歷年高考數(shù)學(xué)真題精選32 二面角33 球

1、歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考試點(diǎn)分類)專題32二面角（學(xué)生版）1(20新課標(biāo))如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上,（1)證明:平面；（2）若,求二面角的正弦值(219新課標(biāo)）圖1是由矩形、和菱形組成的一個平面圖形，其中，.將其沿,折起使得與重合,連結(jié)，如圖2未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（1)證明：圖2中的，四點(diǎn)共面，且平面平面；(2)求圖2中的二面角的大小。3.（2019天津）如圖,平面，,。（)求證:平面；(）求直線與平面所成角的正弦值;（）若二面角的余弦值為，求線段的長4。(2019北京）如圖，在四棱錐中，平面,，,為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（）求證：平面;（）求二面角的余弦值；（）設(shè)點(diǎn)

2、在上，且判斷直線是否在平面內(nèi),說明理由.（2019新課標(biāo)）如圖,直四棱柱的底面是菱形，,，分別是，的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載(1)證明:平面；(2）求二面角的正弦值.6（8新課標(biāo))如圖,邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于,的點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載(1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值7(218新課標(biāo)）如圖,在三棱錐中，,，為的中點(diǎn)(1)證明:平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值.8.(20山東）如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的,是的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)設(shè)是上的一點(diǎn)，

3、且，求的大?。唬ǎ┊?dāng)，時，求二面角的大?。?017新課標(biāo))如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,，是的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)證明:直線平面;（）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值1.(01新課標(biāo)）如圖，在四棱錐中,，且.(）證明：平面平面；（2）若,，求二面角的余弦值.1.（27新課標(biāo)）如圖，四面體中,是正三角形，是直角三角形，未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)證明：平面平面；（2）過的平面交于點(diǎn),若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載12.(2016浙江）如圖,在三棱臺中，已知平面平面，,，(）求證：平面；（）求二面角的余弦值。13.（26新課標(biāo)

4、)如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在,上，,交于于點(diǎn),將沿折到的位置，未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載(）證明：平面；(）求二面角的正弦值1.（216新課標(biāo)）如圖，在以，,，為頂點(diǎn)的五面體中,面為正方形,，且二面角與二面角都是未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（）證明平面平面；()求二面角的余弦值.歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考試點(diǎn)分類)專題32 二面角(教師版)1。（219新課標(biāo)）如圖,長方體的底面是正方形,點(diǎn)在棱上，（1)證明：平面;（2)若，求二面角的正弦值證明:（)長方體中，平面，平面解:（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，平面，,則，1，,1,1,，0,，0，,面，故取平面的法向量為,0，,設(shè)平面

5、 的法向量，,，由,得，取，得，,，二面角的正弦值為。2（209新課標(biāo))圖是由矩形、和菱形組成的一個平面圖形，其中，將其沿，折起使得與重合,連結(jié)，如圖.未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載(1)證明：圖2中的，四點(diǎn)共面,且平面平面；（2）求圖中的二面角的大小.證明：（1）由已知得,，,確定一個平面，,，,四點(diǎn)共面，由已知得,面，平面，平面平面解:（2)作,垂足為,平面，平面平面，平面,由已知，菱形的邊長為2,，,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向為軸正方向,建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，則，1，,，0,，0,，,0,，,，設(shè)平面的法向量，,則，取，得，6,，又平面的法向量為,1，,，二面角的大小為.(19天津）如圖，平面，,

6、.（）求證：平面；(）求直線與平面所成角的正弦值;（）若二面角的余弦值為，求線段的長(）證明:以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,，所在直線為，,軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0,，0，,，2，,1,0,設(shè),則，2，。則是平面的法向量,又,可得又直線平面,平面；()解：依題意，,，設(shè)為平面的法向量,則，令，得.。直線與平面所成角的正弦值為；（）解：設(shè)為平面的法向量，則,取,可得，由題意，解得.經(jīng)檢驗，符合題意。線段的長為.4。(219北京）如圖，在四棱錐中，平面，,為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且。未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)求證：平面;（）求二面角的余弦值;(）設(shè)點(diǎn)在上,且.判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由。證明：（)平面，,

7、平面解：()以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，,1，,，,0，平面的法向量,0,設(shè)平面的法向量，,則，取，得,1,，設(shè)二面角的平面角為，則。二面角的余弦值為（）直線在平面內(nèi),理由如下:點(diǎn)在上,且.，,，,平面的法向量,，,故直線在平面內(nèi)5。（2019新課標(biāo))如圖,直四棱柱的底面是菱形，,，,分別是,，的中點(diǎn).未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載(1)證明：平面；(）求二面角的正弦值.(1)證明：如圖，過作，則，且,又,，四邊形為平行四邊形,則,由，為中點(diǎn)，得為中點(diǎn)，而為中點(diǎn),，則四邊形為平行四邊形,則，平面,平面,平面；(2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于得直線為軸，以所在直線

