2022-2023學(xué)年高三年級(jí)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題-空間向量的應(yīng)用（含答案）

1、空間向量的應(yīng)用學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、單選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若平面,的法向量分別取為=(2,3,5),=(-3,1,-4),則,的位置關(guān)系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合已知兩個(gè)不重合的平面與平面，若平面的法向量為，向量，則（ ）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面、平面相交但不垂直D. 以上均有可能如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是（ ）A. 平行B. 相交C. 異面垂直D. 異面不垂直二

2、、填空題（本大題共8小題，共40.0分）如圖，正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VAVBVCVD，.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是如圖,在直四棱柱ABCD-中,底面四邊形ABCD為菱形,E,F分別為,的三等分點(diǎn)(=),若AB=6,BAD=,則點(diǎn)E到平面BDF的距離為.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，M為底面ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PM與平面所成的角為，直線PD與平面所成的角為若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動(dòng)

3、點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且MB平面D1EF，則|MD|的取值范圍是.如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：存在點(diǎn)P，使得；的面積越來(lái)越??；四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號(hào)是.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個(gè)論斷：；.以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為三、解答題（本大題共7小題，共84.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）(本小題

4、12.0分)如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，CDDE，CDEF，CD=2EF=4，ACOE（1）證明：ED平面ABCD；（2）若直線OE與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角E-AC-F的余弦值(本小題12.0分)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BAD=60，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)（如圖1），將ADE沿DE折起到A1DE的位置，連接A1B，A1C，得到四棱錐A1-BCDE（如圖2）.（1）證明：平面A1BE平面BCDE；（2）若A1EBE，連接CE，求直線CE與平面A1CD所成角的正弦值.(本小題12.0分)如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABA

5、F1，點(diǎn)P在線段DF上（1）求證：AF平面ABCD；（2）若二面角D-AP-C的余弦值為，求線段PF的長(zhǎng)度(本小題12.0分)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若時(shí)，求二面角的正弦值(本小題12.0分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，ACBC2，CC13，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD1，CE2（1）設(shè)F為B1C1中點(diǎn)，求證：A1F / 平面BDE；（2）求直線A1B1與平面BDE所成角的正弦值(本小題12.0分)已知三棱柱中，底面，分別為棱，的中點(diǎn)（）求證：；（）求直線與所成的角；（）求點(diǎn)到平面的距離，并求三棱錐-的體積.(本小題1

6、2.0分)在如圖所示的六面體ABCDEF中，矩形ADEF平面ABCD，AB=AD=AF=1，CD=2，CDAD，ABCD（1）設(shè)H為CF中點(diǎn)，證明：BH平面ADEF；（2）求平面BCF與平面ABC夾角余弦值（3）求D點(diǎn)到平面BCF的距離1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】5.【答案】平行6.【答案】7.【答案】8.【答案】，9.【答案】10.【答案】若，則；若，則.11.【答案】12.【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD為正方形，ACBD，又ACOE，BDOE=O，BD，OE平面ODE，AC平面ODE；DE平面ODE，ACDE；又CDDE，ACCD=C，AC，CD平面ABC

7、D，ED平面ABCD（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，ED平面ABCD，直線OE與平面ABCD所成角為EOD，解得：ED=2；E（0，0，2），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（0，2，2），設(shè)平面EAC的法向量，則，令x=1，解得：y=1，z=2，；設(shè)平面FAC的法向量，則，令a=1，解得：b=1，c=1，；，二面角E-AC-F為銳二面角，二面角E-AC-F的余弦值為13.【答案】（1）證明：菱形ABCD，且BAD=60，ABD為等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，DEAB，DEBE，DEA1E，又BEA1E=E，BE、A1E平面A1BE，DE平面A1

8、BE，DE平面BCDE，平面A1BE平面BCDE（2）解：由（1）知，平面A1BE平面BCDE，A1EBE，平面A1BE平面BCDE=BE，A1E平面BCDE，以E為原點(diǎn)，ED，EB，EA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），=（，2，0），=（，0，-1），=（0，-2，0），設(shè)平面A1CD的法向量為=（x，y，z），則，即，令x=1，則y=0，z=，=（1，0，），設(shè)直線CE與平面A1CD所成角為，則sin=|cos，|=|=|=，故直線CE與平面A1CD所成角的正弦值為14.【答案】(1)證明:B

9、AF=,ABAF,又平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,AF平面ABEF,AF平面ABCD,(2)以A為原點(diǎn),以AB,AD,AF為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0).F(0,0,1).=(0,2,-1),=(1,2,0).=(1,0,0)由題知,AB平面ADF.=(1,0,0)為平面ADF的一個(gè)法向量,設(shè)=(01),則P(0,2,1-),=(0,2,1-).設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，則.令y=1,可得=(-2,1,).|=,得=或=-1(舍去).PF=.15.【答案】（1）證

10、明：在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且,設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系連結(jié)，則，得=因此，即四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)（2）解：由已知得，設(shè)為平面的法向量，則即可取設(shè)為平面的法向量，則同理可取因?yàn)?，所以二面角A-EF-的正弦值為16.【答案】解：（1）證明：取BE的中點(diǎn)G，連接FG，DG，因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，F(xiàn)為B1C1中點(diǎn)，所以FGCC1AA1，且，所以，所以四邊形A1DGF為平行四邊形，所以A1FDG，又平面BDE，DG平面BDE，所以F平面BDE；（2）因?yàn)樵谥比庵鵄BC-中，ACBC，所以CA，CB，CC1兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示

11、的空間直角坐標(biāo)系，則，得到，設(shè)平面BDE法向量為，則，所以，令y=1，得到平面BDE的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面BDE所成角為，則，即直線與平面BDE所成角的正弦值為.17.【答案】（I）因?yàn)槿庵?，底面，AC平面ABC，所以因?yàn)?，所以因?yàn)椋珹1A,ABA1ABB1，所以因?yàn)椋裕↖I）（法一：綜合幾何定義法）連接，在四邊形中，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以 所以直線與所成的角為或其補(bǔ)角.由（I）知，,所以，所以.因?yàn)椋运?，所以直線與所成的角為. （法二：向量坐標(biāo)法）因?yàn)榈酌?，AB,AC平面ABC，所以所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以 所以直線與所成的角為 (III)（法一）等

12、體積法因?yàn)榈酌妫?所以面設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，=,.=,A1A,A1B1平面A1ABB1，面，又， 所以因?yàn)樗?所以 所以（法二）向量坐標(biāo)法因?yàn)榈酌?，所以所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，.設(shè)面平面的法向量，令x=1,則因?yàn)樗?8.【答案】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，AD平面ABCD因?yàn)锳DEF是矩形，所以DEAD，所以DE平面ABCD，所以DEDC，又因?yàn)镃DAD，所以DA、DC、DE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），H（，1，），=（-，0，），平面ADEF的法向量是=（0，1，0），因?yàn)?0，又BH平