2015年第十三屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)奧數(shù)試卷（六年級(jí)第2試）

1、 PAGE PAGE 132015年第十三屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試卷（六年級(jí)第2試）一、填空題（每小題5分,共60分）1（5分）計(jì)算：,得 2（5分）某商品單價(jià)先上調(diào),再下降20%才能降回原價(jià)該商品單價(jià)上調(diào)了 %3（5分）請(qǐng)你想好一個(gè)數(shù),將它加上5,其結(jié)果乘以2,再減去4,得到的差除以2,再減去你最初想好的那個(gè)數(shù),最后的計(jì)算結(jié)果是 4（5分）若（n是大于0的自然數(shù)）,則滿足題意的n的值最小是 5（5分）小明把一本書(shū)的頁(yè)碼從1開(kāi)始逐頁(yè)相加,加到最后,得到的數(shù)是4979,后來(lái)他發(fā)現(xiàn)這本書(shū)中缺了一張（連續(xù)兩個(gè)頁(yè)碼）那么,這本書(shū)原來(lái)有 頁(yè)6（5分）2015減去它的,再減去余下的,再減去余下的,

2、最后一次減去余下的,最后得到的數(shù)是 7（5分）已知兩位數(shù)與的比是5：6,則 8（5分）如圖,將1個(gè)大長(zhǎng)方形分成了9個(gè)小長(zhǎng)方形,其中位于角上的3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為9,15和12,由第4個(gè)角上的小長(zhǎng)方形的面積等于 9（5分）某項(xiàng)工程,開(kāi)始由6人用35天完成了全部工程的,此后,增加了6人一起來(lái)完成這項(xiàng)工程則完成這項(xiàng)工程共用 天10（5分）將1至2015這2015個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)出,得到一個(gè)多位數(shù)12345678920142015,這個(gè)多位數(shù)除以9,余數(shù)是 11（5分）如圖,向裝有水的圓柱形容器中放入三個(gè)半徑都是1分米的小球,此時(shí)水面沒(méi)過(guò)小球,且水面上升到容器高度的處,則圓柱形容器最多可以裝水 立方

3、分米12（5分）王老師開(kāi)車從家出發(fā)去A地,去時(shí),前的路程以50千米/小時(shí)的速度行駛,余下的路程行駛速度提高20%;返回時(shí),前的路程以50千米/小時(shí)的速度行駛,余下的路程行程速度提高32%,結(jié)果返回時(shí)比去時(shí)少用31分鐘,則王老師家與A地相距 千米二、解答題（每小題15分,共60分）每題都要寫(xiě)出推算過(guò)程13（15分）二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制,其中二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的方法如下：那么,將二進(jìn)制數(shù) 11111011111 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),是多少?14（15分）如圖,半徑分別是15厘米、10厘米、5厘米的圓形齒輪A、B、C為某傳動(dòng)機(jī)械的一部分,A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后帶動(dòng)B勻速轉(zhuǎn)動(dòng),而后帶動(dòng)C勻速轉(zhuǎn)

4、動(dòng),請(qǐng)問(wèn)：（1）當(dāng)A勻速順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),C是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)?（2）當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí),C轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈?15（15分）一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體被切割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體,若這些小正方體的表面積之和是切割前的大正方體的表面積的倍,求切割成小正方體中,棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)?16（15分）如圖,點(diǎn)M、N分別是邊長(zhǎng)為4分米的正方形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn),P、Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從M出發(fā),P沿正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),速度是1米/秒;Q沿正方形的邊順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),速度是2米/秒求：（1）第1秒時(shí)NPQ的面積;（2）第15秒時(shí)NPQ的面積;（3）第2015秒時(shí)NPQ的面積2015年第十三屆小學(xué)

