高中函數知識歸納總結

1、模塊二 函數概念和基本初等函數 考綱解讀 . 高考大綱 要求層次 考試內容 A B C函數的概念與表示 函數及其表示 映射 單調性與最大（小）值 函數的基本性質 奇偶性 冪函數的概念 二次函數與冪函數 冪函數的圖像及其性質 有理指數冪的含義 指數與指數函數 實數指數冪的意義 冪的運算 指數函數的概念,圖像及其性質 對數的概念及其運算性質 對數與對數函數 換底公式 對數函數的概念,圖像及其性質 指數函數 y = ax 與對數函數 y = log ax 互為反函數 （ a0 且 a 1） 函數的零點 函數與方程 二分法 函數模型的應用 . 分析解讀 從考綱內容來看,主要考查： （1）,明白函數的構

2、成要素,會求一些簡潔函數的定義域和值域； （2）,把握簡潔的分段函數的應用； （3） 以導數為工具爭論函數的單調性,并以解答題形式顯現； （4）,函數奇偶性的判定常與函數的單調性,最值結合考查； 第 1 頁,共 17 頁（5）,懂得并把握一次函數與二次函數的定義,圖像及性質； （6）,運用二次函數,一元二次方程及一元二次不等式之間的聯系去解決有關問題； （7）,明白冪函數的性質； （8）,把握幾種常見冪函數的圖像； （9）,函數值的運算,函數值的求法,函數值的大小比較等； （10）,對數式運算和對數函數的圖像和性質或由它復合而成的函數； （11）,以圖像為載體考查函數的性質； （12）,懂得函

3、數的值域與最值的定義； （13）,把握求函數的值域和最值的方法； （14）,把握求方程近似解的方法； 學問導航 定義域 區(qū)間 一元二次函數 定 對應法就 指 一元二次不等式 分數指數 義 根式 值域 數 函 映 奇偶性 函 指數函數的圖像和性質 指數方程 射 數 對數方程 數 性 對數的性質 單調性 質 積,商,冪與 周期性 根的對數 對數 反 互為反函數的 對 對數恒等式 函 和不等式 函數圖像關系 數 數 函 數 常用對數 自然對數 對數函數的圖像和性質 考點剖析 .考點一 函數及其表示 因 函數三要素是定義域, 對應法就和值域, 而定義域和對應法就是起準備作用的要素, 為這二者確定后,

4、值域也就相應得到確定, 因此只有定義域和對應法就二者完全相同的函數 第 2 頁,共 17 頁才是同一函數； 表示函數的常用方法有：解析法,圖像法和列表法； . 考點二 函數的定義域 函數的定義域的求法： 列出訪函數有意義的自變量的不等關系式, 求解即可求得函數的 定義域 . 常涉及到的依據為分母不為 0；偶次根式中被開方數不小于 0；對數的真數大 于 0,底數大于零且不等于 1；零指數冪的底數不等于零； 實際問題要考慮實際意義等 . . 考點三 函數的單調性 定義：對于函數 fx 的定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1,x 2, 如當 x1x2 時,都有 fx1fx 2,就說 f

5、x在這個區(qū)間上是增函數； 如當 x1fx 2,就說 fx 在這個區(qū)間上是減函數 . 如函數 y=fx 在某個區(qū)間是增函數或減函數,就就說函數 y=fx 在這一區(qū)間具有（嚴 格的）單調性,這一區(qū)間叫做函數 數. y=fx 的單調區(qū)間 . 此時也說函數是這一區(qū)間上的單調函 如何利用導數判定函數的單調性？ 在區(qū)間 a, b 內,如總有 f x 0 就 f x為增函數；（在個別 上導數等于 0 ,不影響 點 函數的單調性） , 反之也對,如 f x 0呢？ . 考點四 函數的奇偶性 偶函數： f x f x . 設（ a, b）為偶函數上一點,就（ a, b ）也是圖象上一點 . 偶函數的判定：兩個條

