2022屆廣東省東莞市達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD2從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A18B24C30D363已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人

2、解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（ ）ABCD4若，則（ ）ABCD5將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（ ）ABCD6曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取，他們分別被哪個(gè)學(xué)校錄取，同學(xué)們做了如下的猜想甲同學(xué)猜：曾玉被武漢大學(xué)錄取，李夢(mèng)被復(fù)旦大學(xué)錄取同學(xué)乙猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被北京大學(xué)錄取同學(xué)丙猜：曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取，李夢(mèng)被清華大學(xué)錄取同學(xué)丁猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被武漢大學(xué)錄取結(jié)果，恰好有三位同學(xué)的猜想各對(duì)了一半，

3、還有一位同學(xué)的猜想都不對(duì)那么曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被錄取的大小可能是（ ）A北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)B武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)C清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué) 、復(fù)旦大學(xué)D武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)7四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著紅樓夢(mèng)、三國(guó)演義、水滸傳、西游記（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（ ）ABCD8的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A-160B-120C40D2009下列點(diǎn)不在直線 (t為參數(shù))

4、上的是()A(1，2)B(2，1)C(3，2)D(3，2)10若函數(shù)f(x)=x2lnx與函數(shù)A(-,1e2-1e11用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)變形正確的是（ ）ABCD12在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是_14有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排

5、法共有_種（用數(shù)字作答）15若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是_，最大值是_16某旋轉(zhuǎn)體的三視圖如圖所示，則該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是_. 主視圖 左視圖 俯視圖三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，證明：（為自然對(duì)數(shù)）.18（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對(duì)任意的均成立，求實(shí)數(shù)的最小值.19（12分）某縣教育局為了檢查本縣甲、乙兩所學(xué)校的學(xué)生對(duì)安全知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，在這兩所學(xué)校進(jìn)行了安全知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)在這兩所學(xué)校各抽取20名學(xué)生的考試成績(jī)作為樣本，成績(jī)大于或等于80分

6、的為優(yōu)秀，否則為不優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖： 甲校 乙校（1）從乙校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中任選兩名，求這兩名學(xué)生的成績(jī)恰有一個(gè)落在內(nèi)的概率；（2）由以上數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)與兩所學(xué)校的選擇有關(guān)。甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)20（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)和在公共定義域內(nèi)，恒成立；（3）若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，滿足，求證：21（12分）我國(guó)2019年新年賀歲大片流浪地球自上映以來引發(fā)了社會(huì)的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評(píng).假設(shè)男性觀眾認(rèn)為流浪地球好看的概率為，女性觀眾認(rèn)為流浪地球好看的概率為，某機(jī)構(gòu)就流浪地球是否好看的問題隨機(jī)

7、采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為流浪地球好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.22（10分）已知,且.證明：（）；（）.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有

8、兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.2、C【解析】由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類，一類是1男2女，一類是2男1女.【詳解】由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考查分類與分步計(jì)算原理，考查分類討論思想及簡(jiǎn)單的計(jì)算問題.3、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件

9、；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問題.4、A【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.詳解：因?yàn)?，所以，解得，故選A.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意

10、多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.5、B【解析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換6、D【解析】推理得到甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙被錄取的大學(xué)為武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)（另外武漢大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)也滿足）.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的推理能力.7、A【解析】通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【詳解】對(duì)于

11、甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.8、B【解析】分析：將化為含由展開式中的， 常數(shù)項(xiàng)與中展開式中的常數(shù)項(xiàng)，分別對(duì)應(yīng)相乘得到.分別求出相應(yīng)的系數(shù)，對(duì)應(yīng)相乘再相加即可.詳解：將化為含由展開式中的， 常數(shù)項(xiàng)與中展開式中的常數(shù)項(xiàng)，分別對(duì)應(yīng)相乘得到. 展開式的通項(xiàng)為 ， 常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)分別為展開式的通項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，的系數(shù)分別為故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選B.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目9、D【解析】先求出直線l的普通方程，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，滿足

12、則在直線l上，否則不在.【詳解】直線l的普通方程為xy10，因此點(diǎn)(3，2)的坐標(biāo)不適合方程xy10.故答案為D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的互化，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2) 參數(shù)方程消參常用的方法有三種:加減消參、代入消參、恒等式消參法.10、B【解析】通過參數(shù)分離得到a=lnx2x-x2lnx【詳解】若函數(shù)f(x)=x2lnx2ln設(shè)t=t=lnxxt=1-lnx畫出圖像：a=t2-a=t2-t1t2=故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，參數(shù)分離換元法是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除， 當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答