8、為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載則，,1，,，,設(shè)平面的一個法向量為，由,取，得，又平面的一個法向量為,。二面角的正弦值為(28新課標(biāo)）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（1)證明:平面平面;（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值。解:（1）證明：在半圓中，,正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，平面，則，平面，平面，平面平面（2）的面積為定值，要使三棱錐體積最大，則三棱錐的高最大,此時為圓弧的中點(diǎn)，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖正方形的邊長為2，1，0，,則平面的法向量，0，設(shè)平面的法

9、向量為，則，2,，1，由，令,則，,即，,則，,則面與面所成二面角的正弦值7。（2018新課標(biāo))如圖,在三棱錐中,，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2)若點(diǎn)在棱上，且二面角為,求與平面所成角的正弦值.（1）證明:連接，,是的中點(diǎn)，且，又，,則，則，,平面；()建立以坐標(biāo)原點(diǎn)，,，分別為,軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:，,，0,，2,0,，2，設(shè),，則，,，,，則平面的法向量為，0,，設(shè)平面的法向量為，則,，,則，令，則，,即,二面角為,即,解得或（舍,則平面的法向量，,2，,與平面所成角的正弦值，.8（201山東)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn)

10、未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大??；(）當(dāng)，時，求二面角的大小.解:(），,且，平面,，平面，又平面，,又，因此；（）解法一、取的中點(diǎn),連接，四邊形為菱形，取中點(diǎn),連接，,則，,為所求二面角的平面角.又,.在中，由于,由余弦定理得：，因此為等邊三角形,故所求的角為.解法二、以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,，所在直線為,，軸建立空間直角坐標(biāo)系由題意得：，0，0,，,，故,。設(shè)為平面的一個法向量，由,得,取,得;設(shè)為平面的一個法向量,由,可得,取，得二面角的大小為。(2017新課標(biāo)）如圖,四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，,是的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（1）證明：直線平面;(2）點(diǎn)在棱上,

11、且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值(）證明：取的中點(diǎn),連接,，因為是的中點(diǎn),所以，,，是平行四邊形，可得，平面，平面，直線平面；(2)解:四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,是的中點(diǎn)取的中點(diǎn)，在底面上的射影在上,設(shè)，則,，,直線與底面所成角為,可得：，可得：,，作于，連接，,所以就是二面角的平面角，二面角的余弦值為:10。(207新課標(biāo)）如圖，在四棱錐中,且.（1)證明:平面平面;（2）若，,求二面角的余弦值（1）證明：,，,又,且平面,平面，平面,又平面,平面平面；（2）解：,四邊形為平行四邊形，由（）知平面，,則四邊形為矩形,在中,由，可得為等腰直角三角形，設(shè)，則取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接

12、、，以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則:,，0，。，,設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取,得。平面，平面,，又，平面，則為平面的一個法向量，。由圖可知,二面角為鈍角，二面角的余弦值為11（21新課標(biāo))如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形,未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（1）證明：平面平面；（）過的平面交于點(diǎn),若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值。未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)證明:如圖所示,取的中點(diǎn),連接，是等邊三角形,。與中，,，.是直角三角形，是斜邊，.又，平面又平面，平面平面.（2）解:設(shè)點(diǎn),到平面的距離分別為,則平面把四面體分成體積相等的兩部分，。點(diǎn)是的中點(diǎn)。建立

13、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取則，0,，,0,，0，0，,，.，0，,，設(shè)平面的法向量為，則，即，取.同理可得：平面的法向量為，1,二面角的余弦值為12（016浙江）如圖，在三棱臺中,已知平面平面，,，（）求證:平面；（)求二面角的余弦值.證明：延長，相交于點(diǎn)，如圖所示，平面平面,平面,.又,，為等邊三角形,且為的中點(diǎn),則,平面.方法一：過點(diǎn)作，連接，平面。，則平面，是二面角的平面角.在中，,，可得.在中，,可得:.二面角的平面角的余弦值為.方法二：如圖，延長,相交于點(diǎn)，則為等邊三角形，取的中點(diǎn),則，又平面平面，平面,以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以,的方向為，的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.可得：，0,，

