統(tǒng)計(jì)物理公開(kāi)課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、系綜理論參考書：汪志誠(chéng)，“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”（第三版），第九章，高教出版社。R.K.Pathria，“Statistical Mechanics”（第二版），第一章第四章，世界圖書出版企業(yè)。F.Schwabl， “Statistical Mechanics”（第二版），第一章第三章，科學(xué)出版社。Landau， “Statistical Physics”（Part 1），第一章第三章，世界圖書出版企業(yè)。第1頁(yè)相空間&劉維爾定理 在第六、七、八章最概然分布方法只能處理近獨(dú)立粒子系統(tǒng)，系綜理論能夠研究有相互作用粒子系統(tǒng)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理普遍理論。 宏觀系統(tǒng)是由大量微觀粒子組成，微觀粒子能夠用經(jīng)典方式描

2、寫，也能夠用量子力學(xué)方法。我們先看系統(tǒng)微觀狀態(tài)經(jīng)典描述。 假設(shè)系統(tǒng)有N個(gè)粒子，每一個(gè)粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時(shí)刻微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用f個(gè)廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個(gè)廣義動(dòng)量（正則動(dòng)量）在該時(shí)刻數(shù)值確定，以這2f個(gè)變量為直角坐標(biāo)，組成一個(gè)2f維空間，稱為相空間。系統(tǒng)在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于想空間中一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)。第2頁(yè)經(jīng)過(guò)相空間中任意點(diǎn)，只能有一條軌道。系統(tǒng)從任意一初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)在相空間中軌道或者是一條封閉曲線，或者是一條本身永不相交曲線。系統(tǒng)從不一樣初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)沿著相空間中不一樣軌道運(yùn)時(shí)，不一樣軌道互不相交。 正則坐標(biāo)和

3、正則動(dòng)量演化滿足哈密頓正則方程，當(dāng)系統(tǒng)代表點(diǎn)在相空間中移動(dòng)時(shí)，它軌道由正則方程確定，利用微分方程理論，軌道有以下特點(diǎn)：第3頁(yè)劉維爾定理構(gòu)想有N 個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)，獨(dú)立沿著正則方程所要求軌道運(yùn)動(dòng)，這些系統(tǒng)代表點(diǎn)將在相空間形成一個(gè)分布。相空間一個(gè)體積元為：則t 時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在這個(gè)體積元內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)：第4頁(yè)劉維爾定理意義在于：假如我們沿著一個(gè)代表點(diǎn)在相空間中走正則軌道，則我們周圍代表點(diǎn)密度是常數(shù)。劉維爾方程是可逆，所以完全是力學(xué)規(guī)律結(jié)果。量子力學(xué)中引入密度矩陣后，能夠得到量子劉維爾方程。第5頁(yè)微正則分布一、能否確定系統(tǒng)微觀狀態(tài)？不能！ 熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)都是研究由大量微觀粒子組成

4、宏觀系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)從微觀出發(fā)。 假設(shè)系統(tǒng)有N個(gè)粒子，每一個(gè)粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時(shí)刻微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用f個(gè)廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個(gè)廣義動(dòng)量（正則動(dòng)量）在該時(shí)刻數(shù)值確定。只要給定了初始條件，正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量數(shù)值由哈密頓正則方程確定。系統(tǒng)能量以及其它物理量是正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量函數(shù)。所以，求解2f 個(gè)哈密頓正則方程是根本問(wèn)題，不過(guò)，這是個(gè)不可能任務(wù)。因?yàn)槠胀ㄇ闆r下，fNA第6頁(yè) 愈加主要是，我們研究系統(tǒng)，總能量E 并沒(méi)有確定數(shù)值，經(jīng)過(guò)其表面分子不可防止和外界發(fā)生作用，使得在能量E 附近有一個(gè)狹長(zhǎng)范圍，即對(duì)宏觀系統(tǒng)，表面分子遠(yuǎn)小于總分子數(shù)，故系統(tǒng)

5、和外界作用很弱，故有：第7頁(yè)系統(tǒng)和外界微弱作用影響系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿著正則方程所確定軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間（可能很短）之后，外界作用使得系統(tǒng)躍遷到另外一個(gè)狀態(tài)，從而沿著另外一條正則軌道運(yùn)動(dòng)，所以，系統(tǒng)微觀狀態(tài)發(fā)生極其復(fù)雜改變。在給定宏觀條件下，我們不能必定系統(tǒng)在某一時(shí)刻處于或者是不處于某一微觀狀態(tài)。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本想法是：退一步，試圖找到系統(tǒng)處于某個(gè)微觀狀態(tài)概率。而宏觀量是對(duì)應(yīng)微觀量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值。第8頁(yè)二、各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō) 作為研究宏觀系統(tǒng)物理性質(zhì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)，其最初目標(biāo)實(shí)際上是作為熱力學(xué)一個(gè)擴(kuò)展，這種擴(kuò)展來(lái)自于下面兩個(gè)原因： （1）熱力學(xué)是一個(gè)宏觀方法，這種方法和牛頓力學(xué)不一樣。 （2）宏

