概率論試卷等多個(gè)文件第3章

1、第3章 隨機(jī)向量及其分布隨機(jī)向量的概念及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)向量二維連續(xù)型隨機(jī)向量隨機(jī)變量函數(shù)的分布引言天氣預(yù)報(bào)股票價(jià)格 大量的實(shí)際問題，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往不能用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)來記錄。例如：某天下午收盤前五分鐘上證綜合指數(shù)3.1 隨機(jī)向量的概念及其分布類似于一維隨機(jī)變量的定義：定義3.1.1定義 3.1.2(x1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)yx(x1,x2) 定理3.1.1 中的性質(zhì)(i)-(iv) 為隨機(jī)向量分布函數(shù)的特征性質(zhì),也被稱為柯爾莫戈洛夫定理.邊緣分布3.1.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義 3.1.3定義 3.1.43.2 二維離散型隨機(jī)向量 若隨

2、機(jī)向量(,) 所有可能取值是可數(shù)多對(duì)(xi，yj)(i，j=1,2, )，則稱(,)是二維離散型隨機(jī)變量； 設(shè) P=xi,=yj=pij ， (i，j=1,2, ) 則pij (i，j=1,2, )稱為(,)的(聯(lián)合)概率分布列。3.2.1 二維離散型隨機(jī)向量聯(lián)合分布列與邊緣分布列(,)的分布列常用下面的表格給出根據(jù)pij的定義，立即得出它們具有下列兩性質(zhì)：(1)(2)例解 設(shè)箱中有10個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，5個(gè)白 球，2個(gè)黑球；從中任意抽取4個(gè), 取隨機(jī)變量X為紅球數(shù)目，Y為白球數(shù)目。求(X,Y)的聯(lián)合分布。X Y0123400010/21020/2105/2101015/21060/210

3、30/210023/21030/21030/2100032/2105/21000018 設(shè)(,)的聯(lián)合分布列為P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，則(,)關(guān)于的邊緣分布列有 例（三項(xiàng)分布）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有A,B和C三個(gè)結(jié)果 ，各結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為p，q和1-p-q. 現(xiàn)將該隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立地做n次，記X和Y分別為n次試驗(yàn)中A和B發(fā)生的次數(shù)，試求(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布.解: (X,Y)的分布列為對(duì)于離散型隨機(jī)向量，當(dāng)p.j0時(shí)，稱為=yj條件下的條件分布列。3.2.2 離散型隨機(jī)變量的條件分布當(dāng)pi.0時(shí)，在=xi條件下的條件分布列類似地 例 在整數(shù)15中任取一數(shù)，(1

4、)取后放回去再取另一數(shù)。(2)取后不放回去再取另一數(shù)。 在這兩種情況下分別求(,)的聯(lián)合分布列、邊緣分布列、P=2。解: 3.3 二維連續(xù)型隨機(jī)向量定義 3.1.4 對(duì)于隨機(jī)向量(,)，若存在函數(shù)f(x,y)0 (x、yR) ，使得(,)的分布函數(shù) 則稱(,) 是二維連續(xù)型的隨機(jī)向量；f(x,y) 稱為(,)的分布密度函數(shù)。密度函數(shù)f(x,y)具有以下性質(zhì)：（）f(x,y) 0；（） ；（）若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則（）若是xoy平面內(nèi)的任一區(qū)域，則二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率密度為 上服從均勻分布.在，則稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中 例 3.3.3 在某一分鐘內(nèi)的任何

5、時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的。若收到兩個(gè)相互獨(dú)立的信號(hào)的時(shí)間間隔小于.秒，則信號(hào)相互干擾。求：兩信號(hào)相互干擾的概率。解 把一分鐘取作區(qū)間0，1，設(shè)兩信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)的時(shí)刻分別為、（單位：分）、相互獨(dú)立，所以(,)的聯(lián)合分布密度如下：D二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度 關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為 關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為 設(shè)f(x,y)為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。如果我們現(xiàn)在只想考察隨機(jī)變量X或Y各自的情況，如何處理？二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于 例 設(shè)（X, Y）的聯(lián)合分布密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)解由 得 當(dāng) 時(shí) 關(guān)于X的

6、邊緣分布密度為 113所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為 當(dāng) 時(shí) 113所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 關(guān)于Y的邊緣分布密度為 邊緣分布密度和概率的計(jì)算例設(shè)（X, Y) 的聯(lián)合分布密度為 （1）求k值（2） 求關(guān)于X和Y的邊緣分布密度函數(shù)（3）求概率P(X+Y1/2)(2)均勻分布解 (1)由 得 當(dāng) 時(shí)-11當(dāng) 時(shí) 所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為 -11續(xù)解 . -11解 當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí) 所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為 解 （3） 例：如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布 分別積分，可得兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)為： 即其聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 即兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布 與相關(guān)系數(shù)

7、 無關(guān) 可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù) 。 解 關(guān)于X的分布密度函數(shù)為 所以， 同理可得 不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布 例3.3.4 （二元正態(tài)分布）函數(shù)其中1,2,1,2,為常數(shù)；且1 0,2 0, 0,x1 ，求 P(,)D。 解: （）由二維分布函數(shù)性質(zhì)，得由以上三式可得到 （） (,)的分布密度 （） 例2 已知二維隨機(jī)向量（，）的密度為 試確定k的數(shù)值，并求(,)落在區(qū)域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率、邊緣分布密度

