微分方程建模市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、微分方程建模吉林大學(xué) 方沛辰第1頁(yè)第1頁(yè)大家知道導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)意義路程數(shù) 量能量利息流量切削量速度增長(zhǎng)率功率利率流速切削速度它含義通常是改變率、速度等，隨詳細(xì)問(wèn)題而定。（1）當(dāng)y=f(x)是一條曲線時(shí)，y(x)是x點(diǎn)處切線斜率。（2）當(dāng)x=x(t)是一個(gè)隨時(shí)間改變量， 是單位時(shí)間相應(yīng)量。 （3）當(dāng)某一個(gè)量為常數(shù)時(shí)，問(wèn)題 就簡(jiǎn)樸了。（4）導(dǎo)數(shù)也是函數(shù)。第2頁(yè)第2頁(yè)微分方程建模1.放水過(guò)程有一個(gè)柱狀水箱，水平截面積為常數(shù)A，本來(lái)水高H，t=0時(shí)刻下面一個(gè)面積為B門(mén)打開(kāi)開(kāi)始放水，求之后水位與t關(guān)系，何時(shí)水放光？解：開(kāi)門(mén)后，水自然向外流，開(kāi)始快，以后越來(lái)越慢，記t時(shí)刻水位為h(t)小門(mén)處流速為v(t)，

2、由能量守恒定律，門(mén)口處水勢(shì)能要轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，兩者相等。則在t，t+t之間，-(h(t+t)-h(t)A=Bv(t)t，即體積改變等于流出水量。令t0則有第3頁(yè)第3頁(yè)是變量分離常微分方程。初始情況是t=0時(shí)，h(0)=H,這就是水位與時(shí)間關(guān)系。在h=0，即水放光時(shí)第4頁(yè)第4頁(yè)2.耐用消費(fèi)品銷售新產(chǎn)品銷售量一個(gè)耐用消費(fèi)品進(jìn)入市場(chǎng)后，普通是開(kāi)始銷得慢，逐步加快，當(dāng)普及了之后，速度又逐步減小，Product Life Cycle產(chǎn)品生命周期。有些人認(rèn)為應(yīng)當(dāng)是鐘型曲線，請(qǐng)建模分析一下PLC曲線。新產(chǎn)品銷售規(guī)律對(duì)于制定計(jì)劃指揮生產(chǎn)，增進(jìn)銷售有指導(dǎo)意義。問(wèn)題分析：未購(gòu)買(mǎi)者購(gòu)買(mǎi)常通過(guò)兩種渠道宣傳： 1.廠家或銷

3、售商廣告宣傳，另外在商店看到商品表演，總之是消費(fèi)者之外信息傳播； 2.已購(gòu)買(mǎi)者對(duì)未購(gòu)買(mǎi)者宣傳，這是消費(fèi)者內(nèi)部信息交流。耐用消費(fèi)品通常一個(gè)家庭有一個(gè)即可，比如洗衣機(jī)、電冰箱、微波爐、熱水器、DVD因此銷售數(shù)量即為銷售人數(shù)，不重復(fù)購(gòu)買(mǎi)建立模型：記潛在市場(chǎng)人數(shù)為K，n(t)為t時(shí)刻已購(gòu)買(mǎi)者人數(shù)，t到t+t之間n1為完全由消費(fèi)者外信息交流造成增長(zhǎng)量, n2為由消費(fèi)者內(nèi)部造成消費(fèi)增長(zhǎng)量。第5頁(yè)第5頁(yè)n1與未購(gòu)買(mǎi)者成正比，即n1=a(K-n(t) t, n2與未購(gòu)買(mǎi)者成正比，也與已購(gòu)買(mǎi)者成正比，因此 n2=bn(t)(K-n(t)t,其中a,b為百分比系數(shù)（常數(shù)）總增量 n(t)=n1+ n2=a(K-n