6、觀系統(tǒng)是有大量微觀粒子組成。當(dāng)初已經(jīng)有原子思想，而且積累了各種各樣間接數(shù)據(jù)（尤其是化學(xué)、電磁學(xué)等）。 從微觀角度研究宏觀物體性質(zhì)，實(shí)際上是熱力學(xué)理論牛頓回歸！第9頁(yè) 不過(guò)，數(shù)學(xué)上巨大困難，使得我們沒(méi)有方法求解正則方程，更因?yàn)橄到y(tǒng)和環(huán)境交換能量，使得這種求解沒(méi)有任何意義。 怎樣建立微觀量和宏觀量關(guān)系呢？或者說(shuō)，怎樣從微觀角度建立宏觀觀察量呢？ 很自然想法是，實(shí)際上宏觀察量，我們測(cè)量都是物理量對(duì)時(shí)間平均，即：測(cè)量時(shí)間應(yīng)該是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)微觀粒子碰撞特征時(shí)間，也就是說(shuō)使用測(cè)量?jī)x器完成時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)完成了很屢次碰撞過(guò)程，經(jīng)歷了很多個(gè)可能微觀狀態(tài)。由此，玻耳茲曼在1871年提出了“各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)”。第10頁(yè)各態(tài)

7、歷經(jīng)假說(shuō)（ergodic hypothesis） 一個(gè)孤立系統(tǒng)從任一初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后將經(jīng)歷一切可能微觀狀態(tài)。1884年，玻耳茲曼首次用“各態(tài)歷經(jīng)”這個(gè)名稱。企圖把統(tǒng)計(jì)規(guī)律還原為力學(xué)規(guī)律一個(gè)假設(shè)。數(shù)學(xué)上能夠證實(shí)，各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)不成立，比如：對(duì)孤立系統(tǒng)，力學(xué)系統(tǒng)代表點(diǎn)軌道不可能經(jīng)過(guò)能量曲面上每一個(gè)點(diǎn)。19，P.厄任費(fèi)斯脫夫婦證實(shí)了嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)不存在，于是又提出了準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)，把上述假說(shuō)中“歷經(jīng)”修改為“能夠無(wú)限靠近”。各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)或準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)基本思想是，認(rèn)為系統(tǒng)處于平衡態(tài)宏觀性質(zhì)是微觀量在足夠長(zhǎng)時(shí)間平均值，企圖用力學(xué)理論證實(shí)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本假設(shè)。 當(dāng)研究對(duì)象從少許個(gè)體(如分子、原子)變

8、為由大量個(gè)體組成群體時(shí)，后者所遵照統(tǒng)計(jì)規(guī)律與前者所遵照力學(xué)規(guī)律本質(zhì)上是不一樣，統(tǒng)計(jì)規(guī)律不是力學(xué)規(guī)律結(jié)果，不能由力學(xué)規(guī)律推導(dǎo)出來(lái)。所以，這類假說(shuō)不能代替統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)。 第11頁(yè)三、系綜概念引入以及統(tǒng)計(jì)物理學(xué)誕生 實(shí)際上，1871年，玻耳茲曼就首次引入相空間概念，而且把含有相同結(jié)構(gòu)且相互獨(dú)立質(zhì)點(diǎn)系在相空間分布作為研究課題，這是系綜思想最初萌芽。19，吉布斯在系綜基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論體系。 當(dāng)代統(tǒng)計(jì)物理學(xué)（又稱統(tǒng)計(jì)力學(xué)），將物理量測(cè)量值直接用物理量系統(tǒng)平均值來(lái)代替，不需要各態(tài)歷經(jīng)這個(gè)假設(shè)。也就是說(shuō)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)需要統(tǒng)計(jì)假設(shè)和力學(xué)假設(shè)。第12頁(yè) 在經(jīng)典理論中，可能微觀狀態(tài)在相空間組成一

9、個(gè)連續(xù)分布，那么在t 時(shí)刻，系統(tǒng)微觀狀態(tài)處于相空間一個(gè)體積元中概率為：當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時(shí)，微觀量B數(shù)值為B（q,p），微觀量B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值為：就是與微觀量B相對(duì)應(yīng)宏觀物理量。第13頁(yè) 以上討論直接能夠換成系綜語(yǔ)言。構(gòu)想有N 個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同、獨(dú)立系統(tǒng)（這N 個(gè)思維復(fù)本mental copies，就稱為系綜ensemble），各自從其初態(tài)出發(fā)，獨(dú)立沿著正則方程所要求軌道運(yùn)動(dòng)，這N 個(gè)系統(tǒng)代表點(diǎn)將在相空間形成一個(gè)分布。相空間一個(gè)體積元為：t 時(shí)刻，系統(tǒng)處于這個(gè)體積元內(nèi)概率為：則t 時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在這個(gè)體積元內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)：第14頁(yè)當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時(shí)，微觀量B數(shù)值為B（q,p），

