高中數(shù)學公式完全總結(jié)歸納2

1、學習必備 歡迎下載均值不等式歸納總結(jié)1. 1如a,bR,就a2b22 ab2如a,bR,就aba22b2（當且僅當ab時取“=” ）2. 1如a,bR*,就a2bab2如a,bR*,就ab2ab（當且僅當ab時取“=” ）23如 a , b R *,就 ab a b 當且僅當 a b 時取“=” ）23.如 x 0,就 x 1 2 當且僅當 x 1 時取“=” ）x如 x 0,就 x 12 當且僅當 x 1 時取“=” ）x如 x 0,就 x 12 即 x 12 或 x 1-2 當且僅當 a b 時取“ =” ）x x x4.如 ab 0,就 a b2 當且僅當 a b 時取“=” ）b a如

2、 ab 0,就 a b2 即 a b2 或 a b-2 當且僅當 a b 時取“=” ）b a b a b a2 25.如 a, b R,就 a b 2 a b（當且僅當 a b 時取“=” ）2 2p s .1當兩個正數(shù)的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數(shù)的和為定植時,可以求它們的積的最小值,正所謂“ 積定和最小,和定積最大” 2求最值的條件“ 一正,二定,三取等”3均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范疇、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用學習必備 歡迎下載應用一：求最值例 1：求以下函數(shù)的值域1（1）y3x 22x 21（2）yxx解：1y3x 21 2x 2 2學

3、習必備歡迎下載值域為6 ,+）3x 21 2x 26 2當 x0 時,yx1 x2x12；x1=2 x當 x0 時, yx1= （ x1）2xxx值域為（,2 2,+）解題技巧技巧一：湊項4x例已知x5,求函數(shù)y4x2415的最大值；1不是常數(shù),所以對4x解：因 4x50,所以第一要“ 調(diào)整” 符號,又 4x2g 4x52要進行拆、湊項,231Qx5 , 454x0,y4x241554x51x3x4當且僅當54x51x,即x1時,上式等號成立,故當x1時,y max1；4評注：此題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值；技巧二：湊系數(shù)例 1. 當 時,求 y x 8 2 x 的最大值

4、；解析：由 知,利用均值不等式求最值,必需和為定值或積為定值,此題為兩個式子積的形式,但其和不是定值；留意到 2 x 8 2 8 為定值,故只需將 y x 8 2 x 湊上一個系數(shù)即可；當,即 x2 時取等號 當 x2 時,y x 8 2 x 的最大值為 8；學習必備 歡迎下載評注：此題無法直接運用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值；變式：設0 xx3,求函數(shù)y4x 32x 的最大值；x 22 x32x292解：0 x332x0y4x 32x22x32222當且僅當232x ,即x30 ,3時等號成立；42技巧三： 分別例 3. 求yx27x10 x1的值域

5、；x1）的x1解析一：此題看似無法運用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有（項,再將其分別；當,即時,y2（x1x4159（當且僅當 x1 時取“ ” 號）；技巧四：換元解析二：此題看似無法運用均值不等式,可先換元,令 求最值；yt2 17t1 +10=t25 t4t45tttt=x1,化簡原式在分別當,即 t=時,y2t459（當 t=2 即 x1 時取“ ” 號）；t評注：分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值；即化為ymg x AB A0,B0,gx 恒正或g x 恒負的形式,然后運用均值不等式來求最值；技巧五：在應用最值定理求最值時,如遇

6、等號取不到的情形,結(jié)合函數(shù)f x xa x的單調(diào)性；的值域；例：求函數(shù)yx25x24解：令x24t t2,就yx22學習必備x24歡迎下載4t1t251x4x2t因 t 0, t 1t 1,但 t 1t解得 t 1 不在區(qū)間 2,故等號不成立,考慮單調(diào)性；由于 y t 1t在區(qū)間 1, 單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間 2, 為單調(diào)遞增函數(shù),故y 5；2所以,所求函數(shù)的值域為 5 ,；2練習求以下函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x 的值. （1）y x 23 x 1, x 0（2）y 2 x 1 , x 3x x 313 y 2sin x , x 0, sin x2 已 知 0 x 1, 求 函 數(shù)

7、y x 1 x 的 最 大 值 . ； 3 0 x 2, 求 函 數(shù)3y x 2 3 x 的最大值 . 條件求最值1.如實數(shù)滿意ab2,就3a3b的最小值是 . 分析：“ 和” 到“ 積” 是一個縮小的過程,而且 a 3 b理求最小值,定值,因此考慮利用均值定解：a 3 和3b都是正數(shù),3aa3b2a 33b 332a 3bb61即當ab1時,3a3b的當3a3b時等號成立,由b2及ab得a最小值是 6變式：如log4xlog4y2,求11 y的最小值 .并求 x,y 的值x技巧六：整體代換學習必備 歡迎下載多次連用最值定理求最值時,要留意取等號的條件的一樣性,否就就會出錯；2：已知 x 0,

