福建省南安市國(guó)光中學(xué)2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD2若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（ ）A平均數(shù)為2

2、0，方差為4B平均數(shù)為11，方差為4C平均數(shù)為21，方差為8D平均數(shù)為20，方差為83若集合M1，3，N1，3，5，則滿足MXN的集合X的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D44橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD5在等腰直角三角形中，為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為（ ）.ABCD6某裝飾公司制

3、作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為（ ）A58厘米B63厘米C69厘米D76厘米7設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（ ）ABCD8將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（ ）A圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1D最小正周期為，在有兩個(gè)根9 下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk (kZ)10在中，內(nèi)角A，B

4、，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是( )ABCD11設(shè)（是虛數(shù)單位），則（ ）AB1C2D12已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為_14已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和，則該圓錐的體積為_15某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖的的值_16已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，成等差數(shù)列，則的離心率為_.三、解答題：共70分

5、。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值18（12分）已知函數(shù)（1）時(shí)，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范圍19（12分）已知橢圓：（），與軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交直線于，兩點(diǎn)，已知，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).20（12分）已知數(shù)列滿足對(duì)任意都有，其前項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求大于的最小的正整數(shù)的值21（12分）己知，函數(shù).（

6、1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22（10分）如圖，在三棱柱中，平面，且.（1）求棱與所成的角的大?。唬?）在棱上確定一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用即可得解.【題目詳解】平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：，為的中點(diǎn)，.，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬

7、于基礎(chǔ)題.2、D【答案解析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【題目詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【答案點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.3、D【答案解析】可以是共4個(gè)，選D.4、C【答案解析】根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了

8、橢圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【答案解析】如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【題目詳解】中，易知， 翻折后, ，設(shè)外接圓的半徑為， ， ，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體外接球的半徑為， ， 四面體的外接球的表面積為.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑 容易求，可以將一

9、些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.6、B【答案解析】由于實(shí)際問題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)榛￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于容易題.7、B【答案解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【題目詳解】定義域?yàn)椋?，函數(shù)為偶函數(shù)，排除 ，排除 故選【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特

10、殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.8、C【答案解析】由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【題目詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對(duì)稱中心滿足，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤；對(duì)于C，的對(duì)稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對(duì)于D，最小正周期為，當(dāng)，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔

11、題.9、C【答案解析】利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【題目詳解】與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【答案點(diǎn)睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 與終邊相同的角=+ 其中.10、A【答案解析】根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【題目詳解】中，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點(diǎn)，且，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理

12、、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.11、A【答案解析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出【題目詳解】，故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題12、C【答案解析】將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實(shí)部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以且，解得.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【答案解析】直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【題目詳解】分層抽樣的抽取比例為，抽取學(xué)生的人數(shù)為60

13、01故答案為：1【答案點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14、【答案解析】依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式，求出底面半徑和母線長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積?！绢}目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，所以有 解得， 故該圓錐的體積為?！敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。15、3【答案解析】 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面，梯形上下邊長(zhǎng)為和，高為， 如圖所示，平面， 所以底面積為， 幾何體的高為，所以其體積為 點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的

14、可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解16、【答案解析】設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【題目詳解】解：由已知，的三邊長(zhǎng)，成等差數(shù)列，設(shè)，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長(zhǎng)為，有，在直角中，由勾股定理，即：，離心率.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.三、

15、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【答案解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【題目詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，又，四邊形是平行四邊形，又平面平面，平面（2），同理可得：，又平面連接，設(shè)，則，建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面的法向量為，則，則，取直線與平面所成角的正弦值為【答案點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行，求線面角的大小，關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法，法向量法求線面角的基本方法，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.18、（1）（2）【答案解析】(1) 代入可得對(duì)分類討論即可得不等式的解

16、集; (2)根據(jù)不等式在上恒成立去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得再去絕對(duì)值即可得關(guān)于 的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式為，無解；當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，綜上，原不等式的解集為（2）因?yàn)榈慕饧?，則不等式可化為，即解得，由題意知，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法分類討論解絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.19、（1） （2）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為【答案解析】（1）由條件直接算出即可（2）由得，由可得，同理，然后由推出即可【題目詳解】（1）由題有，.，.橢圓方程為.（2）由得，.又，

17、同理又，此時(shí)滿足直線恒過定點(diǎn)【答案點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.20、（1）（2）4【答案解析】（1）利用判斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項(xiàng)公式,求出，用錯(cuò)位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【題目詳解】解：任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，又是與的等比中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列的公差為，且，則，解得，；由題意可知 ，得：，由得， 滿足條件的最小的正整數(shù)的值為【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和. (1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個(gè)

18、量，一般可設(shè)出和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可. (2)錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解; 在寫“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式21、（1）；（2）【答案解析】（1）零點(diǎn)分段解不等式即可（2）等價(jià)于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價(jià)于.又因?yàn)椋?，?解得，結(jié)合，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題22、（1） （2）【答案解析】試題分析：（1）因?yàn)锳BAC，A1B平面ABC，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過A，且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱AA1與BC上的兩個(gè)向量，由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??；（2）設(shè)棱B1C1上的一點(diǎn)P，由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABA1的一個(gè)法向量，把二面角P-AB-