概率與統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)全歸納

1、概率與統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)全歸納1隨機(jī)抽樣(1)簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣(2)分層抽樣：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣2用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示各小長方形的面積總和等于1.(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中

2、各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線(3)莖葉圖莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)3用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)(3)平均數(shù)：eq xto(x)eq f(x1x2xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，seq r(f(1,n)x1xto(x)2x2xto(x)

3、2xnxto(x)2).(5)方差：s2eq f(1,n)(x1eq xto(x)2(x2eq xto(x)2(xneq xto(x)2(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq xto(x)是樣本平均數(shù))4概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)eq f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率(2)對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)5事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，則稱

4、事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系若BA且AB，則稱事件A與事件B相等AB并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件AB且P(AB)P(A)P(B)16.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0P(A)1. (2)必然事件的概率P(E)1.(3

5、)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)1P(B)7古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等8古典概型的概率公式P(A)eq f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).9相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類正相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)負(fù)相關(guān)：在散點(diǎn)圖中

6、，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)(2)線性相關(guān)關(guān)系：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(3)回歸方程最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法回歸方程：方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中eq o(a,sup6()，eq o(b,sup6()是待定參數(shù)(4)回歸分析定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分

7、析的一種常用方法樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(eq xto(x)，eq xto(y)稱為樣本點(diǎn)的中心相關(guān)系數(shù)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性10獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變

8、量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為22列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2eq f(nadbc2,abcdacbd)，其中nabcd為樣本容量(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)11.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一般形式區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，

9、都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法12排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組13排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n

10、個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)eq f(n！,nm！)Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)eq f(n！,m！nm！)性質(zhì)Aeq oal(n,n)n！，0！1Ceq oal(m,n)nCeq oal(nm,n)，Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n)1，Ceq oal(n,n)1，Ceq oal(0,n)114二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1b1Ceq oa

11、l(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn(nN*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tk1Ceq oal(k,n)ankbk，它表示第k1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，Ceq oal(n,n)15.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq oal(0,n)1，Ceq oal(n,n)1，Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n). Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)(0mn)(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第eq f(n,2)1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最

12、大值為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第eq f(n1,2)項(xiàng)和第eq f(n3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq oal(0,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(n,n)2n，Ceq oal(0,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(4,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(3,n)Ceq oal(5,n)2n1.16離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n

13、)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：pi0，i1,2，n；p1+p2+pn=1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和17兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1pp其中0p0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)eq f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)22相互獨(dú)立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B

14、是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq xto(B)，eq xto(A)與B，eq xto(A)與eq xto(B)也都相互獨(dú)立(4)P(AB)P(A)P(B)A與B相互獨(dú)立23獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Ceq oal(k,n)pk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率24兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)25正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)eq f(1,r(2)，x(，)，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)(0，R)我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正