10、微觀量B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值，稱為系綜平均值：要依據(jù)上述式子求宏觀量，必須知道分布函數(shù) ，這么，確定分布函數(shù)成為最根本問(wèn)題。就是與微觀量B相對(duì)應(yīng)宏觀物理量。第15頁(yè)四、孤立系統(tǒng)分布函數(shù)：等概率原理（微正則分布） 對(duì)于孤立系統(tǒng)，總能量E為常數(shù)。 不過(guò)，即使對(duì)于孤立系統(tǒng)，可能因?yàn)闈q落，會(huì)使得E發(fā)生改變，或者因?yàn)檎嬲铝⑾到y(tǒng)并不存在，總是和外界發(fā)生微小作用，使得E 發(fā)生改變，所以，考慮能量在一個(gè)小范圍內(nèi)愈加方便，顯然，在這個(gè)能量范圍內(nèi)，微觀狀態(tài)數(shù)依然是大量，我們需要確定系統(tǒng)在這些微觀狀態(tài)上概率分布。劉維爾定理說(shuō)明：在同一條正則軌道上，系統(tǒng)出現(xiàn)概率是一樣，也不隨時(shí)間改變。不一樣軌道概率密度是否相

11、同？劉維爾定理無(wú)法回答。第16頁(yè) 等概率原理：對(duì)全部軌道，概率密度都相等，且不隨時(shí)間改變。換句話說(shuō)，對(duì)于孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)全部可能微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是相等。數(shù)學(xué)表示式為：第17頁(yè)五、量子統(tǒng)計(jì)力學(xué) 量子力學(xué)中，在給定宏觀條件下，系統(tǒng)可能微觀狀態(tài)是大量，用s=1,2,標(biāo)識(shí)系統(tǒng)各個(gè)可能微觀狀態(tài)，用 表示t 時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)s 概率，滿足歸一化條件：以Bs 表示微觀量B 在量子態(tài)s 上數(shù)值，則B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值（即和B相對(duì)應(yīng)宏觀物理量）為：第18頁(yè)六、全同粒子微觀狀態(tài)數(shù) 假如把經(jīng)典統(tǒng)計(jì)了解為量子統(tǒng)計(jì)經(jīng)典極限，對(duì)于含有N個(gè)自由度為r 全同粒子系統(tǒng)，在能量 范圍內(nèi)系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 假如有N 種不一樣粒

12、子，第i 種粒子自由度為ri , 粒子數(shù)為Ni ，則有： 第19頁(yè)七、最概然法和系綜方法關(guān)系 最概然法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在最概然分布下數(shù)值。 系綜法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在給定宏觀條件下一切可能微觀狀態(tài)上系綜平均值。 假如相對(duì)漲落很小，即： 概率分布必定含有非常陡極大值分布函數(shù)，所以最概然值和平均值是相等。普通宏觀系統(tǒng)，相對(duì)漲落比較小，所以兩種方法統(tǒng)計(jì)平均值是相同。 第20頁(yè)微正則分布熱力學(xué)公式 對(duì)于孤立系統(tǒng)，因?yàn)椴缓屯饨缃粨Q物質(zhì)，粒子數(shù)確定，外界不做功，所以體積確定（假設(shè)只有體積改變功），所以有：第21頁(yè)一、微觀狀態(tài)數(shù)和熱力學(xué)量關(guān)系A(chǔ)1A2第22頁(yè) 依據(jù)等概率原理，平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能微

13、觀狀態(tài)出現(xiàn)概率都相等，所以，當(dāng)A1能量取某一個(gè)值時(shí)，孤立系統(tǒng)總微觀狀態(tài)數(shù)取極大值，這意味著對(duì)應(yīng)E1和E2是最概然能量分配。對(duì)于宏觀系統(tǒng)，最概然微觀狀態(tài)數(shù)實(shí)際上能夠看成是總微觀狀態(tài)數(shù)，所以其它能量分配出現(xiàn)概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于最概然能量分配出現(xiàn)概率，由此能夠認(rèn)為最概然微觀狀態(tài)數(shù)對(duì)應(yīng)E1和E2就是A1和A2到達(dá)熱平衡時(shí)內(nèi)能。第23頁(yè)熱力學(xué)中，兩個(gè)系統(tǒng)到達(dá)熱平衡條件為：第24頁(yè)第25頁(yè)第26頁(yè)二、理想氣體和玻耳茲曼常數(shù) 對(duì)于經(jīng)典理想氣體，一個(gè)分子出現(xiàn)在空間中某一個(gè)位置概率和其它分子位置無(wú)關(guān)；一個(gè)分子出現(xiàn)在容器內(nèi)，可能微觀狀態(tài)數(shù)和容器體積成正比，所以N 個(gè)分子出現(xiàn)在容器V 中可能微觀狀態(tài)數(shù)為:第27頁(yè)三、微正則