14、,0,，0，,，,，3,，,，。設(shè)平面的法向量為，,，平面的法向量為，由,可得，取。由,可得，取。二面角的余弦值為。13。（16新課標(biāo))如圖,菱形的對角線與交于點(diǎn)，,點(diǎn),分別在，上,交于于點(diǎn)，將沿折到的位置,未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)證明：平面；（）求二面角的正弦值（）證明：是菱形，又,則,又由是菱形，得,則，,則,，,又，,則,，則,又,平面；(）解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，,，0，,，,，0,，,，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取,得,。同理可求得平面的一個法向量，設(shè)二面角二面角的平面角為，則。二面角的正弦值為.1(06新課標(biāo)）如圖，在以，,，,為頂點(diǎn)的五面體中,面為正方形，

15、且二面角與二面角都是未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載（)證明平面平面；(）求二面角的余弦值（）證明：為正方形，平面,平面，平面平面；（）解：由,可得為二面角的平面角;由為正方形，平面，,平面即有，可得為二面角的平面角。可得.，平面，平面,平面,平面平面,平面,，四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)，則，,，,，,，,，,，設(shè)平面的法向量為,則,則，取,，設(shè)平面的法向量為，,則,則，取，,。設(shè)二面角的大小為,則，則二面角的余弦值為歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考試點(diǎn)分類）專題33 球(學(xué)生版)一選擇題(共9小題）（20新課標(biāo)）已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，是邊長為2的正三角形，,分別是，的中點(diǎn),，

16、則球的體積為未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載AB.C2.(206新課標(biāo))體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載AB.CD。3.（05新課標(biāo)）已知,是球的球面上兩點(diǎn),，為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載ABC。D.4（2014陜西）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上,則該球的體積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A.C.D5。(2014上海）若兩個球的體積之比為，則它們的表面積之比為 AB.CD6（2013新課標(biāo))如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高,將一個球放在容器口,再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面

17、時測得水深為，如不計容器的厚度，則球的體積為未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載AC（2012新課標(biāo))平面截球的球面所得圓的半徑為1,球心到平面的距離為，則此球的體積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A.B.C.8.（2010全國新課標(biāo)）設(shè)長方體的長、寬、高分別為、,其頂點(diǎn)都在一個球面上,則該球的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A。B.C。9（28全國卷）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓，若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A1。CD.二.填空題（共9小題）（20全國)已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為3，則球的表面積為 .未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載1（17新課標(biāo)）已知三棱錐的所有

18、頂點(diǎn)都在球的球面上,是球的直徑若平面平面，,三棱錐的體積為，則球的表面積為 .未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載12.（01新課標(biāo))已知正四棱錐的體積為,底面邊長為,則以為球心，為半徑的球的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載1。（2013新課標(biāo)）已知是球的直徑上一點(diǎn),平面,為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為 .未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考試點(diǎn)分類）專題3 球（教師版）一選擇題（共小題）1（2019新課標(biāo))已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，,是邊長為2的正三角形，分別是,的中點(diǎn)，則球的體積為未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載ABC。D【答案:】D【解析】如圖,由,是邊長為2的正三角形,可知三棱錐為正三棱錐,

19、則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的中心，連接 并延長，交于,則，又,，可得平面,則，分別是，的中點(diǎn)，又，即，得平面,正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球,其直徑為.半徑為，則球的體積為故選.2.（206新課標(biāo)）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球面的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A.D【答案：】A【解析】正方體體積為，可知其邊長為2,正方體的體對角線為，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為.故選：3.（5新課標(biāo)）已知，是球的球面上兩點(diǎn),，為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載B。D.【答案：】

20、C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時,三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故,則球的表面積為，故選：。未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載4。(214陜西)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載B。C。D?！敬鸢福骸俊窘馕觥空睦庵牡酌孢呴L為1，側(cè)棱長為，正四棱柱體對角線的長為又正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為.故選:.5.（14上海）若兩個球的體積之比為,則它們的表面積之比為 A。B.C。D【答案：】B【解析】根據(jù)球的體積及表面積公式可知，兩個球的體積之比等于半徑之比

21、的立方，表面積的比等于半徑之比的平方未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載兩個球的體積之比為兩個球的半徑之比為兩個球的表面積的比為.（20新課標(biāo)）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高，將一個球放在容器口,再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為，如不計容器的厚度，則球的體積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載A.BC。D.【答案:】A【解析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓,則圓心為正方體上底面正方形的中心如圖設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于,而圓的半徑為,由球的截面圓性質(zhì)，得，解出，根據(jù)球的體積公式,該球的體積。故選：。7.（2012新課標(biāo)）平面截球的球面所得圓的半徑為1，球心到平面的距離為，則此球的體積為 未經(jīng)許可 請勿轉(zhuǎn)載.C。D【答案：】D【解析】因為平面截球的球面所得圓的半徑為1，球心到平面的距離為，