《數(shù)字信號(hào)處理》第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1、第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.1 引言 5.2 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4 格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.1 引言 一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程 其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 5.1.15.1.2 給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，例如： 同一個(gè)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)時(shí)可以采用不同的算法-不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 不同結(jié)構(gòu)（算法）直接影響系統(tǒng)的運(yùn)算誤差、運(yùn)算速度、復(fù)雜度及成本等。研究實(shí)現(xiàn)信號(hào)處理的算法（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）很重要。本章重點(diǎn)研究各種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)。 用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法：乘

2、法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如下： 圖5.1.1 三種基本運(yùn)算的流圖表示 圖5.1.2 信號(hào)流圖(a)基本信號(hào)流圖；(b)非基本信號(hào)流圖(5.2.1) 不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號(hào)流圖相對(duì)應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號(hào)流圖。 (1) 信號(hào)流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z-1； (2) 流圖環(huán)路中必須存在延時(shí)支路； (3) 節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。 例5.1.1：求圖5.1.2(a)信號(hào)流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解： 將5.2.1式進(jìn)行z變換，得到 經(jīng)過(guò)聯(lián)立求解得到：IIR網(wǎng)絡(luò)和FIR網(wǎng)絡(luò) IIR網(wǎng)絡(luò)

3、 IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。例如一個(gè)簡(jiǎn)單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)。 FIR網(wǎng)絡(luò) FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述： 其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，按照(5.2.2)式，h(n)表示為 其它n 5.2 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1.直接型 對(duì)N階差分方程重寫(xiě)如下： 圖5.2.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu) 例5.2.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫(huà)出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解：由H(z)寫(xiě)出差分方程如下：圖5.2.2 例5.2.

4、1圖IIR直接型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： ai, bi系數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能控制作用不明顯（系數(shù)與零極點(diǎn)關(guān)系 不明顯，不易調(diào)整）。系數(shù)的變化可能影響所有的零極點(diǎn)。 容易產(chǎn)生較大誤差，極點(diǎn)對(duì)系數(shù)變化靈敏，容易不穩(wěn)定。 三階以上不采用。 2. 級(jí)聯(lián)型 在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)；Hj(z)如下式： 式中，0j、1j、2j、1j和2j均為實(shí)數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)形式，如下式： H(z)=H1(z) H2(z) Hk(z) 式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的

5、系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.2.3所示。 圖5.2.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 例5.2.2 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 試畫(huà)出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解： 將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到 圖5.2.4 例5.2.2圖 IIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 調(diào)整零極點(diǎn)（ 調(diào)整系數(shù)）方便。 誤差積累?。ㄏ鄬?duì)于直接型）。 式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z) 3.并聯(lián)型 如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展

6、開(kāi)部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 例5.2.3 畫(huà)出例題5.2.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.2.5所示。 圖5.2.5 例5.2.3圖 IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 調(diào)整極點(diǎn)位置（ 調(diào)整系數(shù)）方便。 運(yùn)算誤差互不影響，誤差最小，速度高。 練習(xí)1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為試畫(huà)出該濾波器的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 （1）直接型的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 （2）級(jí)聯(lián)型的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 （3）并聯(lián)型的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為5.3 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路

7、，即沒(méi)有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖如所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。 圖5.3.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 2. 級(jí)聯(lián)型 將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。 例5.3.1 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫(huà)出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 將H(z)=

8、0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)如圖5.3.2所示。 圖5.3.2 例5.3.1圖直接型需要的乘法器少，普遍應(yīng)用。 3. 線性相位結(jié)構(gòu) 線性相位結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，比直接型節(jié)約了近一半的乘法器。若系統(tǒng)具有線性相位，其單位脈沖響應(yīng)應(yīng)滿足： h(n) = h(N-n-1) h(0) = h(N-1) h(1) = h(N-2) 設(shè)N為偶數(shù)，例如： h(n) = 1.5, 2, 3, 3, 2, 1.5 , 則有 設(shè)N為奇數(shù)，例如： h(n) = 1, 1

9、.5, 2, 1.5 , 1 , 則有 圖5.3.3 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖5.3.4 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 4. 頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)引起信號(hào)失真，此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式： 設(shè)FIR濾皮器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，(5.3.1)式中H(k)用下式表示： (5.3.1) 要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)NM。(5.3.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。將(5.3.1)式寫(xiě)成下式： (5.3.2) Hc(z)是

10、一個(gè)梳狀濾波網(wǎng)絡(luò)其零點(diǎn)為圖5.3.5 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) (1)在頻率采樣點(diǎn)k，H(ejk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實(shí)際調(diào)整方便。 (2)只要h(n)長(zhǎng)度N相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。 頻率采樣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個(gè)缺點(diǎn)： (1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的。 (2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和WN-k一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。 為了克服上

11、述缺點(diǎn)，對(duì)頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。 首稱將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r1且r1。此時(shí)H(z)為(5.3.3) 另外，由DFT的共軛對(duì)稱性知道，如果h(n)是實(shí)數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱，即H(k)=H*(N-k)。而且WN-k=WN(N-k) ，我們將Hk(z)和H N-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則 顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖5.3.4(a)所示。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，h(z)可表示為式中 (5.3.4) 式中，H(0)和H(N/2)為實(shí)數(shù)。(5.3.4)式對(duì)應(yīng)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由N/2-1個(gè)二階

12、網(wǎng)絡(luò)和兩個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)構(gòu)成，如圖5.3.4(b)所示。圖5.3.6 頻率采樣修正結(jié)構(gòu) 當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)采樣值H(0)為實(shí)數(shù)，H(z)可表示為(5.3.5) 5.4 格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1. 全零點(diǎn)格型濾波器 一個(gè)N階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫(xiě)成如 下形式： 其中， 表示M階FIR濾波器的第i個(gè)系數(shù)，并假設(shè)首項(xiàng)系數(shù)a0=1。H(z)對(duì)應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)如圖 5.4.1所示。 圖 5.4.1 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 5.4.2 全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)基本單元由H(z)的系數(shù)ai(N)求出格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)kl的公式。 例 5.4.1 FIR濾波器由如下差分方程給定： 求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)，并畫(huà)出格型結(jié)構(gòu)圖

13、。 解： 對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行Z變換得H(z)： 由公式可得圖 5.4.3 H(z)的格型結(jié)構(gòu)流圖 2. 全極點(diǎn)(IIR)格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)， 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開(kāi)發(fā)。設(shè)一個(gè)全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定： 圖 5.4.4 全極點(diǎn)(IIR)濾波器格型結(jié)構(gòu) 例 5.4.2 設(shè)全極點(diǎn)IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 求其格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)， 并畫(huà)出格型結(jié)構(gòu)。解： 由例 5.4.1 所求FIR格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)： 圖 5.4.5 例 5.4.2 中的IIR格型結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的MATALB實(shí)現(xiàn) IIR直接型 yn = filter (B, A, xn) 此函數(shù)按直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)xn的濾波，其中 B=b0, b1,., bM , A = a0, a1,., aN IIR直接型到級(jí)聯(lián)型的變換 S, G= tf2sos (B, A ) B, A = sos2tf (S, G) S: 每一行為一個(gè)二階系子系統(tǒng)的系數(shù)向量 G：增益常數(shù) IIR直接型到格型的變換 K= tf2latc (1, A ) B, A = latc2tf (K, allpole) A: 全極點(diǎn)系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量 K：格型結(jié)構(gòu)系數(shù) FIR直接型到級(jí)聯(lián)型的變換 S, G= tf