14、分布求熱力學(xué)函數(shù)程序 實(shí)際上，這種計(jì)算方法相當(dāng)復(fù)雜。有一個(gè)例子：?jiǎn)卧咏?jīng)典理想氣體。這個(gè)計(jì)算更詳細(xì)分析參考Pathria書。第28頁(yè)正則分布以及熱力學(xué)公式 微正則分布考慮是孤立系統(tǒng)分布函數(shù)?，F(xiàn)在考慮正則分布，即含有確定粒子數(shù)N，體積V和溫度T系統(tǒng)分布函數(shù)，（N,V,T）確定系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)和大熱源接觸而到達(dá)平衡系統(tǒng)。系統(tǒng)和大熱源組成一個(gè)復(fù)合孤立系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)和熱源作用很弱，熱源很大。第29頁(yè)系統(tǒng)處于能量為Es狀態(tài)s 上概率：上式中，T 為熱源溫度，因?yàn)闊嵩春艽?，交換能量不會(huì)改變熱源溫度。T 當(dāng)然也是系統(tǒng)溫度。利用等概率原理，上式中右邊第一項(xiàng)是常數(shù)，所以有：第30頁(yè)這就是含有確定N,V,T 系統(tǒng)處

15、于能量為Es微觀狀態(tài)s 上概率，式中，Z 稱為配分函數(shù)。第31頁(yè)正則分布熱力學(xué)公式內(nèi)能是在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)能量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值；廣義力是在給定N,V,T條件下， 統(tǒng)計(jì)平均值；第32頁(yè)第33頁(yè)能量漲落 在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)內(nèi)能為能量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值： 我們將能量偏差平方平均值定義為能量漲落：第34頁(yè)實(shí)際氣體物態(tài)方程&經(jīng)典集團(tuán)展開(kāi)介紹 氣體在低密度下能夠忽略分子間相互作用，高密度下應(yīng)該考慮分子間相互作用。系綜理論能夠處理相互作用粒子體系，為了簡(jiǎn)單，我們現(xiàn)在只考慮單原子分子經(jīng)典氣體。第一項(xiàng)代表分子之間動(dòng)能，第二項(xiàng)代表分子之間相互作用勢(shì)能，此處已經(jīng)假設(shè)：相互作用能

16、量能夠表示為各分子正確相互作用能量之和，而且，分子之間相互作用只和分子之間距離相關(guān)系。第35頁(yè)定義函數(shù)（梅逸函數(shù)）：第36頁(yè) 實(shí)際上，分子之間相互作用力為短程力，力程約為分子直徑三四倍，所以梅逸函數(shù)僅僅在極小空間范圍內(nèi)不為零。第37頁(yè)第38頁(yè)對(duì)于低密度氣體有: 第39頁(yè)也就是說(shuō)，稀薄實(shí)際氣體物態(tài)方程為 稱為第二維里系數(shù) 第40頁(yè)分子力半經(jīng)驗(yàn)公式及其圖象f (10-10 N)r (10-10 m)r0rao0.5-0.5引力斥力rm第41頁(yè) 列納德瓊斯用以下半經(jīng)驗(yàn)公式（1924年）表示兩分子間相互作用勢(shì)： 0和r0是兩個(gè)參量，當(dāng)兩分子之間距離為r0時(shí)，相互作用勢(shì)能取極小值-0 。第42頁(yè)剛球模型

17、第43頁(yè)，所以有：在普通情況下，上面得到a、b和溫度無(wú)關(guān)，實(shí)際氣體和溫度相關(guān)。第44頁(yè) 上面方法適合用于稀薄實(shí)際氣體，上面只是推出了物態(tài)方程。普通地，將系統(tǒng)各種物理量寫成級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，級(jí)數(shù)主要項(xiàng)表示對(duì)應(yīng)理想系統(tǒng)結(jié)果，而后面各項(xiàng)則表示由粒子間相互作用引發(fā)修正。這種方法稱為集團(tuán)展開(kāi)法。 梅逸等人在20世紀(jì)30年代完成了對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)系統(tǒng)方法，以后由Kahn，Uhlenbeck，李政道和楊振寧等將這方法推廣到量子系統(tǒng)。 經(jīng)典集團(tuán)展開(kāi)能夠深入詳細(xì)參看： 張先蔚，“量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)”（第二版）第三章第一節(jié)。第45頁(yè)固體熱容量&聲子和元激發(fā)&朗道費(fèi)米液體理論初步 固體中相鄰原子距離很?。?埃），原子間

