2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文、理科數(shù)學(xué)之（北京卷）數(shù)學(xué) word版+解析版

1、022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)一、選擇題1。已知全集，集合,則( ）B.C.D.2。若復(fù)數(shù)滿足,則( ）.B.C。D3.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則( ）A.。D。4.已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ ).B.D5。已知函數(shù)，則( ).在上單調(diào)遞減B。在C。在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增6.設(shè)是公差不為的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí),的( ）未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載A充分而不必有條件.必要而不充分條件C。充分必要條件D。既不充分也不必要條件7.在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下

2、二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系， 其中表示溫度， 單位是；表示壓強(qiáng),單位是。下列結(jié)論中正確的是（ )未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載A。當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)當(dāng),時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)當(dāng),時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)。當(dāng),時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)。若,則( ）B.C。D.9.已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)為，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（ )未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載。C。D.10在中，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是( ）A.。C。二、填空題11函數(shù)的定義域是 。已知雙曲線的漸近線方程為，則 。1若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為,則_.1.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的一個(gè)取值為 ，的最大值為 。未經(jīng)許可 請(qǐng)

3、勿轉(zhuǎn)載1已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論:的第項(xiàng)小于；為等比數(shù)列；為遞減數(shù)列;中存在小于的項(xiàng)。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 三、解答題16。在中,（1）求；（2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)。1如圖，在三棱柱中,側(cè)面為正方形，平面平面，分別為,的中點(diǎn)。（1）求證：平面;()再從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線與平面所成角的正弦值未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載條件：；條件：.注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18。在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到以上（含)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)。為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成

4、績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位:)：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立。（1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;（）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明）未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載19已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦距為.（1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),，直線,分別與軸交于點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，求的值.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載20.已知函數(shù)（)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性;（）證明：對(duì)任意的

5、，,有。1。已知：,，為有窮整數(shù)數(shù)列給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中存在，（)，使得,則稱為連續(xù)可表數(shù)列。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（1)判斷:，是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若：，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為；（3)若:,，為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證:.2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷)數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知全集，集合，則（ ）A.C.D.【答案：】D【解析】易得.若復(fù)數(shù)滿足，則（ )A。B。C.D.【答案:】B【解析】條件可知,所以。3。若直線是圓的一條對(duì)稱軸,則( ）。B.C.D【答案:】A【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心,圓心坐標(biāo)，所以由解得。4。

6、已知函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有( )A。B.C?！敬鸢福骸緾【解析】由,可得，所以得.5.已知函數(shù)，則( ）A。在上單調(diào)遞減B.在。在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案：】C【解析】,選項(xiàng)A中：,此時(shí)單調(diào)遞增，選項(xiàng)B中:，此時(shí)先遞增后遞減，選項(xiàng)C中：，此時(shí)單調(diào)遞減，選項(xiàng)中:,此時(shí)先遞減后遞增;所以選C.6。設(shè)是公差不為的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載充分而不必有條件B。必要而不充分條件C充分必要條件D。既不充分也不必要條件【答案:】【解析】充分性證明:若為遞增數(shù)列，則有對(duì),公差，取正整數(shù)(其中為不大于的最大正整數(shù)），則當(dāng)時(shí),只要，都有，必要性證明：

7、若存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)，,對(duì),都成立，且,，對(duì)，都有,即:為遞增數(shù)列；所以“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)，”的充要條件,選C.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載7.在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)。如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系,其中表示溫度， 單位是；表示壓強(qiáng)，單位是。下列結(jié)論中正確的是( ）未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B。當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C。當(dāng),時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案：】D【解析】A選項(xiàng):,，由圖易知處于固態(tài)；選項(xiàng)：，由圖易知處于液態(tài)；C選項(xiàng)：，,由圖

8、易知處于固態(tài)；選項(xiàng)：，,由圖易知處于超臨界狀態(tài);所以選D。若，則（ )B.CD?！敬鸢?】B【解析】當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)時(shí)，；得原式=9已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)為，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合。設(shè)集合,則表示的區(qū)域的面積為（ ）未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載A。B.C。D【答案：】B【解析】過點(diǎn)作底面射影點(diǎn),則由題意，,當(dāng)上存在一點(diǎn)使得，此時(shí),則動(dòng)點(diǎn)為半徑，為圓心的圓里，所以面積為.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載10在中,.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A。B。CD。【答案：】D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系,由題易知,設(shè)，,，設(shè)，所以選D.方法二：，且其中，,選D。二、填空題1函數(shù)的定義域是 ?！敬鸢福骸俊窘馕觥恳李}意

