連續(xù)型隨機(jī)變量PPT

1、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量第一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2.3.1退 出前一頁后一頁目 錄則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱 f (x) 為 X 的概率密度.使得對任意實(shí)數(shù)x , 有設(shè)F(x)是隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) , 若存在非負(fù)函數(shù) f (x) , 第二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月引例1：一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求X 的分布函數(shù)。解：由第一節(jié)可知，X 的分布函數(shù)為Xx=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxF考慮函數(shù) f ( x )= x/2 , 0 x 2;0,

2、其它退 出前一頁后一頁目 錄第三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月f (x)的變上限積分為x1O2=)(xFF(x)1x1O2f (x)1退 出前一頁后一頁目 錄第四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄概率密度所對應(yīng)的平面曲線稱為隨機(jī)變量X的概率曲線，Oxf(x)x分布函數(shù)值F(x)是概率曲線下從 到x的一塊面積。第五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月驗(yàn)證性質(zhì)1和性質(zhì)2是判斷一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的方法。1.2.Of(x)x1退 出前一頁后一頁目 錄概率密度的性質(zhì)：第六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄例1：（密度函

3、數(shù)的判定）驗(yàn)證 是概率密度函數(shù).解：對任意實(shí)數(shù)t， f(t)非負(fù)，又則 f(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.第七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄例2：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）系數(shù)A;（2）X的分布函數(shù).解：參 數(shù) 的 確 定第八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所求分布函數(shù)為退 出前一頁后一頁目 錄由密度函數(shù)求分布函數(shù)第九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄f(x)Oxx1x23.4.第十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處有 看出概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類似,

4、這就是為什么稱f(x)為概率密度的原因.退 出前一頁后一頁目 錄第十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄5.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)在 上的連續(xù)函數(shù).離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是右連續(xù)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)的第十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄6.注：1）設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任一指定實(shí)數(shù) ，有2）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任意數(shù)值的概率均為0.概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件.第十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月概率密度的性質(zhì)：1.2.3

5、.4.5.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)在 上的連續(xù)函數(shù).6.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任一指定實(shí)數(shù) ，有退 出前一頁后一頁目 錄第十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1） P-1X1;（2）PX=2解：(2)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量，所以概 率 的 計(jì) 算第十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例4退 出前一頁后一頁目 錄由分布函數(shù)求密度函數(shù)第十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄例5：從一批子彈中任意抽出5發(fā)試射，如果沒有一發(fā)子彈落在靶心2cm以外，則整批子彈將被接受.設(shè)彈著點(diǎn)

6、與靶心的距離X(cm)的概率密度為求（1）系數(shù)A;（2）該批子彈被接受的概率.解：第十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所以，該批子彈被接受的概率為設(shè) 表示第i發(fā)子彈合格的事件，則 相互獨(dú)立，且 退 出前一頁后一頁目 錄第十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾種連續(xù)型分布退 出前一頁后一頁目 錄1.均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為 XU(a,b).第十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月均勻分布的密度函數(shù)f(x)的圖形af(x)bOx退 出前一頁后一頁目 錄均勻分布常用來描述在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值，在某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)到達(dá)，

7、誤差分布等。第二十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若隨機(jī)變量XU(a,b), 則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關(guān). 任給長度為l的子區(qū)間(c,c+l), ac0, 有 PXt+s| X t=PX s，事實(shí)上指數(shù)分布常用來描述處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的元件壽命.退 出前一頁目 錄指數(shù)分布的特點(diǎn)：無后效性（無記憶性）后一頁第二十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3.正態(tài)分布(GAUSS 分布) 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為其中m , s ( s 0)是常數(shù)，Rxj( x; m, s2 ) = ,e( x m )-2 s2221ps則稱隨機(jī)

8、變量X 服從參數(shù)為m，s2 的正態(tài)分布(或高斯分布)，記為X N(m , s2 )。 特別地, 當(dāng)m = 0, s = 1時(shí), 其概率密度函數(shù)為Rx ,j( x ) = j( x; 0, 1 ) = e x-2 221p則稱隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 即X N( 0, 1 )退 出前一頁后一頁目 錄第二十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1) 正態(tài)分布概率密度曲線的特征(1) j( x; m, s2 ) dx = 1即概率曲線下總面積為1。 (2)曲線關(guān)于直線x = m 對稱, 即對任意實(shí)數(shù)x 有 j(m - x; m, s2 ) = j(m + x; m, s2 )曲線下直線兩

9、側(cè)的面積各為1/2，并且 P m x X m = P m X m + x )退 出前一頁后一頁目 錄第二十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 (3)曲線在x = m 處取得最大值 , 固定m , s2 越大，曲線越趨于平坦。21ps退 出前一頁后一頁目 錄第三十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2) 正態(tài)分布概率的計(jì)算 若隨機(jī)變量X N( m, s2 )，其分布函數(shù)為RxF( x; m, s2 ) = ,e( x m )-2 s2221ps x dx 若隨機(jī)變量X 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布函數(shù)為RxF( x ) = ,ex-2221p x dx 由于F( x )不能解析求出，為方

10、便計(jì)算，人們編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(見P289的附表2)。由F( x )的對稱性，有 F( - x ) = 1- F( x )，故僅給出x0的值。退 出前一頁后一頁目 錄第三十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 （1）若隨機(jī)變量X N( 0，1 )，則P a X a = 1 - F( a )P X b = F( b ) F ( - x )= 1-F ( x ) 第三十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 若隨機(jī)變量X N( 0，1 )，則P a X b = F( b ) - F( a ) （2）若隨機(jī)變量X N( m，s2 )，則P x1 X x2 = F ( ) -F( )x

11、2 msx1 ms證明：e( t m )-2 s22F( x; m, s2 ) = 21ps x dtey-2 221pdy x mst msy = dt = s d yF( ) x ms=退 出前一頁后一頁目 錄第三十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月退 出前一頁后一頁目 錄 （2）若隨機(jī)變量X N( m，s2 )，則第三十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例8：已知隨機(jī)變量X N( m, s 2 )，證明 P| X - m | x = P m - x X m + x = xs2F( )- 1P m - x X m + x 證明:=m - x msF( )m + x ms

12、F( )-=- xsF( )x sF( )-=x sF( )-xsF( )1 - =x sF( )2 - 1退 出前一頁后一頁目 錄第三十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 特別地，有 P| X - m | s = 2F( 1 ) - 1 = 0.6826 P| X - m | 2s = 2F( 2 ) - 1 = 0.9544 P| X - m | 3s = 2F( 3 ) - 1 = 0.9974這說明X 以很大的概率密集在 x = m 的附近。退 出前一頁后一頁目 錄第三十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例9: 公共汽車的車門是按男子與車門碰頭的機(jī)會在0.01以下來

13、設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X服從參數(shù)為=172cm =6 的正態(tài)分布.即XN(172,36).問車門的高度該如何設(shè)計(jì).解：設(shè)車門的高度為h cm.按設(shè)計(jì)要求P Xh 0.01 或者 PX0.99故(h-172)/6=2.33 即h=172+6*2.33=186cm 故設(shè)計(jì)車門高度為186cm時(shí),可使男子與車門頂碰頭的機(jī)會不大于0.01退 出前一頁后一頁目 錄第三十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 有時(shí), 我們需要求隨機(jī)變量以給定概率落在某個(gè)區(qū)間上的分界點(diǎn)，稱之為分位數(shù)。如設(shè) X N( 0, 1), 若存在某個(gè)實(shí)數(shù)ua 使P X ua = a , 則稱ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)于a 的上側(cè)分位數(shù)。退 出前一頁后一頁目 錄第三十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月u(