18、存在很強(qiáng)相互作用，在這相互作用下，各原子有一定平衡位置，原子在其平衡位置附近做微振動(dòng)。設(shè)固體有N個(gè)原子，每個(gè)原子有3個(gè)自由度，則整個(gè)固體自由度為3N。以 表示第i個(gè)自由度偏離其平衡位置位移，對(duì)應(yīng)動(dòng)量為 ，則系統(tǒng)能量能夠表示為：上式中， 稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，它是將全體原子坐標(biāo)加以線性組合而得到一個(gè)集體坐標(biāo)，與全體原子坐標(biāo)都相關(guān)系，由上式還能夠看出，這3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)，其特征頻率為:第46頁(yè) 這么，強(qiáng)耦合N個(gè)原子微振動(dòng)變換為3N個(gè)近獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在勢(shì)能展開(kāi)式中，假如保留三次項(xiàng)，簡(jiǎn)正振動(dòng)之間將有相互作用。上式中， 是描述第i個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)量子數(shù)，由此可得系統(tǒng)配分函數(shù)為：第4

19、7頁(yè) 要詳細(xì)依據(jù)上式求出內(nèi)能，需要知道簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率分布，這就是簡(jiǎn)正振動(dòng)頻譜，最簡(jiǎn)單假設(shè)是假設(shè)3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率都相同，這就是愛(ài)因斯坦模型。 德拜主要觀點(diǎn)以下： （1）將固體看作連續(xù)彈性媒質(zhì)，3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)是彈性媒質(zhì)基本波動(dòng)，固體上任意彈性波都能夠分解為3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加。 （2）固體上傳輸彈性波有縱波（膨脹壓縮波）和橫波（扭轉(zhuǎn)波）兩種，橫波有兩種振動(dòng)方式（因?yàn)樵诖怪庇趥鬏敺较蛴袃蓚€(gè)相互垂直方向）。 （3）能夠用波矢和偏振標(biāo)志3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)。 用cl 和ct 分別表示縱波和橫波傳輸速度，二者圓頻率和波矢大小分別滿足以下關(guān)系：第48頁(yè) 因?yàn)楣腆w只有3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)，所以必定存在一個(gè)最大圓頻率D（德拜

20、頻率,19）:第49頁(yè)第50頁(yè) 對(duì)于非金屬固體，上式和試驗(yàn)符合；金屬在3K以上也符合上述規(guī)律，不過(guò)在3K以下，不能忽略自由電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)，上式只是固體熱容量原子部分。 德拜理論缺點(diǎn)：忽略了固體中原子離散結(jié)構(gòu)，在高頻范圍內(nèi)和試驗(yàn)不符合。第51頁(yè)聲子和元激發(fā) 以上是從波動(dòng)觀點(diǎn)角度討論原子熱振動(dòng)，也能夠從粒子觀點(diǎn)角度討論。 波矢為k,含有某一偏振簡(jiǎn)正振動(dòng)能量為：能量以 為單元，能夠把簡(jiǎn)正振動(dòng)能量量子看作一個(gè)準(zhǔn)粒子，稱為聲子，聲子準(zhǔn)動(dòng)量和能量為：第52頁(yè) 含有某一波矢和偏振簡(jiǎn)正振動(dòng)處于量子數(shù)為n激發(fā)態(tài)，相當(dāng)于產(chǎn)生了含有某一準(zhǔn)動(dòng)量和偏振n個(gè)聲子。不一樣簡(jiǎn)正振動(dòng)，含有不一樣波矢和偏振，對(duì)應(yīng)于狀態(tài)不一樣聲

21、子。 因?yàn)楹?jiǎn)正振動(dòng)量子數(shù)可取零或者任意正整數(shù)，處于某一狀態(tài)（一定準(zhǔn)動(dòng)量和偏振）聲子數(shù)是任意，所以聲子恪守玻色分布。 溫度為T 時(shí)處于能量為 一個(gè)狀態(tài)上平均聲子數(shù) 從微觀角度看，平衡態(tài)下各簡(jiǎn)正振動(dòng)能量不停改變，相當(dāng)于各狀態(tài)聲子不停被產(chǎn)生和毀滅，所以聲子數(shù)不是恒定，聲子氣體化學(xué)勢(shì)為零。第53頁(yè) 以上對(duì)固體中原子熱運(yùn)動(dòng)討論在物理上很有啟發(fā)性： （1）組成固體真實(shí)粒子是原子，因?yàn)樵娱g存在很強(qiáng)相互作用，直接討論原子熱運(yùn)動(dòng)是很困難。 （2）將原子3N個(gè)振動(dòng)自由度變換為3N個(gè)近獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)，問(wèn)題便于處理。 （3）假如深入把簡(jiǎn)正振動(dòng)激發(fā)量子看成一個(gè)“元激發(fā)”或者“準(zhǔn)粒子”聲子，便把相互作用原子系統(tǒng)簡(jiǎn)化為“準(zhǔn)