4、(t) t+ bn(t)(K-n(t) t設(shè)n(0)=0，微分方程解為：思考：新產(chǎn)品銷售時(shí)還常有雙峰現(xiàn)象，即開(kāi)始有一個(gè)小高峰，接著持平或下落，然后出現(xiàn)更大高峰，研究這個(gè)現(xiàn)象。假設(shè)假設(shè)第6頁(yè)第6頁(yè)3.二氧化碳吸取空氣通過(guò)盛有CO2吸取劑圓柱形器皿，已知它吸取CO2量與CO2濃度及吸取層厚度成正比，今有含CO28%空氣通過(guò)厚度為10cm吸取層后濃度為2%，求： （1）若吸取層變?yōu)?0cm厚，出口濃度是多少？ （2）要使出口濃度為1%，應(yīng)當(dāng)設(shè)多厚吸取層？解：記吸取層厚度為d，等分n份，每小層d/n厘米。入口濃度為8%，在每小層看吸取量，第一層后被吸取量為：k8%d/n，含量變?yōu)椋旱诙游×说诙雍?/p>

5、濃度=第7頁(yè)第7頁(yè)依這類推，最后第n層后濃度為從而n即無(wú)限細(xì)分通過(guò)d厘米后出口濃度這就是我們要求表示式。在通過(guò)10cm厚吸取層后濃度為2%：8%e-k*10=2%得到（1）在通過(guò)30cm厚吸取層后濃度為8%e-30*ln2/5=8%/26=0.125%（2）要使出口濃度為1%，8%e-d*ln2/5=1%，則d=15cm練習(xí)：1.用處理放水問(wèn)題和耐用消費(fèi)品銷售量辦法推出出口 濃度與吸取層厚度關(guān)系模型。2.推出線長(zhǎng)度為L(zhǎng)單擺周期計(jì)算公式。馬上拿紙做，下課交，做什么程度算什么樣。第8頁(yè)第8頁(yè)引入變量t：表示厚度改變，引入函數(shù)f(t)表示通過(guò)厚度t后濃度：在(t,t+t)中f(t)增量相反數(shù)即為濃度

6、吸取量，它與濃度和厚度成正比：第9頁(yè)第9頁(yè)周期性靜脈注射一室模型由藥物動(dòng)力學(xué)理論，一次靜脈注射D0藥物后通過(guò)時(shí)間t，體內(nèi)血藥濃度為其中k0為消除速率常數(shù)，V為表觀分布體積，若每隔時(shí)間注射一次，試求n次注射后體內(nèi)血藥濃度cn(t)與n次注射后時(shí)間t關(guān)系。解第一次注射后，體內(nèi)血藥濃度為：第二次注射前，體內(nèi)血藥濃度為：第二次注射后瞬間，血藥濃度為：第二次注射后，體內(nèi)血藥濃度為：第三次注射前，體內(nèi)血藥濃度為：第三次注射后瞬間，血藥濃度為：第10頁(yè)第10頁(yè)第三次注射后：依這類推，第n次注射后算起t時(shí)刻血藥濃度：由函數(shù)可見(jiàn)每次注射后，下降規(guī)律相同，n增大時(shí)cn(t)增大，n無(wú)限增大是否有極限呢？這是穩(wěn)態(tài)后

7、血藥濃度，稱為坪濃度，第11頁(yè)第11頁(yè)臨床應(yīng)用：（1）制定給藥方案D0，改變影響(c)max, (c)min,css.如何選取呢？應(yīng)使血藥濃度始終在最小有效濃度Ce到最小中毒濃度之間。于是取(c)min=最小有效濃度Ce， (c)max=最小中毒濃度，然后從中解出作為最大給藥間隔，再令(c)min=Ce（2）負(fù)荷劑量醫(yī)生常希望病人馬上進(jìn)入坪濃度，然后每隔補(bǔ)充維持劑量D0，故第一次劑量應(yīng)大些，稱負(fù)荷劑量或沖擊劑量，記為D*0。第12頁(yè)第12頁(yè)負(fù)荷劑量是平時(shí)劑量(1-e-k)-1倍。有時(shí)醫(yī)生常以2倍劑量為沖擊劑量，相稱于令(1-e-k)-1 =2，則=ln2/k=T1/2半衰期，僅當(dāng)?shù)扔诨蚩拷胨?/p>