8、函數(shù)及獨(dú)立性。解: (1)由概率密度性質(zhì)，知 y=xy=x211 例 3(選講) 設(shè)(,)在橢圓 所圍成的區(qū)域上服從均勻分布。即其聯(lián)合密度為求它的邊緣密度函數(shù)。 解 (1)當(dāng)xa時(shí)，(2)當(dāng)xa時(shí)，同理，可得關(guān)于的邊緣密度例 4(選講) (,)服從參數(shù)為1，2，1，2，的二元正態(tài)分布,證明、相互獨(dú)立的充要條件是0。證 因?yàn)椋?充分性 若=0 ，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有 即、相互獨(dú)立。 必要性 若、相互獨(dú)立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有取x=1，y=2時(shí)上式也成立，此時(shí)上式化為從而得到r=0。例5(選講) 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù) 解: 關(guān)于X的分布密度函數(shù)為 所以，

9、 同理可得 不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。 可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布設(shè)二維隨機(jī)向量的分布密度函數(shù)為 (1) 確定常數(shù) k； (2) 求的分布函數(shù)； . (4) 求例70(1)所以 解 71(2)當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以，72(3)4 1或解 73(4)74224例 已知二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度為 求概率 解 175續(xù)解 .x+y=3 76 思考 已知二維隨機(jī)向量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。求（1）分布函數(shù)；（2） 解 （X,Y）的密度函數(shù)為 1）當(dāng) 時(shí)，分布函數(shù)為 77y=2x+1 -1/2

10、2）當(dāng) 時(shí)，78，y=2x+1 -1/2 3）當(dāng) 時(shí)，79所以，所求的分布函數(shù)為 800.5y=2x+1 -1/2 （2）813.3.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)類似地，的條件分布函數(shù)及條件密度函數(shù)為綜上所述 例 1設(shè)(,)的密度函數(shù)為解例 2解由此可知由此可知例：設(shè)（X, Y）的聯(lián)合密度為求：113解：先求第一步，求y的邊緣密度函數(shù)， 第二步，再求條件密度函數(shù)， 對(duì)于有：故條件密度函數(shù)為第一步，求x的邊緣密度函數(shù)， 第二步，再求條件密度函數(shù)， 對(duì)于有：再求故條件密度函數(shù)為思考如果二維隨機(jī)向量（X，Y）服從正態(tài)分布 即其聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 求相應(yīng)的兩個(gè)條件密度函數(shù)。故在Y=y發(fā)生的條

11、件下X的條件分布為思考 已知二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度為 求概率 2241解答 二維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 特別，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，該定義等價(jià)于 定義 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，如果對(duì)于任意的x,y都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。對(duì)任意i,j 對(duì)任意x,y 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，該定義等價(jià)于 在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用. 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明設(shè)（X，Y）的概率分

12、布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例逐個(gè)驗(yàn)證等式 2/5 1/5 2/5 p j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx證 X與Y的邊緣分布律分別為故X、Y相互獨(dú)立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y例：設(shè)箱中有10個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，5個(gè)白 球，2個(gè)黑球；從中任意抽取4個(gè), 取隨機(jī)變量X為紅球數(shù)目，Y為白球數(shù)目。判斷X,Y是否獨(dú)立。 Y X01234P00010/21020/2105/21035/2101015/

13、21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101例：設(shè)（X, Y）的聯(lián)合分布密度為判斷X，Y是否獨(dú)立。113解：已求得邊緣密度為從而： f(x,y)= fX(x) fY(y)故X,Y相互獨(dú)立例 已知二維隨機(jī)向量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分 布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū) 域。判斷X，Y是否獨(dú)立。 解 ：（X,Y）的分布密度函數(shù)為 當(dāng) 時(shí)，所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為 關(guān)于X的邊緣分布密度為 當(dāng) 或 時(shí)當(dāng) 時(shí)，所以，關(guān)于Y的

14、邊緣分布密度為 關(guān)于Y的邊緣分布密度為 當(dāng) 或 時(shí)所以 所以，X與Y不獨(dú)立。 3.4 隨機(jī)向量函數(shù)的分布 離散型隨機(jī)向量和函數(shù)的分布 設(shè) (,)的布律為P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，） 令=+則取值為0,1,2, ,特別地，當(dāng),獨(dú)立時(shí)，有故例 1 設(shè) 的聯(lián)合分布列為 求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列 Y X-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12解: 由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253

15、-3-2-1-15/4-11/457解得所求的各分布列為 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12例 2 證明：如果X與Y相互獨(dú)立，且XB（n,p）， YB（m,p），則X+YB（n+m,p）證明 X+Y所有可能取值為 0，1，,m+n. 證畢 記 住 結(jié) 論！兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布如果X與Y相互獨(dú)立二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè) 是二

16、維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布密度為 則 是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量 其分布函數(shù)為 是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為 一般而言很難求得分布或密度函數(shù)的顯式表達(dá)式只考慮兩個(gè)隨機(jī)變量的和這一最簡(jiǎn)單情形兩個(gè)隨機(jī)變量的和的分布 如果（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度函數(shù)為 或 特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式 或 連續(xù)型隨機(jī)向量和函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)令Z=X+Y卷積公式也可表為：卷積公式例 1 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為求隨機(jī)變量 Z=X+2Y 的分布密度函數(shù)解例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為求隨機(jī)變量 Z=X+2Y 的分布函數(shù)解 所求分布函數(shù)為 分布密度函數(shù)為 例 3 設(shè),是相互獨(dú)立的服從N(0,1)的隨機(jī)變量，求 的密度函數(shù)。 解N(0,2)例 證明：如果X與Y相互獨(dú)立，且XB（n,p）， YB（m,p），則X+YB（n+m,p）證明 X+Y所有可能取值為 0，1，,m+n. 證畢 例 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為求隨機(jī)變量 Z=X+