22、粒子”理想氣體，能夠用最概然分布方法處理。這個(gè)觀念在研究有相互作用粒子系統(tǒng)時(shí)有廣泛應(yīng)用。第54頁(yè) 用元激發(fā)方法計(jì)算熱力學(xué)量需要知道系統(tǒng)能譜。在低溫下，系統(tǒng)處于高激發(fā)態(tài)概率很小，能夠只考慮低激發(fā)態(tài)。在許多情況下，能夠把系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量表示為元激發(fā)能量之和： 上式說(shuō)明，處于低激發(fā)態(tài)系統(tǒng)能夠等效看作是某種元激發(fā)理想氣體，假如知道元激發(fā)能量動(dòng)量關(guān)系，而且能夠確定元激發(fā)遵從是玻色或者費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，就能夠用最概然分布討論系統(tǒng)在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第55頁(yè)朗道費(fèi)米液體理論初步 第八章第五節(jié)說(shuō)明： （1）在0K時(shí)理想費(fèi)米氣體處于基態(tài)，粒子占滿了動(dòng)量空間中半徑為費(fèi)米動(dòng)量大小費(fèi)米球，動(dòng)量大于費(fèi)米動(dòng)量狀態(tài)完全沒(méi)有被占據(jù)。

23、 （2）費(fèi)米氣體處于低激發(fā)態(tài)時(shí)，有少許粒子躍遷到動(dòng)量大于費(fèi)米動(dòng)量狀態(tài)，而在費(fèi)米球中留下空穴。 （3）費(fèi)米動(dòng)量大小由氣體數(shù)密度決定：第56頁(yè) 液體和氣體沒(méi)有嚴(yán)格界限，基于此，朗道認(rèn)為： （1）假如在理想費(fèi)米氣體中逐步加入粒子之間相互作用，理想費(fèi)米氣體將過(guò)渡到費(fèi)米液體，氣體粒子過(guò)渡到液體準(zhǔn)粒子。液體中準(zhǔn)粒子數(shù)和原來(lái)氣體或者液體中實(shí)際粒子數(shù)相同。 （2）對(duì)于均勻系統(tǒng)，準(zhǔn)粒子狀態(tài)仍可有動(dòng)量為p和自旋S 描述。 （3）0K時(shí)費(fèi)米液體處于基態(tài)，準(zhǔn)粒子占滿了動(dòng)量空間中半徑為費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米球，這里費(fèi)米動(dòng)量仍由 確定，不過(guò)n 是液體粒子數(shù)密度。 （4）費(fèi)米液體處于低激發(fā)態(tài)時(shí)，有少許準(zhǔn)粒子躍遷到動(dòng)量大于費(fèi)米動(dòng)量狀態(tài)

24、，而在費(fèi)米球中留下空穴。第57頁(yè) 因?yàn)橘M(fèi)米液體準(zhǔn)粒子之間存在相互作用，單個(gè)粒子能量 和其它準(zhǔn)粒子所處狀態(tài)相關(guān)，也就是說(shuō)和準(zhǔn)粒子分布相關(guān)，所以和理想費(fèi)米氣體不一樣，費(fèi)米液體能量不能表示為單個(gè)準(zhǔn)粒子能量之和，而是分布函數(shù) 泛函，準(zhǔn)粒子能量 由定義以下：第58頁(yè) 處于平衡狀態(tài)理想費(fèi)米氣體熵為：上式兩項(xiàng)能夠分別了解為因?yàn)榱Ｗ雍蟹植?和空穴含有分布 所造成熵。上式不但適合用于平衡態(tài)，也適合用于非平衡態(tài)。假如 是某非平衡態(tài)下粒子分布，對(duì)應(yīng)熵就由上式表示。在總粒子數(shù)、總能量和給定體積情形下，平衡態(tài)分布使得熵取極大值。能夠證實(shí)，平衡態(tài)下分布有以下形式：第59頁(yè) 溫度為OK時(shí)，分布函數(shù)、準(zhǔn)粒子能量、化學(xué)勢(shì)分別

25、為： ，所以分布函數(shù)是一個(gè)階躍函數(shù)。這和理想費(fèi)米氣體完全一致。第60頁(yè) 對(duì)于理想費(fèi)米氣體，有一樣能夠引入準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量概念，定義：第61頁(yè) 對(duì)于理想費(fèi)米氣體，僅僅在費(fèi)米面附近電子對(duì)低溫?zé)崛萘坑胸暙I(xiàn)，為所以，依據(jù)費(fèi)米液體和理想費(fèi)米氣體相同性，能夠直接寫出低溫下費(fèi)米液體熱容量為：第62頁(yè) 例子（習(xí)題8.25）：He-3是費(fèi)米子，在液He-3中原子有很強(qiáng)相互作用，按照朗道理論，能夠?qū)⒁篐e-3看作是和原子數(shù)目相同He-3準(zhǔn)粒子組成費(fèi)米液體。已知He-3密度為81kg每立方米，在0.1K以下定容熱容量為由此，能夠估算He-3準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量為：第63頁(yè)液4He性質(zhì)&朗道超流理論 氦有兩種同位素，3He和