6、件同時中意 定義域確定要關于 y 軸對稱,例如： y x 2 1 在 1, 1 上不是偶函數 . 中意 f x f x ,或 f x f x 0 ,如 f x 0 時, f x 1 . f x 奇函數： f x f x . 設（ a, b ）為奇函數上一點,就（ a, b ）也是圖象上一點 . 奇函數的判定：兩個條件同時中意 定義域確定要關于原點對稱,例如： y x 3 在 1, 1 上不是奇函數 . 第 3 頁,共 17 頁中意 f x f x ,或 f x f x 0 ,如 f x 0 時, f x f x 1. .考點五 二次函數 4ac b22 ax bx c a0a x b2二次函數

7、 y 圖象為拋物線 2a 4a 頂點坐標為 b , 4ac b 2 2a 4a ,對稱軸 x b2a 開口方向： a0,向上,函數 y min 4ac b24a a0,向下, y max 4ac b24a 應用：“三個二次” （二次函數,二次方程,二次不等式）的關系二次方程 ax 2bx c 0, 0 時,兩根 x , x 為二次函數 y ax 2bx c 的圖象x 軸 與 的兩個交點,也是二次 不等式 ax2bx c 0 0 解集的端點值； 求閉區(qū)間 m, n上的最值； 求區(qū)間定（動） ,對稱軸動（定）的最值問題； 一元二次方程根的分布問題；如： 2 二次方程 ax bx c 0 的兩根都大

8、k 0k y k x1 x 2 a0 x b2a于 f k 0O 一根大于 k,一根小于 k f k 0.考點六 冪函數 一般地,形如 y x a a R 的函數稱為冪函數,其中 a 為常數；冪函數中, 當 a 1,2,3, 1 , 1 2 時,性質如下表所示： 第 4 頁,共 17 頁函數 y=x y 2 x y 3 x 1x y x 1特點 y x 2 性質 RRR0, ） x|x 0 定義域 值域 0, ） y|y 0 R0 , ） R單調性 增 x 0, 增 增 增 0, 增 x , 0 減 x , 0 減 所過定點 （1,1） （1, 1） （1,1） （1,1） （1, 1） （0

9、,0） （0, 0） （0,0） （0,0） 結合以上特點,得冪函數的性質如下： （ 1）全部的冪函數在 0, 通過點（ 1, 1）； 都有定義, 并且圖象都 （ 2）當 a 為奇數時,冪函數為奇函數； 當 a 為偶數時, 冪函數為偶函數； （ 3）假如 a0,就冪函數的圖象通過原點,并且在區(qū) 間 0, 上是增函數； （ 4）假如 a1 0a1 1O 1x 0a1 指數運算： a 0 1 a 0, a p1 a p a 0 mnam a 0, a mn1m a 0 anna對數運算：log a MN log a M log a N M 0, N 0第 5 頁,共 17 頁log a Mlog

10、aM logaN,logan M 1loga M N n對數恒等式： a log a x x 對數換底公式： log a b log c b log c a log m abnm nloga b . 考點八 函數圖象的判定,變化與應用 圖象的作法與平移：據函數表達式,列表,描點,連光滑曲線；利用熟知函數的圖 象的平移,翻轉,伸縮變換；利用反函數的圖象與對稱性描畫函數圖象 . 1,周期性： 如存在實數 T（T 0）,在定義域內總有 f x T f x,就 f x為周期 函 數 , T 是一個周期； 2,對稱性： f x與 f x的圖象關于 y 軸 對 稱 f x與 f x的圖象關于 原點對稱 f

11、 x與 f x的圖象關于 x 軸 對稱 f x與 f 1 x的圖象關于 直線 y x 對稱 f x與 f 2a x的圖象關于 直線 x a 對f x與 f 2ax的圖象關于 點 a,0對稱稱 3,平移： 將 y f x圖象 左移 aa 0 個單位 y f x a b右移 aa 0個單位 y f x a 4,翻折： 上移 bb 下移 bb 0個單位 0個單位 y f x a y f x a bf x f x f x f | x | .考點九 函數的值域與最值 函數值域,最值的求法：配方法 元法；不等式法； 函數的單調性法； 導數法； 二次或四次 ；“判別式法” ；反函數法；換 平均值定理法； 利

