空間曲線曲率和撓率的介紹市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1、曲率和撓率介紹空間曲線第1頁微分幾何應(yīng)用理論物理廣義相對(duì)論將物理量解釋為幾何量。詳細(xì)說，空間和時(shí)間結(jié)合在一起由一個(gè)流形描述：不一樣參考系給出不一樣局部坐標(biāo)；不一樣參考系之間關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時(shí)空流形度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計(jì)算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時(shí)空物理量（能量動(dòng)量張量）等于時(shí)空幾何量（Ricci曲率張量）。第2頁給出 類曲線 得一單位向量 ， 稱 為 曲線（C）上 P 點(diǎn)單位切向量。 稱 為曲線在 P 點(diǎn)主法向量, 它垂直于單位切向量。 稱 為曲線在 P 點(diǎn)次法向量。把兩兩正交單位向量 稱為曲線在 P 點(diǎn)伏雷內(nèi)（Frenet)標(biāo)架。 1.

2、空間曲線基本三棱形、伏雷內(nèi)標(biāo)架第3頁3)由任意兩個(gè)基本向量所確定平面 分別叫做:親密平面：法平面：從切平面：而由三個(gè)基本向量和上面三個(gè)平面所組成圖形叫做曲線基本三棱形。2) 對(duì)于曲線（C）普通參數(shù)表示 有第4頁 4）伏雷內(nèi)（Frenet)公式 由定義可得 又 于是有 這個(gè)公式稱為空間曲線伏雷內(nèi)（Frenet)公式。它系 數(shù)組成一反稱方陣第5頁2.空間曲線曲率，撓率 設(shè)空間曲線(C)為 ，且以 s 為參數(shù)。 定義（C）在 P 點(diǎn)曲率為 越小就越靠近曲線在P點(diǎn)彎曲程度,深入令則極限就應(yīng)該是曲線在P點(diǎn)彎曲程度。 曲率幾何意義是曲線切向量對(duì)于弧長旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線彎曲程度就越大，所以它反應(yīng)了曲線

3、彎曲程度。1）曲率第6頁例. 求半徑為R 圓上任意點(diǎn)處曲率 .解: 如圖所表示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .第7頁第8頁例： 空間曲線， 為直線充要條件是曲率證實(shí)：若為直線 其中 都是常向量， 而且 ，則 反之, 若 , 則 于是 所以該曲線是直線.第9頁2)撓率 與曲率類似有 定義 曲線（C）在 P 點(diǎn)撓率為撓率絕對(duì)值是曲線次法向量對(duì)于弧長旋轉(zhuǎn)速度。撓率恒為零曲線是平面曲線第10頁3曲率和撓率普通參數(shù)表示式 給出 類曲線（C）：所以所以由此得到曲率普通參數(shù)表示式1）曲率第11頁 由可得撓率公式為第12頁有曲率近似計(jì)算

4、公式則曲率計(jì)算公式為二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧說明: 若曲線由參數(shù)方程給出, 則若曲線方程為則若曲線由參數(shù)方程給出, 則第13頁4）親密園（曲率園） 過曲線（C）上一點(diǎn) P 主法線正側(cè)取線段 PC，使 PC 長為1/k。以C 為園心，以1/k為半徑在親密平面上確定一個(gè)園，這個(gè)園稱為曲線在 P 點(diǎn)親密園或曲率園，園中心叫曲率中心，園半徑叫曲率半徑。第14頁曲率中心軌跡設(shè)對(duì)應(yīng)Y=(x,y,z)，則有輕易證實(shí)C在P點(diǎn)與曲率圓相切，且在P點(diǎn)曲率相同在點(diǎn)P 處曲率圓與曲線有以下親密關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .第15頁例 求圓柱螺線r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均為常數(shù)) 曲率、撓率、曲率中心和曲率圓. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0.于是 = =所以圓柱螺線曲率和撓率都是常數(shù). 第16頁 . 故曲率中心半徑向量為能夠求出親密平面為于是曲率圓為第17頁設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M 處曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M 處曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組坐標(biāo)公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào) )第19頁例. 設(shè)一工件內(nèi)表面截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問選擇多大砂輪