26、4He，3He是費(fèi)米子，4He自旋為零，是玻色子，它們?cè)谕ǔ簭?qiáng)下直到靠近于絕對(duì)零度依然能夠保持為液態(tài)（量子效應(yīng)主導(dǎo)），以下是4He相圖。第64頁(yè)4He相圖性質(zhì)有兩個(gè)完全不一樣相：He-I和He-II，He-I有通常液體特征。當(dāng)He-I沿著它氣液兩相平衡曲線降溫到2.17K時(shí)，He-IHe-II，這是連續(xù)相變，無(wú)潛熱和體積突變。從兩側(cè)趨于相變點(diǎn)，比熱容以對(duì)數(shù)形式發(fā)散，比熱容伴隨溫度改變曲線形狀酷似希臘字母，所以也稱為相變。第65頁(yè)He-II奇特效應(yīng)超流動(dòng)性：毛細(xì)管；粘滯系數(shù)為零； （1937年，卡皮查（Kapitza）首次發(fā)覺(jué)，1978年，Nobel Prize）。存在臨界速度；阻尼；1938

27、年蒂薩二流體模型，超流體和正常流體密度比值取決于溫度；1946年安東尼卡什維里試驗(yàn)。熱力效應(yīng)；力熱效應(yīng)（零粘滯性，零熵）；噴泉效應(yīng)（Fountain Effect）是熱力效應(yīng)。熱導(dǎo)率高，不沸騰，蒸發(fā)僅僅在表面發(fā)生。表面膜效應(yīng)（來(lái)自超流動(dòng)性和高導(dǎo)熱率）。第66頁(yè)第一聲和第二聲朗道依據(jù)二流體模型預(yù)言，在4He-II中能夠傳輸兩種不一樣波動(dòng)。假如正常成份和超流成份振動(dòng)同相，總密度疏密振動(dòng)對(duì)應(yīng)聲波（第一聲）。假如二者振動(dòng)有180度相位差，則兩種成份在保持總密度不變情況下各自有疏密振動(dòng)，因?yàn)槌鞒煞荼褥貫榱?，所以正常成份振?dòng)給出比熵或者溫度振動(dòng)，這種熵波或者溫度波稱為第二聲。第67頁(yè)朗道超流理論 朗道把

28、溫度不十分靠近臨界溫度He-II看成是處于弱激發(fā)狀態(tài)量子玻色系統(tǒng)，在基態(tài)背景下（超流成份）產(chǎn)生了元激發(fā)組成理想氣體（正常成份）。 以p 和 表示元激發(fā)動(dòng)量和能量， 表示元激發(fā)數(shù)，系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量和動(dòng)量能夠表示為：第68頁(yè) 溫度遠(yuǎn)低于臨界溫度時(shí)，熱容量正比于溫度三次方，這是聲子氣體特征；而當(dāng)溫度較高時(shí)，熱容量含有行為exp(-/kT)項(xiàng)（為常數(shù)）,考慮到這一點(diǎn)，朗道對(duì)元激發(fā)能譜作了以下列圖猜測(cè)。這得到了試驗(yàn)證實(shí)。第69頁(yè)第70頁(yè)第71頁(yè) 熱平衡下，元激發(fā)存在于能量取極小值附近。 在能量取零點(diǎn)位置，對(duì)應(yīng)元激發(fā)就是He-II中聲子，能量和動(dòng)量關(guān)系是線性，比值就是聲速。 在p0附近，能量能夠展開(kāi)成冪級(jí)

29、數(shù)，對(duì)應(yīng)元激發(fā)稱為旋子，稱為能隙： 聲子和旋子都遵從玻色分布，因?yàn)樵ぐl(fā)數(shù)不確定，它們化學(xué)勢(shì)為零。依據(jù)元激發(fā)譜能夠計(jì)算He-II在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第72頁(yè)朗道超流判據(jù)超流體流速在臨界速度以上時(shí)，超流動(dòng)性被破壞，朗道超流判據(jù)是計(jì)算這個(gè)臨界速度。對(duì)于聲子和旋子激發(fā)，能夠分別計(jì)算出臨界速度。朗道理論比試驗(yàn)結(jié)果偏大，R. Feynman認(rèn)為，臨界速度是由另外一個(gè)激發(fā):量子化渦旋來(lái)決定，相關(guān)理論計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果大致相符。第73頁(yè)3He超流1971年，奧舍羅夫在2.6mK以下低溫發(fā)覺(jué)了3He超流現(xiàn)象。零磁場(chǎng)下有兩個(gè)超流相：A相和B相，A相是兩個(gè)He原子以自旋相同方式結(jié)合成束縛對(duì)而形成玻色子，所以是各項(xiàng)異性

