微積分期末試卷及答案

1、一、填空題(每小題 3 分,共 15 分)1、已知 f(x)e , ( 1 ,且 ( )0,則 ( ).f xx x x2x答案： x)解： fu)e 1 x, ),u x).u22x2ux22、已知a為常數(shù),lim( 1,則a.xx答案：111 x 11b2解：0 (x x a )1a.xx2xxxxf3x) f x)3、已知 2,則lim.fxx0答案：4解：limf3x) ffx) f4xx04、函數(shù) ( )( 2)( 4)的拐點(diǎn)數(shù)為.f xxxxx答案：2俞詩秋解： ( )有 3 個零點(diǎn) , , :1 2 3 4,f x123123( )有 2 個零點(diǎn) :1 4,f x,1211223

2、( ) ),顯然 ( )符號是：,故有 2 個拐點(diǎn).f xxxf x12dxsin xcos x5、.22答案：tan cot 張軍好xx Cx22x xxC.解： x x x x x x222222二、選擇題(每小題 3 分,共 15 分)1、設(shè) f(x)為偶函數(shù), (x)為奇函數(shù),且 f (x)有意義,則 f (x)是(A) 偶函數(shù)；(B) 奇函數(shù)；(C) 非奇非偶函數(shù)； (D) 可能奇函數(shù)也可能偶函數(shù).答案：A 王麗君1x, x x 0.2、 0是函數(shù) f(x)的x x2(A) 跳躍間斷點(diǎn)；(C) 振蕩間斷點(diǎn)；(B) 連續(xù)點(diǎn)；(D) 可去間斷點(diǎn).答案：D俞詩秋3、若函數(shù) ( )在x 處不

3、可導(dǎo)，則下列說法正確的是f x0(A) ( )在x 處一定不連續(xù)；f x0(B) ( )在x 處一定不可微；f x0(C) ( )在x 處的左極限與右極限必有一個不存在；f x0(D) ( )在x 處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)必有一個不存在.f x0答案：B江美英4、僅考慮收益與成本的情況下,獲得最大利潤的必要條件是：(A) ( ) ( )；R Q C Q(B) ( ) ( )；R Q C Q(C) ( ) ( )；R Q C Q(D) ( ) ( ).R Q C Q答案：D俞詩秋5、若函數(shù) ( )存在原函數(shù),下列錯誤的等式是：f xd(A)( ) ( )； f x dx f x(B) f(x)dx f

4、 (x) ；dx(C) d f(x)dx f(x)dx；(D) df (x) f (x)C .答案：B 俞詩秋三、計(jì)算題(每小題 6 分,共 60 分)1、設(shè) f(x2x,求 f(x2).x24x答案： f(x2 x4 王麗君,俞詩秋x24x解：令 2,則t xft)2(t2)24(t2) t 2)24 4 8 t 22t24 t 2,(3分)2 t4tt于是f(x2)2(x2)2(x2)224 4 x42 x4. (6分)4x4x2 x2 4x2、計(jì)算limcos( n1 n).n答案：1 俞詩秋1解：lim 1 ) lim(3分)(6分)nnn1 nnn1n1n0. lim cos cos

5、 11 0 1n11nnn3、求極限lim( ).n21 n22nn2n答案：1 俞詩秋n2nnnn2解：由于(n n )(3分)，n221 n22n2n n21n21n21而lim lim1 lim lim1,11n2nnn2111nnnnnn2nn所以lim( )1.(6分)n21 n22nn2nx )24、求極限.xxx0答案：1 俞詩秋2x12sinxcosxx0 x )x )22x2解：limlimcos limlim(4分)(6分)xsecxcosxsin x2x0 x0 x01x1. x )xx2x0 x015、求函數(shù)yx的導(dǎo)數(shù).x11111答案： ( cos ln sin )

6、俞詩秋y xxxx2xxx1解： ( (2分)y e xx1111111111excos ()lnsin (cos lnsin ). (6分)x x2x xxxxxxx2xxx6、求曲線 ln 2 1在點(diǎn)處的法線方程.x y y x 答案： 2 0 江美英,俞詩秋x yy解： 方程兩邊對 求導(dǎo)得：ln 2 0,y x y xy1將( , ) 代入得法線斜率x y1,(3分)k y從而法線方程為： 1 1( , 即： 2 0.x y(6分)yx17、求曲線1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).y x4 x3 2答案：曲線在區(qū)間(,0和)是凹的,在區(qū)間是凸的4拐點(diǎn)為(, )俞詩秋3解：(1) ( ) (,),f x

7、 C(2) ( ) 2 3 , ( ) 6 6 6 ( ,f x f x x xx3x2x2x4(3) ( )0,得 0, 1. (0)1, (3分)f xx1xff32(4) 列表如下：()x010f (x)4(5) 曲線的拐點(diǎn)為(、 )3(6) 曲線在區(qū)間(,0和)是凹的,在區(qū)間是凸的(6分) x) x8、計(jì)算3答案：6 x 6 x C俞詩秋66 ( x) ( x) t5t6 x解：(3分) x) xt)233662t3xt6t )1 6 dt6261t21t2t 6t C 6 x 6 x C(6分)669、計(jì)算 ex241答案：e ( sin2xcos2x)C俞詩秋x10 2121212

8、excos2xdx解：sin2xdx cos2 cos2 (3分)exe dxxexx11111 e cos2x e dsin2x e cos2x e sin2x e sin2xdx,xxxxx2424441 e 2 e ( 2x2x)C(6分)xx 210 5 ,其中 , 分別表示需求量和價格,試求當(dāng)P QQP總收益達(dá)到最大時,此時的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.答案： 1 當(dāng)總收益達(dá)到最大時,價格上漲,需求則相應(yīng)減少.俞詩秋,解：總收益函數(shù)為 ( ) P P P 5 ) 100 5 ,2R P PQ P令 ( ) 0,得 3,而 50,R PPPR可見, 當(dāng) 10時, 總收益達(dá)到最大.(3分)(5分)PP 5P此時需求彈性 1,Q 5PPP說明,當(dāng)總收益達(dá)到最大時,價格上漲,需求則相應(yīng)減少.(6分)四、證明題(每小題 5 分,共 10 分)1、證明方程 1在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實(shí)根.孫仁斌,俞詩秋x證明：顯然 ( )f x xex1 ,由于 (0) 10, 1 0, Cffe由零點(diǎn)定理知, ( t. ( )0,即 1；(3分)(5分)f e又因 f(x)(xe 0, (,知 ( ) ,xxf x所以方程1在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實(shí)根 .xex2 ( )在閉區(qū)間連續(xù),在開區(qū)間2)可導(dǎo),且 (2) 8 ,證明在2)內(nèi)f x ff必存在