12、用函數的有界性； 幾何法； 第 6 頁,共 17 頁. 考點十 函數的零點與方程的根 1. 函數零點的概念：對于函數 y f x x D ,把使 f x 0 成立的實數 x 叫做函數 y f x x D 的零點； 2. 函數零點的意義： 函數 y f x 的零點就是方程 f x 0 實數根, 亦即函數 y f x 的 圖象與 x 軸交點的橫坐標； 即：方程 f x 0 有實數根 函數 y f x 的圖象與 x 軸有交點 函數 y f x 有零 點 3. 函數零點的求法： （代數法）求方程 f x 0 的實數根； y f x 的圖象聯系起來, （幾何法）對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數

13、并利用函數的性質找出零點 4. 二分法步驟： 確定區(qū)間 a, b ,驗證 f a f b 0 ； 求區(qū)間 a, b 的中點 c,運算 f c ； 判定 f a, f b, f c 的正負,找出下一個有根的區(qū)間； 真題演練 1.【 2022 北京 ,8,5 分】某棵果樹前 n 前的總產量 S 與 n 之間的關系如以下圖 . 從目前記錄的 結果看,前 m 年的年平均產量最m 值為） 高； （ A 5 B 7 C9 D11 第 7 頁,共 17 頁.舉一反三 ex ex 的圖象大致為（ B. ） 1.1 【 2022 山東 ,6,5 分】函數 y ex ex A. C. D. 1.2 【 2022

14、江西 ,10,5 分】如圖,一個直徑為 1 的小圓沿著直徑為 2 的大圓內壁的逆時針方 向滾動,M 和 N 是小圓的一條固定直徑的兩個端 點 那么,當小圓這樣滾過大圓內壁的一周, 點 M, N 在大圓內所繪出的圖形大致是（ ） C. D. A B 【 2022 江蘇 ,17,14 分】如圖,建立平面直角坐標系 xOy, x 軸在地平面上, y 軸垂直于 地平面,單位長度為 1 千米某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 y kx 1 1 k x k 2 220 0 表示的曲線上,其中 k 與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落 地點的橫坐標 第 8 頁,共 17 頁（1）求炮的最大射程； （2）

15、設在第一象限有一飛行物（忽視其大?。?,其飛行高度為 千米,試問它的橫坐標 a不超過多少時,炮彈可以擊中它？請說明理由 2. 【 2022 北京 ,6,5 分】依據統(tǒng)計,一名工作組裝第 x 件某產品所用的時間（單位：分鐘） c , x A, 為 f x x （ A,C 為常數）；已知工人組裝第 4 件產品用時 30 分鐘,組裝第 A c , x A A 件產品用時 15 分鐘,那么 C 和 A 的值分別是） （ A 75, 25 B 75, 16 C 60, 25 D 60,16 . 舉一反三 2.1 【2022 陜西 ,10,5 分】某學校要招開同學代表大會, 規(guī)定各班每 10 人推選一名代

16、表,當 各班人數除以 10 的余數大于 6 時再增選一名代表那么,各班可推選代表人數 y 與該班人 數 x 之間的函數關系用取整函數 y=x （ x 表示不大于 x 的最大整數） 可以表示為 （ ） A. y x B. y x 3C. y x 4D. y x 510 10 10 10 2.2 【 2022 陜西 ,5,5 分】已知函數 f x x 22 x ax, x 1,x 11 如 f f 0 4 a ,就實數 a 等于 （ ） B. 4A. 1 25第 9 頁,共 17 頁2.3 【 2022 江蘇 ,23,10 分】設集合 Pn 條件的集合 A 的個 數： 1,2 , ,n , n N

17、 * 記 f n 為同時中意以下 A ；如 x C p nA ,就 2x CpA ； n A Pn ；如 x A ,就 2x （ 1）求 f 4 ； （ 2）求 f n 的解析式（用 n 表示） 3. 【 2022 北京 ,14,5 分】已知 f x m x 2m x m 3 , gx 2 x 2 ,猶如時中意 條件： x R, f x 0 或 gx 0 ； x , 4 , f x g x 0 ； 就 m 的取值范疇是 ； .舉一反三 【 2022 重慶 ,10,5 分】 設 m, k 為整數,方程 2 mx kx 20 在區(qū)間（ 0,1 ）內有兩個 不同的根,就 m+k 的最小值為 （A）