5、“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試卷（六年級(jí)第2試）參考答案與試題解析一、填空題（每小題5分,共60分）1（5分）計(jì)算：,得【解答】解：）2（）2（）2（5分）某商品單價(jià)先上調(diào),再下降20%才能降回原價(jià)該商品單價(jià)上調(diào)了25%【解答】解：把原價(jià)是1設(shè)單價(jià)上調(diào)了x（1+x）（120%）1 （1+x）0.81 1+x1.25 x1.251 x0.25 x25%答：該商品單價(jià)上調(diào)了25%故答案為：253（5分）請(qǐng)你想好一個(gè)數(shù),將它加上5,其結(jié)果乘以2,再減去4,得到的差除以2,再減去你最初想好的那個(gè)數(shù),最后的計(jì)算結(jié)果是3【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)是a,（a+5）242a2a+62aa+3a3,故答案為：34（5分）

6、若（n是大于0的自然數(shù)）,則滿足題意的n的值最小是3【解答】解：當(dāng)n1時(shí),不等式左邊等于,小于,不能滿足題意;當(dāng)n2時(shí),不等式左邊等于+,小于,不能滿足題意;同理,當(dāng)n3時(shí),不等式左邊大于,能滿足題意;所以滿足題意的n的值最小是3故答案是：35（5分）小明把一本書(shū)的頁(yè)碼從1開(kāi)始逐頁(yè)相加,加到最后,得到的數(shù)是4979,后來(lái)他發(fā)現(xiàn)這本書(shū)中缺了一張（連續(xù)兩個(gè)頁(yè)碼）那么,這本書(shū)原來(lái)有100頁(yè)【解答】解：設(shè)這本書(shū)的頁(yè)碼是從1到n的自然數(shù),正確的和應(yīng)該是1+2+nn（n+1）,由題意可知,n（n+1）4979,由估算,當(dāng)n100,n（n+1）1001015050,所以這本書(shū)有100頁(yè)答：這本書(shū)共有100頁(yè)

7、故答案為：1006（5分）2015減去它的,再減去余下的,再減去余下的,最后一次減去余下的,最后得到的數(shù)是1【解答】解：2015（1）（1）（1）（1）20151故答案為：17（5分）已知兩位數(shù)與的比是5：6,則45【解答】解：因?yàn)椋?0a+b）：（10b+a）5：6,所以（10a+b）6（10b+a）560a+6b50b+5a所以55a44b則ab,所以b只能為5,則a4所以45故答案為：458（5分）如圖,將1個(gè)大長(zhǎng)方形分成了9個(gè)小長(zhǎng)方形,其中位于角上的3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為9,15和12,由第4個(gè)角上的小長(zhǎng)方形的面積等于20【解答】解：如圖,設(shè)D的面積為x,9：1215：x 9x121

8、5 x x20 答：第4個(gè)角上的小長(zhǎng)方形的面積等于20故答案為：209（5分）某項(xiàng)工程,開(kāi)始由6人用35天完成了全部工程的,此后,增加了6人一起來(lái)完成這項(xiàng)工程則完成這項(xiàng)工程共用70天【解答】解：總工作量看做單位“1”剩余工作量為1,一個(gè)人的工作效率為635,（1）635（6+6）（63512）35（天）35+3570（天）答：完成這項(xiàng)工程共用70天故答案為：7010（5分）將1至2015這2015個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)出,得到一個(gè)多位數(shù)12345678920142015,這個(gè)多位數(shù)除以9,余數(shù)是0【解答】解：連續(xù)9個(gè)自然數(shù)的數(shù)字和必是9的倍數(shù),201592238,所以可以取出前8位,從9開(kāi)始后面的數(shù)字

9、和正好是9的倍數(shù),12345678的數(shù)字和是：1+2+3+4+5+5+7+836,12345678也能被9整除,所以：多位數(shù)12345678920142015除以9的余數(shù)是0故答案為：011（5分）如圖,向裝有水的圓柱形容器中放入三個(gè)半徑都是1分米的小球,此時(shí)水面沒(méi)過(guò)小球,且水面上升到容器高度的處,則圓柱形容器最多可以裝水188.4立方分米【解答】解：3.14133（）12.5615188.4（立方分米）答：圓柱形容器最多可以裝水188.4立方分米故答案為：188.412（5分）王老師開(kāi)車從家出發(fā)去A地,去時(shí),前的路程以50千米/小時(shí)的速度行駛,余下的路程行駛速度提高20%;返回時(shí),前的路程以

