高中數(shù)學必修知識點及其配套習題

1、高中數(shù)學必修 4 學問點 正角 : 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 1,任意角 負角 : 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 : 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角 2,角 的頂點與原點重合,角的始邊與 限,就稱 為第幾象限角 x 軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象 第一象限角的集合為 k 360 ok 360 o 90 o , k o o o o其次象限角的集合為 k 360 90 k 360 180 , k o o o o第三象限角的集合為 k 360 180 k 360 270 , k o o o o第四象限角的集合為 k 360 270 k 360 360 , k o終邊在 x 軸上的角的集合為 k 180 ,

2、 k 終邊在 y 軸上的角的集合為 k 180 o 90 o , k o終邊在坐標軸上的角的集合為 k 90 , k o3,與角 終邊相同的角的集合為 k 360 , k 4,已知 是第幾象限角, 確定 n *所在象限的方法： 先把各象限均分 n 等 n份,再從 x 軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標上一,二,三,四,就 原先 是第幾象限對應(yīng)的標號即為 終邊所落在的區(qū)域 n5,長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度 l6,半徑為 的圓的圓心角 所對弧的長為 l ,就角 的弧度數(shù)的確定值是 ro7,弧度制與角度制的換算公式： 2 360 , 1 o o, 1 180 o180 8,如扇形的

3、圓心角為 為弧度制 ,半徑為 ,弧長為 l ,周長為 C ,面積為 S , 1 1 2就 l r, C 2r l, S lr r 2 29,設(shè) 是一個任意大小的角, 的終邊上任意一點 的坐標是 x, y ,它與原點 的距離是 rr x 2 y 2 0 ,就 sin r y , cos x , tan r y x x 0 精選文檔,供參考！ 第 1 頁,共 15 頁10,三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正,其次象限正弦為正,第三象限 正切為正,第四象限余弦為正 11,三角函數(shù)線： sin , cos 2, tan 1 y P T x 12,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： 2 1 sin 2 cos

4、2 sin 2 1 cos 2 ,cos 2 1 sin ； sin tan O MA cos sin tan cos ,cos sin tan 13,三角函數(shù)的誘導公式： 1 sin 2k sin , cos 2k cos , tan 2k tan k 2 sin sin , cos cos , tan tan 3 sin sin , cos cos , tan tan 4 sin sin , cos cos , tan tan 口訣：函數(shù)名稱不變,符號看象限 5 sin 2cos , cos 2sin 6 sin 2cos , cos 2sin 口訣：正弦與余弦互換,符號看象限 14函數(shù)

5、y A sin x B（其中 A 0, 0） 2,頻率是 f 2,相位是 x , 最大值是 A B ,最小值是 B A ,周期是 T 初相是 ；其圖象的對稱軸是直線 x k 2k Z ,凡是該圖象與直線 y B 的交點都是該圖象的對稱中心； yAsinx B 的圖象求其解析式的問題,主要從以下四個方面來考慮： A 的確定：依據(jù)圖象的最高點和最低點,即 最高點最低點 A 2； B 的確定：依據(jù)圖象的最高點和最低點,即 的確定：結(jié)合圖象,先求出周期,然后由 的確定：把圖像上的點的坐標帶入解析式 最高點最低點 B ； 22 T 0來確定 ； y Asinx B,然后依據(jù) 的范疇確定 精選文檔,供參考

6、！ 第 2 頁,共 15 頁 即可,例如由函 y Asinx K 最開頭與 x 軸的交點 最靠近原點 的橫坐標為 數(shù) 令 x 0,x 確定 . 即 15. 三角函數(shù)的伸縮變化 先平移后伸縮 向左 0 或向右 0 y sin x 的圖象 平移 個單位長度 橫坐標伸長 0 1 得 y sin x 的圖象 到原先的 1 縱坐標不變 縱坐標伸長 A 1 或縮短 0 A1 得 y sin x 的圖象 為原先的 A倍 橫坐標不 變 得 y A sin x 的圖象 向上 k 0 或向下 k 0 平移 k 個單位長度 得 y Asin x k 的圖象 先伸縮后平移 y sin x 的圖象 縱坐標伸長 A 1

