二面角的幾種求法

1、.二面角的幾種求法河北省武安市第一中學(xué)李春杰056300摘要：在立體幾何學(xué)習(xí)中，求二面角的大小是一個重點，更是一個難點。在每年的高考中，求二面角的大小，幾乎成了必考的知識點，但學(xué)生卻對這個知識點不太熟練，不知從何入手，更不能站在一個高度去求二面角。因而我們將一些求角的方法加以歸納、總結(jié)，從而更好更準(zhǔn)確地解決問題。關(guān)鍵詞：二面角平面角三垂線定理空間向量在高考中，立體幾何占的分值比較大，學(xué)生覺得在學(xué)習(xí)的過程中有一定的難度，他們覺得，立幾中要記的定義，定理，方法和基本圖形比較多，再加上還要運用空間想象和空間思維能力，因此，空間立體幾何對他們來說，真的有一定的難度。我們將有關(guān)二面角大小的方法加以歸納，

2、為的是在以往有關(guān)解答此類問題時能有一定的解題技巧、方法，以便得心應(yīng)手地面對各種有關(guān)的題型。一：二面角定義的回顧：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的。而二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線AOl,BOl，則AOB為二面角l的平面角。ABlA二：二面角的通常求法：OOB1.利用定義作出二面角的平面角，并設(shè)法求出其大小。例1、如圖,空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，對角線AC=a,BD=2a.求二面角A-BD-C的大小。解:取BD的中點為O，分別連接AO、COQABAD,BCCDAOBD,COB

3、DAOC為二面角ABDC的平面角QABADa,BD2aAAO22aQBCCDa,BD2a2OCa2BOD在VAOC中，OC=a,OAa,ACa,2222OA2OC2AC2AOC900即二面角ABDC為900的二面角.下載可編輯.C.2.三垂線定理（逆定理）法由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角。例2如圖,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中AD/BC，ABC90,PA平面ABC，PA4,AD2,AB23,BC=6。()求證：BD平面PAC；()求二面角PBDDP的大??；解：（）QPA平面A

4、BCD，BD平面ABCDBDPAAFD又tanABDAD，tanBAC33BCAB3ABBEC由RtEFCRtPAC得EFPAgEC在RtEFD中，tanEFDDE，EFDarctanABD30o，BAC60o，AEB90o，即BDAC又PAIACABD平面PAC（）過E作EFPC，垂足為F，連接DFQDE平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂線定理知PCDF，EFD為二面角APCD的平面角又DAC90oBAC30o，DEADsinDAC1，AEABsinABE3，又AC43，EC33，PC833PC22323EF99二面角APCD的大小為arctan2393.平移或延長（展）線（

5、面）法將圖形中有關(guān)線段或平面進(jìn)行平移或延長（展），以其得到二面角的兩個平面的交線。例3、正三角形ABC的邊長為10，A平面，B、C在平面的同側(cè)，且與的距離分別是4和2，.下載可編輯.SinBAE=BE：AB=5，即平面ABC與所成角的正弦值為。.求平面ABC與所成的角的正弦值。解：設(shè)E、F分別為B、C的射影，連EF并延長交BC延長線于D，連AD；AEE、F是B、C射影BE丄；CF丄BECF又CF：BE=1，B2C是BD的中點BC=DC，CABC是正三角形B=BCA=BAC=60，又ACB+ACD=180，EFDACD=120又AC=DC，ACAD=CDA=30，又BAD=BAC+CAD，BAD

6、=90，BA丄AD，又AE是AB在平面上的射影，AEAD又BAAD，平面ABC平面=A，BAE是平面ABC與所成的角，BE平面，BEAE，ABC是Rt2254、射影公式由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。HM運用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。例4、如圖，設(shè)M為正方體ABCD-ABCD的棱CC的中點，求11111A1D1C1B1平面BMD與底面ABCD所成的二面角的大小。DC設(shè)正方體的棱長a，則SBCD=1a2，BD=3a2a，SBMD1=a2解：DD面ABCD，CC面ABCD，BMD在底面上的111射影為BDC，1所以M

7、H=2624.下載可編輯.AB.由SBDC=SBMD1cos得=arccos635、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例5、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。解:PA平面ABCD，PACD又CDAD，故CD平面PADP而CD平面PCD，AD所以平面PCD平面PAD同理可證平面PAB平面PADBC因為平面PCD平面PADPD，平面PAB平面PADPA，所以PA、PD與所求二面角的棱均垂直，即APD為所求二面角的平面角，且APD456、化歸為分別垂

8、直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角例6、在長方體ABCDABCD中，點E、F分別在BB、DD上，且AEAB，AFAD11111111(1)求證:AC平面AEF；1若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角(或直角)，則在空間中有定理：“若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成角的大小相等”試根據(jù)上述定理，在AB4，AD3，AA5時，D11C1求平面AEF與平面DBBD所成角的大小(用反三B111A1角函數(shù)值表示)FE解：(1)ABBC即AB是AC的射影DC111又ABAEACAEAGB11同理ACAF1AC平面AEF1(2)的解法如下：過C作BD的垂線

9、交AB于G.下載可編輯.3CosBCG4，GCBG=，AG=.又DDCG，故CG平面BBDD111而AC平面AEF(1)已證)，設(shè)CG與AC所成的角為，則即為平面BBDD與平面AEF所1111成的角SinBCGSinABD，515549744AG2=AA2+AG2=114491625AC2=AB2+AD2+AA2=5011在ACG中，由余弦定理得1CosACG=1221由上述定理知平面BBDD與平面AEF所成的角大小為arccos117.空間向量法12225例7.如圖，正四棱柱ABCDABCD中，AA2AB4，點E在CC上且111111CE3EC1A1D1B1C1（）證明：AC平面BED；1E（）求二面角ADEB的大小1解在：以D為坐標(biāo)原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系DxyzA1zD1DAC1B1BCDE(0，(2，E20)20)21)04)依題設(shè)，B(2，C(0，E(0，A(2，1uuuruuur21)DB20)ABCyuuuruuuur2，04)AC(2，4)DA(2，11uuuruuuruuuruuur（）因為ACgDB0，ACgDE0，11故ACBD，ACDE11又DBIDED，.下載可編輯.xD.所以AC平面DBE1（）設(shè)向量n(x，y，z)是平面DAE的法向量