18、-8 （ B） 8 （C） 12 （ D） 13 3.2 【 2022 浙江 ,9,5 分】設 a0, b 0 A如 2a2a b 23b ,就 a b B如 2a 2a 2 b 3b ,就 a b C如 2a 2a 2 b 3b ,就 a b D如 2a 2a 2 b 3b ,就 a b 第 10 頁,共 17 頁4.【 2022 北京 ,13,5 分】已知函數 f x 2 , x x 2如關于 x 的方程 fx=k 有兩個不 x 1 3, x 2同的實根,就數 k 的取值范疇是 . 舉一反三 【2022 山東 ,10,5 分】已知 f（ x）是 R 上最小正周期為 2 的周期函數, 且當

19、0 x 2 時, 3f （ x） =x -x ,就函數 y=f （ x）的圖象在區(qū)間 0 , 6 上與 x 軸的交點的個數為（ ） A 6 B 7 C8 D 9 【 2022 山東 ,12,5 分】設函數 f x 1 , g x ax 2bxa, b R, a 0 . 如 y f x x 的圖像與 y g x 圖像有且僅有兩個不同的公共點 A x1 , y1 , Bx2 , y2 , 就以下判定正 確的是 A. 當 a0 時, x1 x2 0, y1 y2 0B. 當 a 0 時 , x1 x2 0 , y1 y2 0C. 當 a 0 時, x1 x2 0 , y1 y2 0D. 當 a 0

20、時, x1 x2 0 , y1 y2 0【 2022 福建 ,15,4 分】對于實數 a和 b,定義運算“”： a*b= 設 f （x） =（ 2x 1）（ x 1）,且關于 x 的方程為 f （ x）=m（mR）恰有三個互不相等的實 數根 x1, x2, x 3,就 x 1x 2x 3 的取值范疇是 1 的正方形 PABC 沿 x 軸滾動, 設頂點 Px, y 的 5.【 2022 北京 ,14,5 分】如圖放置的邊長為 軌跡方程是 y f x ,就函數 f x 的最小正周期為 ； y f x 在其兩個相鄰零點間的 圖象與 x 軸所圍區(qū)域的面積為 . 說明：“ 正方形 PABC 沿 x 軸滾

21、動”包括沿 x 軸正方向和沿x 軸 負方向滾動 . 沿 x 軸正方向滾動指的是先以頂點 A 為中心順時 針旋轉,當頂點 B 落在 x 軸上時,再以頂點 B 為中心順時針 第 11 頁,共 17 頁旋轉,如此連續(xù) . 類似地,正方形 PABC 沿 x 軸負方向滾動 . .舉一反三 【 2022 湖南 ,8,5 分】 用 mina ,b 表示 a,b 兩數中的最小值 如函數 f（x）=min|x| , |x+t| 的圖象關于直線 x 1 對稱,就 t 的值為（ ） 2A-2 B 2 C-1 D1 5.2 【 2022 江西 ,10,5 分】如圖,已知正四棱錐 S-ABCD 全部棱長都 1,點 E

22、是側棱 SC為 上 一動點,過點 E 垂直于 SC 的截面將正四棱錐分成上,下兩部 分記 SE=x（ 0 x 1）,截面下面部分的體積為 V（ x）,就函 數 y=V（ x）的圖象大致為（ ） 6. 【 2022 北京 ,11,5 分】設 f x 是偶函數,如曲線 y f x 在點 1, f 1 處的切線的斜率 為 1,就該曲線在 1, f 1 處的切線的斜率為 . .舉一反三 【 2022 浙江 ,11,4 分】如函數 f （ x）=x 2-|x+a| 為偶函數,就實數 a= 【 2022 廣東 ,4,5 分】 設函數 f （ x）和 g（ x）分別是 R 上的偶函數和奇函數,就以下結 論恒