7、或縮短 0 A 1 為原先的 A 倍 橫坐標不變 得 y 得 y Asin x 的圖象 橫坐標伸長 0 1 或縮短 1 A sin x k 的圖象 到原先的 1 縱坐標不變 得 y A sin x 的圖象 向左 0或向右 0 平移 個單位 A sin x x 的圖象 向上 k 0 或向下k 0 平移 k 個單位長度 得 y 16由 yAsin x 的圖象求其函數(shù)式： 給出圖象確定解析式 y=Asin （x+ ）的題型,有時從查找“五點”中的第一 零點（ ,0）作為突破口,要從圖象的升降情形找準第一個零點的位置； 17求三角函數(shù)的周期的常用方法： 經(jīng)過恒等變形化成“ y A sin x , y

8、A cos x ”的形式,在利用 周期公式,另外仍有圖像法和定義法； 函數(shù) yAsin x 和 yAcos x 的最小正周期為 2 , | | ytan x 的最小正周期為 . | | 15,正弦函數(shù),余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 性 質(zhì) 函 數(shù) y sin x y cosx y tanx 第 3 頁,共 15 頁精選文檔,供參考！ 圖 象 定 義 RRx x k 2,k 域 值 1,1 1,1 R域 當 x 2k 2k 當 x 2k k 時 , 既無最大值也無最小 ； 當 最 時 , ymax 1值 x 2k 21 ymax 1；當 x 2k 1 值 k 時, y min k 時, ym

9、in 周 22期 性 奇 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶 性 在 2 k 2, 2k 2在 2k ,2 k k 單 k 上是增函數(shù)； 在 上 是 增 函 數(shù) ； 在 在 k 2, k 2調(diào) 性 2k 2, 2k 32k ,2 k k 上是增函數(shù) 2k 上是減函數(shù) 稱 中 心 k 上是減函數(shù) 對 對 稱 中 心 對 稱 中 心 對 稱 k ,0 k 第 4 頁,共 15 頁精選文檔,供參考！ 性 對 k 2稱 軸 k 2,0 k k k ,0 k 2x k 對稱軸 x k 無對稱軸 16,向量：既有大小,又有方向的量 數(shù)量：只有大小,沒有方向的量 有向線段的三要素：起點,方向,長度 零向量：長度為

10、0 的向量 單位向量：長度等于 1 個單位的向量 平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的 非零 向量零向量與任一向量平行 相等向量：長度相等且 方向相同 的向 量 17,向量加法運算： 三角形法就的特點：首尾相連 平行四邊形法就的特點：共起點 三角形不等式： ra r b ra r b ra r b r 運 算 性 質(zhì) ： 交 換 律 ： a r b r b ra ； 結(jié) 合 律 ： ra r b rc ra r b rc ； uuur uuur Cra r 0 r 0 r a r a C坐標運算：設(shè) a rx1, y1 r, b x2 , y2 ,就 a rr b x1 x2 , y1 y

11、2 ra18,向量減法運算： r b 三角形法就的特點：共起點,連終點,方向指向被減向量 ra r b uuur C坐標運算：設(shè) a rr x1, y1 , b r x2 , y2 ,就 a r b x1 x2 , y1 y2 設(shè) , 兩點的坐標分別為 uuur x1, y1 , x2 , y2 ,就 x1 x2 , y1 y2 19,向量數(shù)乘運算： 精選文檔,供參考！ 第 5 頁,共 15 頁實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作 r ra ra ra ； 當 0 時, a r的方向與 a 的方向相同；當 r 0 時, a r的方向與 a 的方向相反；r當 r0 時, r