9、，解得。2已知雙曲線的漸近線方程為，則 【答案：】【解析】雙曲線的漸近線方程為，故13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為,則_?！敬鸢?】【解析】,解得,故.1設(shè)函數(shù),若存在最小值，則的一個(gè)取值為 ,的最大值為 。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載【答案:】（答案:不唯一），【解析】由題意知，函數(shù)最值于函數(shù)單調(diào)性相關(guān),故可考慮以，為分界點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí)，該段的值域?yàn)?，故整個(gè)函數(shù)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，,該段值域?yàn)?而的值域?yàn)?故此時(shí)的值域?yàn)?即存在最小值為，故第一個(gè)空可填寫；當(dāng)時(shí)，該段值域?yàn)?而的值域?yàn)?若存在最小值，則需滿足,于是可得;當(dāng)時(shí)，,該段的值域?yàn)?，未?jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載而的值域?yàn)?，若存在最小值，則需滿足，此不等式無

10、解。綜上，的取值范圍是，故的最大值為.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載5。已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：的第項(xiàng)小于；為等比數(shù)列;為遞減數(shù)列；中存在小于的項(xiàng)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?！敬鸢福骸俊窘馕觥?，可得，又各項(xiàng)均為正，可得,令可得,可解得，故正確；當(dāng)時(shí)，由得，于是可得，即，若為等比數(shù)列，則時(shí),即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)則不成立,故錯(cuò)誤;，可得,于是，所以,于是正確；對(duì)于,若所有項(xiàng)均大于等于，取，則，,于是與已知矛盾，所以正確.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載三、解答題16在中,.(1）求；（2）若，且的面積為,求的周長(zhǎng).【答案:】見解析【解析】(1)，(2)，,，由余弦定理得,所以的周長(zhǎng)為1

11、7。如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形,平面平面,，分別為,的中點(diǎn)。（1)求證：平面；(2)再從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線與平面所成角的正弦值。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載條件：；條件：。注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案：】見解析【解析】(1）取中點(diǎn)，連接，在三棱柱中,，因?yàn)?，分別為，,的中點(diǎn)，所以,，即且,所以四邊形為平行四邊形,因此又平面，平面，所以平面.（2)選條件：因?yàn)閭?cè)面為正方形,所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?所以平面，而平面，所以。由(1)得,又因?yàn)?，所以，?所以平面，在三棱柱中，,兩兩垂直，故分別以，,為軸，軸,軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，未經(jīng)

12、許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載因?yàn)?，則,，,所以，設(shè)平面的法向量,由，得，令,得.設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)，所以直線與平面所成角的正弦值為.選條件(2）：取中點(diǎn)，連接，。因?yàn)?，分別為,，的中點(diǎn)，所以,，而，故又因?yàn)?所以.在和中，公共邊，那么，因此,即，故。在三棱柱中,，,兩兩垂直，故分別以,，為軸,軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?則，,所以，,設(shè)平面的法向量，由,得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為.18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到以上(含)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)。為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得

13、到如下數(shù)據(jù)(單位：）：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;（2)設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望;未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載【答案：】見解析【解析】由題意得：設(shè)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件,比賽成績(jī)達(dá)到以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到以上的有：，,四個(gè)，所以，甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(2)設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期

14、望：所有可能取值為，,，。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載甲在校運(yùn)云鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件,則.丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件，則.，.（)甲的平均數(shù)：,乙的平均數(shù):，丙的平均數(shù):，甲的方差：，乙的方差：，丙的方差：。9.已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為。（1）求橢圓的方程;(2）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，,直線，分別與軸交于點(diǎn)，。當(dāng)時(shí)，求的值。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載【答案：】見解析【解析】（）依題意可知：，解得,故橢圓的方程為：;（2）由題可設(shè)直線方程為:，聯(lián)立直線和橢圓方程：,可得,由可得，解得,根據(jù)韋達(dá)定理可得：，直線的斜率為，的直線方程為

15、，令,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)則有.代入韋達(dá)定理式子可得，化簡(jiǎn)可得:,即，可得，兩邊平方則有，解得。故的值為.20。已知函數(shù)。(1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(3）證明：對(duì)任意的，有.【答案：】見解析【解析】（1)由題，,故,因此，曲線在處的切線方程為。（)由（1）,，則，設(shè),則,故在上遞增，故，因此對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增：另解:，故,，因此，對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增;（）設(shè)，則，因此在上單調(diào)遞增,因此,在上遞增,故，因此,對(duì)任意的,，有.21已知：,，為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)，若對(duì)任意的,在中存在，,（），使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（1)判斷:，是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列?說明理由；（2）若:，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為；(3)若:，,為連續(xù)可表數(shù)列,且,求證：【答案：】見解析【解析】(1)若，則對(duì)于任意,，,所以是連續(xù)可表數(shù)列：由不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為,所以不是連續(xù)可表數(shù)列;()反證法：設(shè)的值為，則，,最多能表示,，,共個(gè)數(shù)字，與為連續(xù)可表數(shù)列矛盾,故;未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載現(xiàn)構(gòu)造:，,可以表達(dá)出,，,，這個(gè)數(shù)字,即存在滿足題意，故的最小值為;未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（3）以下先證