10、50千米/小時(shí)的速度行駛,余下的路程行程速度提高32%,結(jié)果返回時(shí)比去時(shí)少用31分鐘,則王老師家與A地相距330千米【解答】解：已知去時(shí)的速度為50千米/小時(shí),余下的路程行駛速度是50（1+20%）50千米/小時(shí);返回的速度為50千米/小時(shí),余下的路程行駛速度是50（1+32%）66千米/小時(shí)設(shè)總路程為x千米,得：（x+x）（x+x） xx x x330答：王老師家與A地相距330千米故答案為：330二、解答題（每小題15分,共60分）每題都要寫(xiě)出推算過(guò)程13（15分）二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制,其中二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的方法如下：那么,將二進(jìn)制數(shù) 11111011111 轉(zhuǎn)化為

11、十進(jìn)制數(shù),是多少?【解答】解：（11111011111）21210+129+128+127+126+025+124+123+122+121+1201024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1（2015）10答：是201514（15分）如圖,半徑分別是15厘米、10厘米、5厘米的圓形齒輪A、B、C為某傳動(dòng)機(jī)械的一部分,A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后帶動(dòng)B勻速轉(zhuǎn)動(dòng),而后帶動(dòng)C勻速轉(zhuǎn)動(dòng),請(qǐng)問(wèn)：（1）當(dāng)A勻速順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),C是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)?（2）當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí),C轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈?【解答】解：（1）如圖,答：當(dāng)A勻速順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),C是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（2）A：B：C15：10：53：2：1答：當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)一

12、圈時(shí),C轉(zhuǎn)動(dòng)了3圈15（15分）一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體被切割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體,若這些小正方體的表面積之和是切割前的大正方體的表面積的倍,求切割成小正方體中,棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)?【解答】解：大正方體表面積：666216,體積是：666216,切割后小正方體表面積總和是：216720,假設(shè)棱長(zhǎng)為5的小正方體有1個(gè),那么剩下的小正方體的棱長(zhǎng)只能是1,個(gè)數(shù)是：（6353）1391（個(gè)）,這時(shí)表面積總和是：526+12691696720,所以不可能有棱長(zhǎng)為5的小正方體（1）同理,棱長(zhǎng)為4的小正方體最多為1個(gè),此時(shí),不可能有棱長(zhǎng)為3的小正方體,剩下的只能是切割成棱長(zhǎng)為2的小正方體或棱長(zhǎng)為1

13、的小正方體,設(shè)棱長(zhǎng)為2的小正方體有a個(gè),棱長(zhǎng)為1的小正方體有b個(gè),則解得：（2）棱長(zhǎng)為3的小正方體要少于（63）（63）（63）8個(gè),設(shè)棱長(zhǎng)為2的小正方體有a個(gè),棱長(zhǎng)為1的小正方體有b個(gè),棱長(zhǎng)為3的小正方體有c個(gè),化簡(jiǎn)：由上式可得：b9c+24,a,當(dāng)c0時(shí),b24,a24,當(dāng)c1時(shí),b33,a19.5,（不合題意舍去）當(dāng)c2時(shí),b42,a15,當(dāng)c3時(shí),b51,a10.5,（不合題意舍去）當(dāng)c4時(shí),b60,a6,當(dāng)c5時(shí),b69,a28.5,（不合題意舍去）當(dāng)c6時(shí),b78,a3,（不合題意舍去）當(dāng)c7時(shí),a負(fù)數(shù),（不合題意舍去）所以,棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)只能是：56或24或42或60個(gè)答：棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)只能是：56或24或42或60個(gè)16（15分）如圖,點(diǎn)M、N分別是邊長(zhǎng)為4分米的正方形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn),P、Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從M出發(fā),P沿正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),速度是1米/秒;Q沿正方形的邊順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),速度是2米/