12、a 0 運算律： ra a ； r ra ra a ； r ra b r ra b r 坐標運算：設(shè) a r x, y ,就 a r x, y x, y 20,向量共線定理：向量 ra ra r0 與 b 共線,當且僅當有唯獨一個實數(shù) r,使 b ra r設(shè) ra x1 , y1 ,b rx2 , y2 ,其中 b r0 ,就當且僅當 rx1 y2 x2 y1 0 時,向量 a ,b r r rb 0 r共線 21,平面對量基本定理：假如 ur uur e1 , e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面 r 內(nèi)的任意向量 a ,有且只有一對實數(shù) 1 , 2 ,使 a rur 1 e

13、1 uur 2 e2 ur uur（ 不共線 的向量 e1, e2作 為這一平面內(nèi)全部向量的一組基底） 22,分點坐標公式： 設(shè)點 是線段 12 上的一點, 1 , 2 的坐標分別是 x1 , y1 , x2 , y2 , x x , y y 2 uuur 當 1uuur 2 時,點 的坐標是 1123,平面對量的數(shù)量積： a b r ra b cos r r ra rr0,b 0,0 r o180 o零向量與任一向量的數(shù)量積為 0 性質(zhì)：設(shè) a 和 b r r都是非零向量, 就 ra b r ra b r0 當 a 與 rb r同向時, a rb r ra b r； 當 a 與 b r r反

14、向時, ra b r ra b r； a ra rar 2 ra 2或 a r aa rr ra b ra b r r運算律： a b r rb ra ； r ra b rarb r ra b r； ra b r rc a c r r b c r r坐標運算：設(shè)兩個非零向量 a rx1 , y1 , b rx2 , y2 ,就 a r b rx1 x2 y1 y2 如 ra x, y ,就 a r 2x 2y ,或 2 ra x 2 y 2 設(shè) ra x1 , y1 , b rx2, y2 ,就 a r b rx1x2 y1 y2 0 設(shè) a r, b都 是 非 零 向 量 , ra r x1

15、 , y1 , b rx2 , y2 , 是 ra 與 b 的 夾 r角 , 就 cos ra ba r rb rx1 2 x1x2 y1 2 y1 y2 x2 2y2 2 精選文檔,供參考！ 第 6 頁,共 15 頁24,兩角和與差的正弦,余弦和正切公式： cos cos cos sin sin ； cos cos cos sin sin ； sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ； tan tan tan （ tan tan tan 1 tan tan ）； 1 tan tan tan tan tan （ tan tan tan 1 tan t

16、an ） 1 tan tan 25,二倍角的正弦,余弦和正切公式： sin2 2sin cos 22 2cos 2 11 2sin （ 2 cos cos21, cos2 2 cos 2 sin 2sin21 cos2 ） 2sin ,其中 tan 2 tan2 2 tan 2 1 tan 26, sin cos 對于形如 y=asinx+bcosx 的三角式,可變形如下： y=asinx=bcosx a 2b sin x 22 a2 cosx 2 b2 ； 由 于 上 式 中 的 a b a ba b a ba 2 b 2 與 a 2 b 2 的平方和為 1,故可記 a 2 b 2 =cos

17、, a 2 b 2 =sin,就 y a 2 b 2 sin x cos cos x sin a 2 b 2 sinx ； 由 此 我 們 得 到 結(jié) 論 ： asinx+bcosx= a 2 b 2 sinx ,（ *） 其 中 由 a b2 2 cos , 2 2 sin 來確定； a b a b通常稱式子（ * ）為幫忙角公式, 它可以將多個三角式的函數(shù)問題, 最終化為 y=Asin x +k 的形式； 精選文檔,供參考！ 第 7 頁,共 15 頁正弦定理和余弦定理 1正弦定理： sin A a sin B b sin C c 2R,其中 R 是三角形外接圓的半徑由正弦 定理可以變形為：

