平面向量投影的運(yùn)用

1、 巧用投影出奇制勝向量數(shù)量積幾何意義的運(yùn)用江西省崇義中學(xué)胡述洪(341300)向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模與b在a方向上投影|b|cose的乘積。向量“投影”的概念：|b|cose叫做向量b在a方向上的投影.投影是一個數(shù)量，不是向量：(1)當(dāng)e為銳角時投影為正值；當(dāng)e為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)e為直角時投影為0；當(dāng)e=0。時投影為|b|；(5)當(dāng)e=180。時投影為|b|。向量的“投影”是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易忽視的一個內(nèi)容，多數(shù)同學(xué)只是在空間向量求距離時，證明點(diǎn)到直線的距離公式才“一睹芳容”，后面又消失得無影無蹤。實(shí)際上，向量“投影”具有獨(dú)特的魅力，下面我們通過例題來體會向量“投影”的

2、神奇。ADac等于Ac在AD上的投影與|aD|的乘積。AD丄BC:.AC在AD上的投影就是AD:.ADAC=AD2=4【小結(jié)】投影的形式有兩種，注意合理選擇。本題如選擇AD在AC上的投影進(jìn)行計(jì)算則顯然復(fù)雜。例二.等腰三角形ABC中,A=|，AB=AC=2，M是BC的中點(diǎn)，p點(diǎn)在山AB的內(nèi)部或邊界上運(yùn)動，求BPAM的范圍?！痉治觥勘绢}的常規(guī)方法是建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P（x,y）,建立線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識求解。思路跳躍性較大，不易掌握。下面用向量“投影”巧妙求解。解：AM是確定的，|AM|=.2:只需求出BP在AM上的投影的范圍。由向量“投影”的意義知：當(dāng)P點(diǎn)與M點(diǎn)重合

3、時，BP丄AM，（BPAM）=0max當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，BP在AM上的投影就是MA，注意到此時BP與AM的夾角為鈍角，（BPAM）min=-、迂x邁=-2綜上，BPAMgL2,0小結(jié)】運(yùn)用投影解題，要注意：1、數(shù)形結(jié)合。要結(jié)合圖形尋找向量之間的關(guān)系，確定向量的投影。2、投影有正負(fù)，要根據(jù)向量的夾角正確選定符號，避免出錯。都求不出。注意到AP丄BD，所以可以考慮將AC分解成AB+AD，再轉(zhuǎn)化成AB、AD在AP上的投影進(jìn)行計(jì)算。一解：AC=AB+ADAPAC=AP(AB+AD)=APAB+APADAP丄BD:AB在AP上的投影就是AP:APAB=AP2=9.同理APAD=AP=9故APAC=18【小結(jié)】當(dāng)題目條件中出現(xiàn)垂直的直線時，我們可以考慮通過轉(zhuǎn)化，利用投影解題，往往能起到事半功倍的效果。在空間向量證明點(diǎn)到直線的距離公式，也是用到這種方法。通過以上例題，我們加深了對向量“投影”的理解，在