二線變換的簡(jiǎn)單質(zhì)教學(xué)課件

1、二、 線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)4 特征值與特征向量一、 特征值與特征向量 二、 特征值與特征向量的求法三、 特征子空間四、 特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換， 則稱(chēng)為 的一個(gè)特征值，稱(chēng)為的屬于特征值一、特征值與特征向量 定義：若對(duì)于P中的一個(gè)數(shù)存在一個(gè)V的非零向量使得的特征向量. 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，注：相同 或相反時(shí) 若 是 的屬于特征值的特征向量，則也是 的屬于的特征向量.但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則 若 都是 的 屬 于特 征 值的特征向量，也是 的屬于的特征向量.則設(shè) 是V的一組基，線性變

2、換在這組基下的矩陣為A. 下的坐標(biāo)記為 二、特征值與特征向量的求法 分析：設(shè)是的特征值，它的一個(gè)特征向量在基則 在基下的坐標(biāo)為以上分析說(shuō)明：所以它的系數(shù)行列式 從而有非零解. 若是的特征值，則反之，若滿(mǎn)足則齊次線性方程組有非零解. 若是一個(gè)非零解，特征向量.則向量就是的屬于的一個(gè)設(shè) 是一個(gè)文字，矩陣稱(chēng)為稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式. 1. 特征多項(xiàng)式的定義A的特征矩陣，它的行列式 （是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式） i) 在V中任取一組基 寫(xiě)出 在這組基下就是的全部特征值.ii) 求A的特征多項(xiàng)式 在P上的全部根它們2. 求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A .iii) 把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組并求出

3、它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo).) 則就是屬于這個(gè)特征值 的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量. 而（其中，不全為零） 就是的屬于 的全部特征向量.如果特征值 對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：對(duì)皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是故數(shù)乘變換K的特征值只有數(shù)k，且解：A的特征多項(xiàng)式 例2.設(shè)線性變換在基 下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重） 把 代入齊次方程組 得 即 它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為： 因此，屬于 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為而屬于 的全部特征向量

4、為不全為零 因此，屬于5的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為 把 代入齊次方程組 得 解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為： 而屬于5的全部特征向量為已知3階方陣A的特征值為：1、1、2，例4求矩陣的特征值及的特征值.例5設(shè)4階方陣A滿(mǎn)足條件求的一個(gè)特征值.三、特征子空間 定義：再添上零向量所成的集合，即設(shè) 為n維線性空間V的線性變換，為的一個(gè)特征值，令 為的屬于的全部特征向量則 是V的一個(gè)子空間, 稱(chēng)之為的一個(gè)特征子空間.四、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)1. 設(shè) 則A的特征多項(xiàng)式由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系還可得 A的全體特征值的積 A的全體特征值的和稱(chēng)之為A的跡,記作trA.注： 有相同特征多項(xiàng)式的矩陣未必相似.它們的特征多項(xiàng)式都是，但A、B不相似.多項(xiàng)式.因此,矩陣A的特征多項(xiàng)式也說(shuō)成是線性變換的特征 由定理6線性變換的特征值與基的選擇無(wú)關(guān).如 2. (定理6) 相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.求x 例 已知矩陣A與B相似，其中設(shè) 為A的特征多項(xiàng)式, 則證: 設(shè) 是 的伴隨矩陣，則3. 哈密爾頓凱萊（HamiltonCaylay）定理都是的多項(xiàng)式，且其次數(shù)不超過(guò)n1. 又的元素是的各個(gè)代數(shù)余子式，它們因此，