極限的四則運算

1、極限的四則運算（1）極限的四則運算（1）【目的要求】則。會用極限四則運算法則求較復雜涵數(shù)的極限。【教學過程】提問入手，導入新課對簡單涵數(shù)，我們可以根據(jù)它的圖象或通過分析涵數(shù)值的變化趨勢直接寫出它們的極限。如 x11 =1 ,limx=1.2x2對于復雜一點的涵數(shù), 如何求極限呢?例如計算 lim (x+ 1 )lim (x+ 1x1)即lim2 x2 x2 1 ，顯然通過畫圖或分析涵數(shù)值的變化趨勢找出x12xx12x通過法則，把求復雜涵數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求簡單涵數(shù)的極限。板書課題：極限的四則運算。特殊探路，發(fā)現(xiàn)規(guī)律考察x12 x2 1 ，完成下表： 2 xX0X090991101112X22

2、X（用計算器2 x2 3 1 1 lim x 1對此發(fā)現(xiàn)：x12x2x1 2xx1lim 2 x2 1 = lim （X+ 1）=limx+1 =1+ 1 = 3 .x12xx12Xx1 2x22由此得出一般結論：涵數(shù)極限的四則運算法則：如果lim f(x)=a,lim g(x)=b,那麼x x0 x x0lim f(x) g(x)=a bx x0lim f(X) g(X)=a bx x0lim f ( x) = a (b 0)x x0g( X)b特別的（1）lim C f(X)=C lim f(X)(C 為常數(shù))x x0 x x0lim f(X)n =lim f(X)n (nN)xxxx00

3、這些法則對X的情況仍然成立兩個常用極限limxn =Xn , 1 =0 (n N )應用舉例，熟悉法例1求lim 2x22x1x1 x3 2 x2 1xx00 x xn問：已知涵數(shù)中含有哪些簡單涵數(shù)？它是經(jīng)過怎樣的運算結合而成的？是否適用法則？適用哪一條法則？師生共同分析，邊問邊答規(guī)范寫出解答過程。解：= lim(2x2x1) = lim2x2 limxlim1 =2lim 2 x2 x1x 1x x 1 x 1212 11x1x3 2 x2 1lim(x32x2l imx3 lim 2 x2 lim113 212 1x 1x 1x1x1謹?shù)乃季S。限值時，丟掉符號是錯誤的。點評：例 1 說明，

4、求某些涵數(shù)（到底是哪些涵數(shù)，學了2。6 節(jié)就知道了。激發(fā)學生學習積極性，為講連續(xù)涵數(shù)埋下伏筆）在某一點x=x處的極限值時，只要把 x=x0代入涵數(shù)解析式中就可得到極限值，此種求極限值的方法不妨叫代入法。鞏固練習：求limx2x1 2 x2 x1問：本題還能用代入法求其極限值嗎？為什么？引導分析：如果把x=1 直接代入x2 2x2中，那磨分子、分母都為零。雖然分子分母的極限都存在，但不適合用商的法則（為什么？），不x=1 處附近的點（即可認為x 1），故可把分子、分母分解因式解：原式= lim ( x1)( x1)=x =lim( x1)= lim x lim1= =1x1x1x11 12x1

5、( x1)(2 x1)x12 lim(2lim2xlim13x 1x1x1點評：函數(shù)在某一點的極限，考察的是函數(shù)值的變化趨勢，與函。鞏固練習：教科書第 88 頁練習第 2 題?；仡櫩偨Y函數(shù)極限四則運算法則。一般的，中學階段接觸的函數(shù)，若要求其在某一點處的極限值，通?？芍苯佑么敕ǎ蛘呤窍茸冃危ㄖ饕羌s去公因式），化為可用代入法求極限的情形。達標檢測思考題：已只lim 2 axb =5a、b 的值。x3 x2 2 x3答案：a=14，b=-51極限的四則運算（2）極限的四則運算（2）【目的要求】了解由一般到特殊這種演繹思想的。掌握數(shù)列極限的運算法則，會求數(shù)列極限?！窘虒W過程】復習引入，演繹結論