8、 y 0,且1 91,求 x y的最小值；x y錯 解 ： Q x 0, y 0, 且 1x 9y 1,x y 1x 9y x y 2xy 9 2 xy 12 故x y min 12；錯因：解法中兩次連用均值不等式,在 x y 2 xy 等號成立條件是 x y ,在1x 9y 2xy 9 等號成立條件是 1x 9y即 y 9 x ,取等號的條件的不一樣,產(chǎn)生錯誤；因此,在利用均值不等式處理問題時,列出等號成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法；正解：Qx0,y0,191,xyxy19y9x1061016x4,y12時 ,xyxyxy當 且 僅 當y9 xy時 , 上 式 等

9、 號 成 立 , 又191, 可 得xyxxymin16；的最小值變式： （1）如x,yR且2xy1,求11xy2已知a,b ,x,yR且ab1,求xy的最小值xy技巧七已知 x,y 為正實數(shù),且 x 2y 21,求 x1y2的最大值 . 2；2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采納公式a 2b a b 2同時仍應化簡學習必備歡迎下載x1y2x21y 21y2中 y2前面的系數(shù)為1 2,22 x1 2y 2 2分別看成兩個因式：y 2123即 x1y2下面將 x,1y 2221y 2 2x 2y 2 2x 2x 1 22222242 x1y 23 42 22技巧八：1 已知 a ,b 為正

10、實數(shù), 2b a b a 30,求函數(shù) ya b的最小值 . 分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題,通常有兩個途徑,一是通過消元,轉(zhuǎn)化為 一元函數(shù)問題,再用單調(diào)性或基本不等式求解,對此題來說,這種途徑是可行 的；二是直接用基本不等式,對此題來說,因已知條件中既有和的形式,又有積 的形式,不能一步到位求出最值,考慮用基本不等式放縮后,再通過解不等式的 途徑進行；法一：a 302b,a b 302bb 2 b230bb 1b 1b 1由 a 0 得,0b 15 令 tb +1,1t16,a b 學習必備歡迎下載2（t16） 34t162t234t31ttt162 t8 t1a b 18 y當且僅當 t

11、4,即 b 3,a 6 時,等號成立；18法二：由已知得： 30a b a 2b a 2b 2 2 a b30a b2 2 a b令 u a b 就 u22 2 u 300, 5 2 u 3 2 1 a b3 2 ,a b 18,y18點評：此題考查不等式 a bab（a, b R）的應用、不等式的解法及運算能2力；如何由已知不等式 ab a 2 b 30（a, b R）動身求得 ab的范疇,關(guān)鍵是查找到 a b 與 ab 之間的關(guān)系,由此想到不等式 a b ab（a, b R）,這樣將已知條件2轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式,進而解得 ab 的范疇. 變式： 1.已知 a 0,b 0,a b a b

12、 1,求 a b 的最小值；2.如直角三角形周長為 1,求它的面積最大值；技巧九、取平方5、已知 x,y 為正實數(shù), 3x2y10,求函數(shù) W3x 2y 的最值 . ,本解法一：如利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a ba 2b 222題很簡潔3x 2y 2 （3x ）2（2y ）22 3x2y 25 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式,設法直接用基本不等式,應通過平方化函數(shù)學習必備 歡迎下載式為積的形式,再向“ 和為定值” 條件靠攏；W 0 , W2 3x 2y 23x2y 10 23x82y10 3x 22y 2 103x2y20 W 20 25 變式:求函數(shù)y2x152 1x5的最大值；

13、22解析：留意到 2x1與52x 的和為定值；y22x152 2422x152 42x152 又y0,所以 0y22當且僅當 2x1= 52x ,即x3時取等號；故y max2 2；2評注：此題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“ 和為定值” ,為利用均值不等式制造了條 件；總之,我們利用均值不等式求最值時,肯定要留意“ 一正二定三相等” ,同時仍要 留意一些變形技巧,積極制造條件利用均值不等式；應用二：利用均值不等式證明不等式1已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證：a2b2c2abbcca1 ）正數(shù)a ,b ,c滿意 a b c 1,求證： 1 a 1 b 1 c 8a b c例 6：已知 a 、b 、cR ,且abc1；求證：1111118,abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2” 連乘,又1 a11aabac2bc,可由此變形入手；a解： Q a 、b 、cR ,abc1；111aabac2bc；同理1 b12acaab112ab；上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得cc1111112bc2 gac2 gab8；當且僅當abc1時取等號；3abcabc學習必備 歡迎下載應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且1 x0