13、案為A考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法12、D【解析】取CC1的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，A1F，EF，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值【詳解】取的中點(diǎn).連接.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因?yàn)?所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，小圓錐半徑為、

14、高為，大圓錐半徑為，高為，根據(jù)側(cè)面積之比可得，再由圓錐側(cè)面展幵扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關(guān)于的式子，從而將兩個(gè)圓錐的體積都表示成的式子，求出它們的比值.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為，則，得，兩圓錐的側(cè)面展幵圖恰好拼成一個(gè)圓，得，再由勾股定理，得，同理可得，兩個(gè)圓錐的體積之比為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的性質(zhì)與側(cè)面積，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于中檔題.14、431【解析】數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1、 4，3，1，1、 3，3，1，1所以共有種不同排法15、3 9 【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，將

15、問題轉(zhuǎn)化為求解在軸截距的最大值和最小值，由圖象可知過時(shí)，最?。贿^時(shí)，最大，求出坐標(biāo)，代入可得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則求的最大值和最小值即為求在軸截距的最大值和最小值由平移可知，當(dāng)過時(shí)，最??；過時(shí)，最大由得：；由得：，本題正確結(jié)果：；【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值問題的求解，屬于常考題型.16、【解析】根據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)圓錐，求出底面半徑和母線長(zhǎng)，代入側(cè)面積公式，可得答案【詳解】解：由已知有可得：該幾何體是一個(gè)圓錐，底面直徑為2，底面半徑r1，高為3，故母線長(zhǎng)l，故圓錐的側(cè)面積Srl，故答案為：【點(diǎn)

16、睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間幾何體的三視圖，圓錐的體積和表面積，難度不大，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】分析：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價(jià)于，由此可求的取值范圍；（2）求出，因?yàn)橛袃蓸O值點(diǎn)，所以， 設(shè)令，則，上式等價(jià)于要證，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出即可詳解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即，因?yàn)椋?，故的取值范圍? （2）可知，所以， 因?yàn)橛袃蓸O值點(diǎn)，所以， 欲證，等價(jià)于要證：，即，所以，因?yàn)椋栽降葍r(jià)于要證明

17、：，由，可得，則有，由原式等價(jià)于要證明：，即證，令，則，上式等價(jià)于要證， 令，則因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，即.所以原不等式成立，即. 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，屬難題18、（1）證明見解析（2）【解析】(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負(fù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因?yàn)椋ㄆ渲校?所以,所以,成立.（2）解：設(shè),.,所以,.下面證明當(dāng)時(shí),成立.,因?yàn)?所以,所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,所以

18、,所以,當(dāng)時(shí),.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時(shí)也考查了數(shù)列中求最大值項(xiàng)的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負(fù)判斷,屬于難題.19、 (1) ;(2) 在犯錯(cuò)的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)與兩所學(xué)校的選擇有關(guān).【解析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積為1，求得a的值，再計(jì)算乙校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；（2）由題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.詳解：（1）頻率分布直方圖中矩形面積為1成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為從乙校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中任選兩名的基本事件的總數(shù)為：兩名學(xué)生的成績(jī)恰有

19、一個(gè)落在內(nèi)的基本事件的個(gè)數(shù)為：則這兩名學(xué)生的成績(jī)恰有一個(gè)落在內(nèi)的概率為：（2）由已知得列聯(lián)表如下甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀11516不優(yōu)秀91524總計(jì)202040所以在犯錯(cuò)的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)與兩所學(xué)校的選擇有關(guān)。點(diǎn)睛：本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了頻率分布直方圖與概率的計(jì)算問題，是中檔題.20、（1）增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間和極值；（2）構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)和求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設(shè)即可,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式.詳解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為; (2)證明:函數(shù)和的公共定義域?yàn)?設(shè),則在上單調(diào)遞增,故;設(shè),當(dāng)時(shí)有極大值點(diǎn),;故;故函數(shù)和在公共定義域內(nèi),. (3)證明:不妨設(shè),由題意得,;所以;而要證,只需證明;即證明;即證明;即證明,;令,則;即證明