18、 1a b c sin A sin B sin C； 2a 2Rsin_A, b2Rsin_B,c2Rsin_C； a b c 3sin A 2R , sin B ,sin C 等形式,以解決不同的三角形問題 2R 2R 2 余弦定理： a2 b2 c2 2bccos_A, b2 a2 c2 2accos_B, c2 a2 b2 b2 c2a2 a2c2b22abcos_C余弦定理可以變形為： cos A 2bc ,cos B 2ac , cos C a2b2c2 2ab . 1 1 1 abc 1 3S ABC 2absinC 2bcsin A 2acsin B 4R2abc r R是三角形

19、外接圓 半徑, r 是三角形內(nèi)切圓的半徑 ,并可由此運算 R,r. 4已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,留意解的情形如已知 a,b,A, 就 A 為銳角 A 為鈍角或 直角 圖形 關(guān)系 式 absin A absin A bsin Aab ab a b ab 解的 無解 一解 兩解 一解 一解 無解 個數(shù) 一條規(guī)律 在三角形中,大角對大邊,大邊對大角；大角的正弦值也較大,正弦值較大的角 也較大,即在ABC 中, AB. a b. sin Asin B. 兩類問題 在解三角形時,正弦定理可解決兩類問題： 1已知兩角及任一邊,求其它邊或 角； 2已知兩邊及一邊的對角,求其它邊或角情形 精選文檔

20、,供參考！ 2中結(jié)果可能有一解,兩 第 8 頁,共 15 頁解,無解,應(yīng)留意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題： 邊和其他兩角； 2已知三邊,求各角 兩種途徑 依據(jù)所給條件確定三角形的形狀,主要有兩種途徑： 1已知兩邊及夾角求第三 1化邊為角； 2化角為邊,并常用正弦 余弦 定理實施邊,角轉(zhuǎn)換 雙基自測 1在 ABC 中, A60, B 75, a 10,就 c 等于 A 5 2B10 210 6 C. 3D5 6解析 由 ABC180,知 C45, a c 由正弦定理得： sin Asin C , 即 10 3 c 2 .c 10 6 3 .答案 C 2 22在 ABC 中,如 a sin A co

21、s B b,就 B 的值為 A 30 B45 C60 D90 解析 由正弦定理知： sin A cos B sin A sin B ,sin Bcos B,B 45.答案 B 第 9 頁,共 15 頁3在 ABC 中, a 3,b1,c2,就 A 等于 A 30 B 45 C60 D75 b2c2a2 1 4 3 1解析 由余弦定理得： cos A 2bc 2 1 2 , 0A,A60.答案 C4在 ABC 中, a3 2,b 2 3,cos C 3 1,就 ABC 的面積為 A 3 3B2 3C4 3D. 31 22解析 cos C3 ,0C ,sinC 3, 1 1 22SABC2ab s

22、in C2 3 22 3 34 3. 精選文檔,供參考！ 答案 C5已知 ABC 三邊中意 a2 b2c2 3ab,就此三角形的最大內(nèi)角為 解析 a b c 2 2 23ab, a2b 2ccos C 2ab 2 3 2, 故 C150為三角形的最大內(nèi)角 答案 150 考向一 利用正弦定懂得三角形 【例 1】.在ABC 中, a 3,b 2, B 45.求角 A,C和邊 c. 解 由正弦定理得 a b, 3 2, sin A sin B sin A sin 45 3sin A 2 . a b, A60或 A 120. 當 A60時, C 180 45 60 75, bsin C c sin B

23、 6 2； 2當 A120時, C1804512015, bsin C c sin B 6 2 . 21已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代 入求解即可 2已知兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要留意 爭辯該角,這是解題的難點,應(yīng)引起留意 ,tan A2,就 sin A【訓練 1】在 ABC 中,如 b5,B4a. 解析 由于ABC 中, tan A2,所以 A 是銳角, 且 cos sin A 2, sin 2Acos 2A1, A 25 a b 聯(lián)立解得 sin A 5,再由正弦定理得 sin Asin B , 代入數(shù)據(jù)解得 a2 10.答案 2

