簡(jiǎn)諧振動(dòng)(黃頌翔)

1、 第十五章習(xí)題分析習(xí)題類型： 1.證明系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)并求振動(dòng)周期； 2.已知振動(dòng)表達(dá)式，求各物理量； 3.根據(jù)已知條件，建立振動(dòng)表達(dá)式； 4.力學(xué)綜合性問(wèn)題; 5.有關(guān)振動(dòng)疊加的問(wèn)題.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)例題例題1 有一輕彈簧，當(dāng)下端掛m1 = 10g的物體而平衡時(shí)，伸長(zhǎng)量為4.9cm。用這個(gè)彈簧和m2 = 16g的物體連成一彈簧振子。若取平衡位置為原點(diǎn)，向上為x 軸的正方向。將m2從平衡位置向下拉2cm后，給予向上的初速度v0 = 5cm/s并開(kāi)始計(jì)時(shí)，試求m2的振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式。2mO0 xx分析: 振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或角頻率)由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定;要求系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式,即要寫出振幅、圓頻率和初相這

2、三個(gè)物理量.2解: 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l，懸掛m1后伸長(zhǎng)l達(dá)到平衡，則取坐標(biāo)軸向上為正取下m1掛上m2后，系統(tǒng)的角頻率為2mO0 xx3能同時(shí)滿足初始位移和初始速度的初相為一般將初相表示為弧度形式于是,振動(dòng)表達(dá)式為問(wèn)：如果取坐標(biāo)軸向下為正，則初相變化否？4例題3 邊長(zhǎng)l = 25cm的正方形木塊，密度 =0.80克/厘米3，將木塊剛好完全浸入水中后放手，求其運(yùn)動(dòng)形式及運(yùn)動(dòng)方程。振動(dòng)表達(dá)式為：5解：木塊受浮力及重力作用.取豎直向下為坐標(biāo)軸正方向，水面處為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)木塊平衡時(shí)浸入水中深度為b.則達(dá)平衡時(shí)有：如圖，當(dāng)C點(diǎn)離O點(diǎn)為y時(shí)，作用在木塊上的合力為6由牛頓第二定律符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)，即木塊作

3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)。7即初始時(shí)刻在最大位移處。振動(dòng)表達(dá)式為例題4 勁度系數(shù)為k的彈簧下端固定于地面，壓上一重物后彈簧壓縮b = 9.8 cm，給重物m以沖擊力使其具有向下的初速v0 = 1米/秒，分析其運(yùn)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)方程。8解：取豎直向下為y軸正向，彈簧原長(zhǎng)上端為原點(diǎn)O，當(dāng)m在y位置時(shí)，受重力mg向下，彈性力-ky向上。由牛頓第二定律當(dāng)重物的重力與彈性力平衡時(shí)，彈簧壓縮量為b，此時(shí)彈簧處于平衡點(diǎn)O mg = kb代入上式得9即有可見(jiàn)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從這里看到，當(dāng)物體除受回復(fù)力作用外，還受恒力作用時(shí)，仍然作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在新坐標(biāo)系中10求得由初始條件運(yùn)動(dòng)方程為由此可知，應(yīng)注意初位相的確定與坐標(biāo)軸的正向有關(guān)。11解

4、 （1）設(shè)這一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表式為12由初始速度條件簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表式為由旋轉(zhuǎn)矢量方法易求得初相13（2）由位移的表式得14因?yàn)槲矬w向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，v0;對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為OP，即歷時(shí)t=0.5s,旋轉(zhuǎn)矢量從OA轉(zhuǎn)到了OP，共轉(zhuǎn)過(guò)了/4，所以38故有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：或：方法2：解析法.將t=0時(shí)刻代入振動(dòng)方程，有39由圖（a）可知，t0時(shí)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移變小了，因此t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度向著平衡位置，是正的，即所以，取初相已求出，故該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為將t=0.5s時(shí)，x=0代入，有40即由于初相取的是負(fù)角，振動(dòng)狀態(tài)從O點(diǎn)傳到P點(diǎn)需要0.5s，故這里也應(yīng)取負(fù)角，即得若初相取的是正角5/4，則振動(dòng)方程為

5、將t=0.5s時(shí)，x=0代入，有41由于初相取的是正角，振動(dòng)狀態(tài)從O點(diǎn)傳到P點(diǎn)需要0.5s，故這里也應(yīng)取正角，即即得故有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：或：42例4：如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)相繼通過(guò)距離為12cm的兩點(diǎn)A、B，歷時(shí)2s，并且在A、B兩點(diǎn)處具有相同的速度；再經(jīng)過(guò)2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過(guò)B點(diǎn).試求該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期和振幅.解：取坐標(biāo)Ox沿AB連線，坐標(biāo)原點(diǎn)處在A、B連線中點(diǎn)，如圖所示.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為由于 ，且 ，所以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為43用旋轉(zhuǎn) 矢量法求振幅.質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為t=1s，旋轉(zhuǎn)矢量從P0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到PB點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為=t=/4,如圖所示.在OPBB中，有所以振幅由連續(xù)兩次從相反方向通過(guò)B點(diǎn)歷時(shí)2s知，T/4=2，T=8s.44例5：如圖所示，一彈簧振子沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振子質(zhì)量m=2.5kg,彈簧的勁度系數(shù)k=250N/m,當(dāng)振子處于平衡位置右方且向x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)（t=0），此時(shí)的動(dòng)能Ek=0.2J,勢(shì)能Ep=0.6J，試求：（1） （t=0）時(shí)，振子的位移和速度；（2）系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式