8、期才合乎要求，不然不妥。練習(xí)題1.曲柄連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。OA以為角速度旋轉(zhuǎn)，t=0時(shí)OA與OB重疊。2.美元換加拿大元時(shí)幣面數(shù)量增長(zhǎng)12%，加拿大元換美元時(shí)幣面數(shù)量減少12%，有一美國(guó)人欲上加拿大旅游而換了1000$，后因故未去，再換回美元，他損失沒(méi)有？AORLB第13頁(yè)第13頁(yè)第14頁(yè)第14頁(yè)微分方程處理問(wèn)題時(shí)慣用4種方法建立模型： 1.直接分析y與x之間關(guān)系，建立模型； 2.無(wú)限細(xì)分利用趨近于e特殊極限建立模型； 3.把變量和它各階導(dǎo)數(shù)都看作不同變量，綜合建模。比如運(yùn)動(dòng)學(xué)中t表示時(shí)間，x表示走過(guò)路程， 表示速度， 表示加速度，各當(dāng)作各量建模。 4.追擊問(wèn)題有特殊一套建模方法，下面我們介紹幾

9、個(gè)這種方法建模例題。在追擊問(wèn)題里，追擊者常瞄著逃跑者而追去，兩者之間坐標(biāo)形成一個(gè)差向量(x2-x1,y2-y1)，它就是追擊曲線切向量方向。(x1,y1)(x2,y2)令y=y2-y1， x=x2-x1，注意到：y= y/x利用這一點(diǎn)，不久就建立起微分方程來(lái)。第15頁(yè)第15頁(yè)導(dǎo)彈打敵艦一艘導(dǎo)彈驅(qū)逐艦在距敵艦a時(shí)發(fā)射一枚自動(dòng)跟蹤導(dǎo)彈，與此同時(shí)敵艦以v0a速度向與兩船聯(lián)線垂直方向逃走，導(dǎo)彈速度是5v0a，求導(dǎo)彈追擊軌跡與擊中時(shí)間。解以兩船聯(lián)線為橫軸，驅(qū)逐艦為原點(diǎn)建坐標(biāo)架。引入單位a，將所有距離及速度都除以a，以便計(jì)算。Oy1 xP(x,y)Q(1,v0t)記t=0導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻，t時(shí)刻敵船在Q，坐標(biāo)

10、為：(1,v0t)，導(dǎo)彈位置P(x,y)，差向量(1-x,v0t-y)就是曲線切向量，模型里y(t)，x(t)都是t函數(shù)，但是三個(gè)變量不好處理，注意我們要求是y(x)。第16頁(yè)第16頁(yè)再建立一個(gè)y(t)，x(t)，t關(guān)系：t時(shí)間里導(dǎo)彈已飛行距離是可求。消去t得到這個(gè)微分方程用我們所學(xué)過(guò)知識(shí)解不了，只能用MatLab求解。語(yǔ)句格式是y=dsolve(方程1，方程n，初始條件，自變量) 其中Y用Dy表示，y用D2y表示，相關(guān)情況可參考嗎MatLab書(shū)籍。求出結(jié)果x=1時(shí)y=5/24即為擊中位置，擊中時(shí)間5/(24v0)第17頁(yè)第17頁(yè)四人追擊游戲四個(gè)人分別站在一個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)上，號(hào)令一下開(kāi)始追擊

11、，規(guī)則是每人分別追擊自己前面一個(gè)人（逆時(shí)針?lè)较颍簿褪茿B，BC,CD,DA,假設(shè)每個(gè)人速度v始終都相同，最后結(jié)果是如何？總用時(shí)多少？路線是什么曲線？BACDA1B1C1D1分析：1.追擊開(kāi)始后，大家將進(jìn)入正方形里面，距離將變小，由于追擊規(guī)則及四個(gè)人速度和方向假定，四人還是在某個(gè)正方形頂點(diǎn)上。2.會(huì)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)人繞一個(gè)圓循環(huán)追？不會(huì)！距離會(huì)不斷縮小最后到一點(diǎn)，就是正方形中心。追擊曲線是四條指向中心螺旋線（也許繞中心幾周）3.坐標(biāo)架怎么建？O點(diǎn)在中心，直角坐標(biāo)架。O第18頁(yè)第18頁(yè)如圖把A和B瞬時(shí)位置記為P和Q，P坐標(biāo)識(shí)為P(x,y)，BACDOPQxy-yx考慮Q點(diǎn)坐標(biāo)Q(-y,x),于是差向量為按照上題辦法但x和y都是t函數(shù)，還是建立X(t)和y(t)表示式為好。xy(-y-x,x-y)引入P點(diǎn)附近dx和dy利用三角形相同性得到第19頁(yè)第19頁(yè)這個(gè)方程組很難解，并且我們注意到曲線將圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)些圈，用極坐標(biāo)將使問(wèn)