24、 5 5 2 10 考向二 利用余弦定懂得三角形 精選文檔,供參考！ 第 10 頁,共 15 頁【例 2】.在ABC 中, a,b,c 分別是角 A,B, C 的對邊,且 cos C cos B b 2a c . 1求角 B 的大?。?2如 b 13,ac4,求 ABC 的面積 cos B b 審題視點 由cos 2a c ,利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解 C a2c2 b2解 1由余弦定理知： cos B 2ac , a2b2c2cos C 2ab . 將上式代入 cos B b 得： cos C 2ac a2 c2b22ac 2 ab c 2ab 2 2 2a c b, 整理得： a2c2

25、b2 ac. cos B a2c2 b22ac 2ac 2.B 為三角形的內(nèi)角, B3 . ac 1 22將 b 13,ac4, 2 代入 b2a2c22accos B3 B, 得 b 2a c 2 2ac 2accos B, 1 1 33 13162ac1 2, ac 3.S ABC2ac sin B 4 . 【訓練 2】 已知 A,B,C 為ABC 的三個內(nèi)角,其所對的邊分別為 a,b, c, 且 2cos2 A cos A 0. 21求角 A 的值； 2如 a2 3,bc4,求 ABC 的面積 解 1由 2cos2 A 2cos A0, 得 1cos Acos A0, 1 2 即 cos

26、 A 2 , 0 A, A . 2由余弦定理得, a2 b2c22bccos A, A 23 , 就 a2b c2 bc, 又 a2 3,bc4, 精選文檔,供參考！ 第 11 頁,共 15 頁有 12 42bc,就 bc 4, 1故ABC2 bc sin A 3. 考向三 利用正,余弦定理判定三角形形狀 【例 3】.在ABC 中,如 a2b2sinA Ba2b2sin C,試判定 ABC 的形 狀 審題視點 第一邊化角或角化邊,再整理化簡即可判定 解 由已知 a b 2 2sinABa 2 b 2sin C, 得 b2sinA Bsin C a 2sin CsinAB, 即 b 2sin A

27、cos Ba cos Asin B, 2即 sin2Bsin Acos Bsin 2Acos Bsin B,所以 sin 2B sin 2A, 由于 A,B 是三角形的內(nèi)角 故 02A 2,02B故只可能 2A 2B 或 2A 2B, . 即 AB 或 AB2 故 ABC 為等腰三角形或直角三角形 判定三角形的形狀的基本思想是；利用正,余弦定理進行邊角的統(tǒng) 一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式, 然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之 間的關(guān)系式； 或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式, 然后利用常見的化簡變形得出三 邊的關(guān)系 【訓練 3】 在 ABC 中,如 cos A cos B cos C a b c

28、；就 ABC 是 A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形 解析 由正弦定理得 a2Rsin A,b2Rsin B,c 2RsinCR 為ABC 外接圓半徑 sin A sin B sin C cos A cos B cos C . 即 tan Atan Btan C,ABC. 答案 B 考向三 正,余弦定理的綜合應(yīng)用 【例 3】.在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 對邊的邊長分別是 a,b,c,已知 c 2, 精選文檔,供參考！ 第 12 頁,共 15 頁 C 3. 1如ABC 的面積等于 3,求 a,b； 2如 sin CsinB A2sin 2A,求 ABC 的面積 解 1

29、由余弦定理及已知條件,得 a2b2ab4. 3,得 ab 4,聯(lián)立方程組 又由于 ABC 的面積等于 1 3 ,所以 2absin C a2b2 ab4, 解得 a2, ab 4, b2. 2由題意,得 sinB AsinBA4sin Acos A, 即 sin Bcos A 2sin Acos A. 當 cos A0,即 A2 時, B , a 3 43, b 23 3； 當 cos A0 時,得 sin B2sin A, 由正弦定理,得 b 2a. 聯(lián)立方程組 a2b2ab4, b2a, a,b,c,且 cos B4 5, 解得 a 3 23, 43 b 3. 所以 ABC 的面積 S1 2 a bsin C 2