)學易錯點13 多面體的表面積和體積（解析版）

1、易錯點13 多面體的表面積和體積多面體，因其具有考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象的素養(yǎng)的特性，越來越引起出題專家組的青睞。易錯點1：基礎知識不扎實對立幾中一些常見結(jié)論要做到了然于胸，如：關于三棱錐中頂點在底面三角形上的射影問題的相關條件和結(jié)論要在理解的基礎上加以熟記；（2）在思維受阻時，要養(yǎng)成回頭看條件的習慣，問一問自己條件是否都用了呢？易錯點2：平面化處理意識不強，簡單的組合體畫不出適當?shù)慕孛鎴D致誤易錯點3：“想圖、畫圖、識圖、解圖”能力的欠缺，多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導致計算錯誤易錯點4：空間想象能力欠缺題組一：側(cè)面積與表面積1（2020年全國三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體

2、的表面積是ABCD 【答案】C【解析】由題2可知：該幾何體是棱長為的正方體割掉一部分剩下的一個角，如圖所示，其面積為：，故選：C 2（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_.【答案】【分析】 . 故答案為：. 3（2016年全國III）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為A B C90 D81【答案】B【解析】由三視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長為3的正方形，故面積都是9，前后兩個側(cè)面是平行四邊形，一邊長為3、該邊上的高為6，故面積都為18，左右兩個側(cè)面是矩形，邊長為和3，故面

3、積都為，則該幾何體的表面積為2(9 +18+)=54 +題組二：體積4（2017新課標）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為A B C D【答案】B【解析】解法一 由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積，故該組合體的體積故選B解法二 該幾何體可以看作是高為14，底面半徑為3的圓柱的一半，所以體積為選B5（2015新課標）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A

4、 B C D 【答案】D【解析】如圖，設正方形的棱長為1，則截取部分為三棱錐，其體積為，又正方體的體積為1，則剩余部分的體積為，故所求比值為6.（2019全國理16）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐OEFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(g).【答案】118.8【解析】該模型為長方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，分別為所在棱的中點，所以該模型體積為：，打印所用原料密度因為為，不考慮打印損耗，所以制作該模型

5、所需原料的質(zhì)量為：7.（2019年新課標2卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1則該半正多面體共有個面，其棱長為【答案】26,2【解析】由圖知，該半正多面體的面數(shù)為26，設所求棱長為a，則由題知， 第一空填26題組三：圓柱和圓錐中的問題8（2016全國II）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A2

6、0 B24 C28 D32【答案】C【解析】該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為由圖得，由勾股定理得：，故選C9（2021年全國新高考卷數(shù)學試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）ABCD【答案】B【分析】設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.10（2021上海卷）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則的面積的范圍_【答案】【解析】當點為的投影時，面積最??；當點為弧中點的投影時，面積最大，因此面積的取值范圍為 11（2018年全

7、國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標I卷）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為ABCD【答案】B【詳解】：根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.題組四：大題12【2021年新課標1卷】如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點（1）證明：；（2）若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積【答案】（1）見解析； （2）【解析】（1）因為在中，為中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為面，所以（2）方法一：由題意可

8、得,， 在中，由余弦定理得，所以，所以為直角三角形，且以為坐標原點，為軸，為軸，過作軸垂直于面，建系如圖：設點縱坐標為，因為，由相似可得，易得 ，所以，設面法向量，由，得；易得面法向量，所以，所以，由相似易得，所以方法二：幾何法如圖，取的三等分點，使得，取的三等分點，使得，連接、，因為，所以，所以，由（1）知：平面，所以平面，所以，又有，所以，所以，所以，所以，并且，因為，所以，所以，平面，平面，所以平面，則，所以即為二面角的平面角，所以，又因為，所以為等腰直角三角形，所以,由相似易得，13（2021全國甲卷文）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1(1)求三棱錐FEBC的體積；(2)已

9、知D為棱A1B1【答案】(1)；(2)見解析.【解析】(1)因為三棱柱的直三棱柱，所以，又，平面，所以平面，所以，所以為直角三角形，則為直角三角形，因為為中點，所以，所以(2)取中點，連接，因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以四點共面，因為側(cè)面為正方形，所以，又，所以，所以側(cè)面為正方形，又為中點，為中點，由平面幾何知識可知，又，所以平面，而平面，所以.14.【2021年乙卷】 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理

10、即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐體積公式即可求出【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，所以，從而，設，則，即，解得，所以因為底面，故四棱錐的體積為1圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為16 + 20，則=A1 B2 C4 D8【答案】B【解析】由三視圖可知，此組合體是由半個圓柱與半個球體組合而成，其表面積為，所以2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A B C D【答案】A【解析】由三視圖知，該幾何

11、體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，故選A3如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長 為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為A B C D【答案】C【解析】原毛坯的體積，由三視圖可知該零件為兩個圓柱的組合體，其體積，故所求比值為4正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點，則三棱錐的體積為A3 B C1 D【答案】C【解析】由題意可知，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，又，所以，故選C5已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓

12、周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 【答案】【解析】由圓錐底面面積是這個球面面積的，得，所以，則小圓錐的高為，大圓錐的高為，所以比值為6.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是 .【答案】10【解析】因為長方體的體積是120，E為的中點，所以，所以三棱錐的體積：.7已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若 的面積為，則該圓錐的體積為_【答案】8【詳解】：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.8如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形的中心為、為圓上的

13、點，分別是以，為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以，為折痕折起，使得、重合，得到三棱錐。當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積(單位：)的最大值為_。【解析】如圖連接交于，由題意，設等邊三角形的邊長為（），則，由題意可知三棱錐的高底面，三棱錐的體積為，設，則（），令，解得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以是取得最大值所以9.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，APC=90（1）證明：平面PAB平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐PABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）為圓錐頂點，為底面圓心，平面，在上，是圓內(nèi)接正三角形，即，平面平面，平面平面；（2）設圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，解得，在等腰直角三角形中，在中，三棱錐的體積為. 10.如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）證明：AA1/MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）設O為A1B1C1的中心，若AO=AB