30、；B相是He原子自旋反向配正確方式結(jié)合成玻色子，所以是各項(xiàng)同性。正常相和超流相轉(zhuǎn)變是連續(xù)相變。AB相之間轉(zhuǎn)換是一級(jí)相變。第74頁(yè)稀釋致冷原理能夠維持2mK低溫。第75頁(yè)Ising模型平均場(chǎng)理論 本節(jié)討論相變問(wèn)題。 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)經(jīng)過(guò)對(duì)配分函數(shù)求導(dǎo)數(shù)能夠求得系統(tǒng)熱力學(xué)函數(shù)，從而確定系統(tǒng)全部平衡性質(zhì)，不過(guò)在相變點(diǎn)一些熱力學(xué)量會(huì)發(fā)生突變或者出現(xiàn)無(wú)窮尖峰，那么從單一配分函數(shù)表示式能否同時(shí)描述各相和相轉(zhuǎn)變呢？這是從20世紀(jì)30年代中葉開(kāi)始發(fā)生爭(zhēng)論問(wèn)題。 回答這個(gè)問(wèn)題一個(gè)方法是，建立包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征簡(jiǎn)化模型，嚴(yán)格導(dǎo)出在其相變點(diǎn)宏觀特征。這個(gè)領(lǐng)域經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)研究，已經(jīng)形成統(tǒng)計(jì)物理學(xué)一個(gè)專門研究方向：相變和臨

31、界現(xiàn)象（參考于祿、郝柏林著“相變和臨界現(xiàn)象”）。 本節(jié)考慮最簡(jiǎn)單模型-Ising模型，這個(gè)模型能夠近似描述單軸各向異性鐵磁體鐵磁-順磁相變，稍微改變還能夠描述氣體-液體相變，合金有序無(wú)序相變等。 第76頁(yè)Ising模型介紹 考慮N 個(gè)磁性原子定域在晶體格點(diǎn)上，假設(shè)原子總角動(dòng)量量子數(shù)為1/2,原子磁矩大小為 。 1929年，Heisenberg提出，鐵磁性起源于電子交換作用（鐵磁體：ferromagnetism ），交換作用是一個(gè)量子力學(xué)效應(yīng)，是庫(kù)侖排斥作用和泡利不相容原理共同結(jié)果，這么，兩個(gè)近鄰原子相互作用能量和電子自旋狀態(tài)相關(guān)，這就是Heisengerg模型。 對(duì)于單軸各向異性鐵磁體，原子自

32、旋平行（=1）或者反平行（= -1）于一個(gè)晶軸，我們用z 軸表示這個(gè)晶軸方向，這么，鐵磁體原子相互作用能量為：第77頁(yè) 假如J 0, 則當(dāng)全部自旋含有相同取向時(shí)系統(tǒng)含有最低能量，對(duì)應(yīng)于絕對(duì)零度下?tīng)顟B(tài)；在足夠低溫度下，也會(huì)有較多自旋含有相同取向，這就是無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)鐵磁體含有自發(fā)磁化原因。 最主要是，即使交換作用是短程力，只存在近鄰自旋之間，不過(guò)系統(tǒng)中能夠出現(xiàn)長(zhǎng)程有序。第78頁(yè)系統(tǒng)配分函數(shù)是： Ising模型即使簡(jiǎn)單，不過(guò)嚴(yán)格求解極為困難。 1925年，Ising本人求得了一維嚴(yán)格解，一維沒(méi)有相變。 1946年昂薩格求得了二維情形嚴(yán)格解，他工作是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)最主要成就之一，因?yàn)榈谝淮吻宄C實(shí)，從沒(méi)有奇

33、異哈密頓量出發(fā)，在熱力學(xué)極限下熱力學(xué)函數(shù)在臨界點(diǎn)附近有奇異性。 三維Ising模型當(dāng)前有許多近似解，不過(guò)嚴(yán)格解至今依然沒(méi)有得到。第79頁(yè)Ising model（From Wikipedia）The Ising model is a mathematical model of ferromagnetism in statistical mechanics. It was invented by the physicist Wilhelm Lenz who gave it as a problem to his student Ernst Ising after whom it is named.

34、 The model consists of discrete variables called spins that can be in one of two states. The spins are arranged in a lattice or graph, and each spin interacts only with its nearest neighbors.The 1-dimensional Ising model has no phase change and was in 1925 already solved by Ernst Ising himself. The

35、2-dimensional square lattice Ising model is much harder and, in the case of zero magnetic field, was given a complete analytic description much later, by Onsager (1944). In fact, the two-dimensional model has a phase change, and is one of the simplest statistical models with this property. The two-d

36、imensional model is usually solved by a transfer-matrix method, although there exist different approaches, more related to quantum field theory.In three dimensions, the Ising model was shown to have a representation in terms of non-interacting Fermionic lattice strings by Alexander Polyakov. In dime

37、nsions near four, the critical behavior of the model is understood to correspond to the renormalization behavior of the scalar phi-4 theory (see Kenneth Wilson). In dimensions five and higher, the phase-transition of the Ising model is described by mean field theory.Istrail () showed that computing the free energy of an arbitrary subgraph of an Ising model on a lattice of dimension three or more is computationally intractable. This means that in dimensions