23、成立的是（ ） 第 12 頁,共 17 頁A f x gx 是偶函數 B f x g x 是奇函數 DC f x g x 是偶函數 f x gx 是奇函數 6.3 【 2022 遼寧 ,12,5 分】設 f （x）是連續(xù)的偶函數,且當 中意 f x f x 3 的全部 x 之和為（ ） 4x x 0 時 f （ x）是單調函數,就 7. 【 2022 北京 ,3,5 分】為了得到函數 y lg x 3的圖像,只需把函數 y lg x 的圖像上所 10 有的點 （ ） A 向左平移 3 個單位長度,再向上平移 1 個單位長度 B 向右平移 3 個單位長度,再向上平移 1 個單位長度 C向左平移

24、3 個單位長度,再向下平移 1 個單位長度 D向右平移 3 個單位長度,再向下平移 1 個單位長度 .舉一反三 【 2022 上海 ,8,5 分】對任意不等于 1 的正數 a,函數 f （ x）=log a（x+3 ）的反函數的圖 象都經過點 P,就點 P 的坐標是 7.2 【 2022 四川 ,5,5 分】函數 y ax 1 a a 0, a 1 的圖像可能是（ ） A. B. C. D. 第 13 頁,共 17 頁【 2022 課標全國 ,10,5 分】已知函數 f x ln x 1,就 x y f x 的圖像大致為 1 （ ） B. A. C. D. 8. 【 2022 北京 ,13,5

25、 分】已知函數 f x x2 cos x ,對于 , 上的任意 2 2x , x 2,有 如下條件： x1 x2 ； x1 2x2 ； 2 x1 x2 其中能使 f x1 f x2 恒成立的條件序號是 . 舉一反三 【 2022 上海 ,9,4 分】已知 y=f （ x） +x 2 是奇函數,且 f （ 1） =1,如 g（ x） =f （ x） +2, 就 g（ -1 ）= 第 14 頁,共 17 頁【 2022 福建 ,4,5 3 分】函數 f （x） =x +sinx+1（ x R）,如 f （a） =2,就 f （ -a ）的值為 （ ） B 0 C-1 D -2 A 3 【 2022

26、 湖北 ,6,5 分】已知定義在 R 上的奇函數 f （ x）和偶函數 g（ x）中意 x -x f （ x） +g（x） =a -a +2（ a 0,且 a0）如 g（a） =a,就 f （ a）=（ ） A 2 B. 15 C. 17 D a 24 42 9. 【 2022 北京 ,2,5 分】如 a 2, b log 3 , c log sin 5,就（ ） A a b c B ba c C c ab D b c a. 舉一反三 【 2022 湖南 ,1,5 B 分】如 log 2a0, 12b1,就（ ） A a 1, b 0 0a 1, b0 C a 1, b 0 D 0 a 1,

27、b 0 【 2022 重慶 ,5,3 分】以下區(qū)間中,函數 f x lg2 x ,在其上為增函數的是 （ A） ,1 B 1, 4 32 1 1C 110, 3 2D 1,2 【 2022 遼寧 ,9,5 分】 設函數 f x x , x 2 的 x 的取值范疇 ,就中意 f x log 2 x, x 是 A 1 ,2 B 0 , 2 C 1 , + D0 , + 第 15 頁,共 17 頁輕松驛站 鳥蛋趣談 鳥蛋,包括雞蛋,鴨蛋,鵝蛋,形狀類似,但大小各不相同； 鴕鳥蛋,是世界上現存的最大的鳥蛋；一只鴕鳥蛋有 15 20 厘米長, 公斤 重,一只鴕鳥蛋等于 33 35 個雞蛋那么重；鴕鳥蛋的蛋殼很厚,有 毫米,因此特殊牢 固；一個 94 公斤重的大胖子站到這個鴕鳥蛋上,也不會把它壓破；由于蛋殼太厚,而且蛋 又太大,假如放在水里煮的話,得花 40 分鐘才能煮熟； 平常我們總認為麻雀是很小的飛禽, 可是最大的蜂鳥, 仍不及中等麻雀大, 而最小的蜂 鳥只有麻雀的特殊之一；蜂鳥下的蛋只有豌豆那么大,重量只有 克,它是鳥蛋中最