6、提問：（1）函數(shù)極限的四則運算法則（2）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)（自變量為 n，函數(shù)值為an）,引入數(shù)列的極限是函數(shù)極限的特例。數(shù)列極限的運算法則也是函數(shù)極限四則運算法則的特例。 得出數(shù)列極限的四則運算法則：如果lim an=a, limbn =b.,那麼lim （anb ）=a b_ n_lim(anb )=ablim（Cann）=Clim(Cnlimna =a （b 0）nbbnn說明法則的前提條件是lim ann、lim bn 都存在（如果是商的運算，lim bn =b 0）法則可推廣到有限多個情形limC=C ,lim1 =0 ,limqn=0q 0）。n an 5n若lim(6ann b

7、 ) =7，lim(3ann4bn) =-1，求lim(3anb 的值。n答案：（1）a=b= 1 .2(2)-3(3)0a5時,1.(4)2極限的四則運算（3）極限的四則運算（3）【目的要求】進一步熟練掌握極限的四則運算法則，理解法則的簡單應用，通過有限項的和與無限項的和之間的辯證關系，加深對極限概念的理解?！窘虒W回顧】復習回顧極限概念是通過什麼引入例字的？極限概念及思想的要點是什么？問題解決例 在半經(jīng)為R n rn是邊心距， pn是周長， S 是n面積（n =3，4，5，）Sn與r pn有什麼關系？求lim 與lim p 。n nnn利用（1）、（2）S=R2。解：（1）S 1n2r pn

8、n分析：隨著npn在變化，但 pn始終表示正n 邊形的周長，無論 n 取多大的整數(shù)，pn都是圓周長的近似值。從這些近似值的精確度的無限增加中，探索無窮數(shù)列pn的變化趨勢（lim p ），nn2R深化對極限概念的認識。lim r=R，lim =2R。n nnn(3)S=lim = lim( r p)=1limlim p =1 R2R=R21nn1n 2 n n2 n n n2點撥：點撥：r 、pn、S 也可用n、R 表示：rn R cos ，np sin , S1 nR 2 sinnnn2n, lim pn n lim(2R sin ) 2R ，nnlim n limsinnnn 2R 0 0

9、錯在何處？為什麼錯了？雖然lim pn n是存在的，如何計算，以后學了某一重要極限后就會做了。激發(fā)學習興趣。 例 求lim123nnn2由學生自己先做，教師巡視。選出兩種解法，大家分析，判斷正誤，找出錯誤原因：1lim 12 +3 + +n =0+0+0+ +0n n2n n2n n2n n2=0(提醒“+”不要寫成“+”)2limn(n =1 11 (lim1 lim 1 )=2 nn n=n2n22nn=1 0) 122因為極限的四則運算法則只適于有限個數(shù)列的加、減、乘、除的情況。當n 時，和式成了無限項的和，不能使用運算法則。故解法 1 是錯的，通過辨明正誤，培養(yǎng)思維的嚴謹性。3變式訓練

10、，求下列極限（ 1 ）2462n；（ 2）n 1 3 5 (2n 1)lim( 1 1 1）；n 1223n(n （ 3 ） lim(3)n1；（ 4）n 1 3 9 (3)n1limn(11)(1 1)1)。n34n 2 答案：（1）1（2）1（3）12（4）2滿足極限四則運算法則條件后，再求出極限。（2）求和：1 11 1)(1 1)(1 1 ) 1 先再用1223n(n223nn1n 1法則求極限。先用等比數(shù)列的求和公式，求出分母中各項的和。1)(1 1)12 3n 1) n2n 再求極限。34n23 4n2n 21 2n課堂練習：教科書第 91 頁第 4 題三角形的一條邊長為a ，此邊上的高為h 。（1）54n作出n 1n時，這些距形面積之和的極限是三角形的面積1 ah 。2（1）解：(1a 2a 3a 4a1h 2555555（2）解：自上而下記每個小距形的長（寬均為h ）分別為na a a，面積分別為S S S，由相似三角形知識可知，2n112n1a i a(i 1,2, , n 1). 從而這n 1個距形的面積之和inS S 1 ah2hn1h an12n1nnnnnn=ah(1 2 n1)