插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)介

1、在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。早在6世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。17世紀(jì)之后，I.牛頓，J.-L拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間a，b上的實(shí)值函數(shù)f(x)在該區(qū)間上n+1個(gè)互不相同點(diǎn)x0,x1xn處的值是fx0，f(xn)，要求估算f(x

2、)在a，b中某點(diǎn)的值。其做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有n+1個(gè)參數(shù)CO,C1，Cn的函數(shù)類(lèi)e(C0,C1，Cn)中求出滿(mǎn)足條件P(xi)=f(xi)(i=0，1，n)的函數(shù)P(x),并以P()作為f()的估值。此處f(x)稱(chēng)為被插值函數(shù)，cO，x1，xn稱(chēng)為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，e(C0，C1，Cn)稱(chēng)為插值函數(shù)類(lèi)，上面等式稱(chēng)為插值條件，0(CO，Cn)中滿(mǎn)足上式的函數(shù)稱(chēng)為插值函數(shù)，R(x)=f(x)P(x)稱(chēng)為插值余項(xiàng)。當(dāng)估算點(diǎn)屬于包含xO，x1xn的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱(chēng)為內(nèi)插，否則稱(chēng)為外插。多項(xiàng)式插值這是最常見(jiàn)的一種函數(shù)插值。在一般插值問(wèn)題中，若選取0為n次多項(xiàng)式類(lèi)，由插值條件

3、可以唯一確定一個(gè)n次插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足上述條件。從幾何上看可以理解為：已知平面上n+1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線通過(guò)這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見(jiàn)的表達(dá)形式，一個(gè)是拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一個(gè)是牛頓插值多項(xiàng)式。埃爾米特插值對(duì)于函數(shù)f(x)，常常不僅知道它在一些點(diǎn)的函數(shù)值，而且還知道它在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。這時(shí)的插值函數(shù)P(x)，自然不僅要求在這些點(diǎn)等于f(x)的函數(shù)值，而且要求P(x)的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)也等于f(x)的導(dǎo)數(shù)值。這就是埃爾米特插值問(wèn)題，也稱(chēng)帶導(dǎo)數(shù)的插值問(wèn)題。從幾何上看，這種插值要尋求的多項(xiàng)式曲線不僅要通過(guò)平面上的已知點(diǎn)組，而且在這些點(diǎn)(或者其中一部分)與原曲線“密切”，即它們有相同的

4、斜率。可見(jiàn)埃爾米特插值多項(xiàng)式比起一般多項(xiàng)式插值有較高的光滑逼近要求。分段插值與樣條插值為了避免高次插值可能出現(xiàn)的大幅度波動(dòng)現(xiàn)象，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用分段低次插值來(lái)提高近似程度，比如可用分段線性插值或分段三次埃爾米特插值來(lái)逼近已知函數(shù)，但它們的總體光滑性較差。為了克服這一缺點(diǎn)，一種全局化的分段插值方法三次樣條插值成為比較理想的工具。見(jiàn)樣條函數(shù)。三角函數(shù)插值當(dāng)被插函數(shù)是以2n為周期的函數(shù)時(shí)，通常用n階三角多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，并通過(guò)高斯三角插值表出。插值(Interpolation)，有時(shí)也稱(chēng)為重置樣本”，是在不生成像素的情況下增加圖像像素大小的一種方法，在周?chē)袼厣实幕A(chǔ)上用數(shù)學(xué)公式計(jì)算丟失像素

5、的色彩。有些相機(jī)使用插值，人為地增加圖像的分辨率。插值：用來(lái)填充圖像變換時(shí)像素之間的空隙。如果您認(rèn)為本詞條還有待完善，需要補(bǔ)充新內(nèi)容或修改錯(cuò)誤內(nèi)容，請(qǐng)匚編輯詞條貢獻(xiàn)者(共4名)：zy19842006、Ianer6810、明明我心521、lewuyang問(wèn)題的描述與基本概念科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中,人們經(jīng)常遇到要求解某個(gè)未知函數(shù)的問(wèn)題.在此類(lèi)問(wèn)題中,有些函數(shù)可以同專(zhuān)業(yè)知識(shí),準(zhǔn)確地求出來(lái),而有些未知函數(shù)只知道變量之間存在函數(shù)關(guān)系,其他方面知之甚少,因此要想求出這樣的問(wèn)題,通常人們采用實(shí)驗(yàn)的方法先獲得未知函數(shù)f在限個(gè)點(diǎn)x0,x2,xn.上的值f1x0,fxl,彳xn這相當(dāng)給定一個(gè)數(shù)表:然后由表1夠造一命

6、簡(jiǎn)單的函數(shù)P（x）作兩未知函數(shù)心的近似函數(shù)*去參與肓關(guān)ft/的運(yùn)算，如求值，徴分，職計(jì)等，養(yǎng)是人們求解這類(lèi)間題的主要方法.科學(xué)計(jì)薦中，解決不易零出準(zhǔn)確未知函數(shù)的方法主要采用插值和擬和兩種方式，若記p.咪j為所求的近似函數(shù)，5您幻予i-pf蒿，5（如稱(chēng)為在爲(wèi)的偏差，則插倩法求出冊(cè)p諭繭足&I瑚=0冃丄尹而擬和發(fā)求出的P夠滿(mǎn)足偏差的某種范數(shù)最小插值聞?lì)}課題描述冷已知函數(shù)尸氏窗在a,b上的n+1亍互異點(diǎn)卷黑-譯處的函數(shù)直y亍f甌I,i=Cl丄*；、求f（x）的亠f近愎函數(shù)p（幻繭足-p垃=fIxJ,i=D,l臚,n.此時(shí),稱(chēng)p（M為f（4的一氽插值函數(shù),f礙稱(chēng)為被插函數(shù),點(diǎn)遹為插值節(jié)點(diǎn)慮稱(chēng)為插值條件

7、，而誤差函數(shù)咫町=疋幼-卩啓）稱(chēng)為插值余項(xiàng)通常，滿(mǎn)斥同一插值察件的插值函數(shù)有很多類(lèi)型，：如妥項(xiàng)式糞型，三角函數(shù)糞型等等，因?yàn)榈畛Ｓ玫募S型是多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式糞亟b因兩這樣的插值函數(shù)簡(jiǎn)單，具有良好的諭2析性質(zhì)，當(dāng)插值函數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)稱(chēng)為代數(shù)插值f或多項(xiàng)式桿值）.一亍代數(shù)捋值.函數(shù)p（毀:可寫(xiě)為MpSJ-.：=PmI刃=刀k=0若它滿(mǎn)足插值條件（1）,則有線性方程組亦+邊應(yīng)+血x+瞞+amx（jm=/c|瑚+邊迪+亜x（+奸+鬲區(qū)=yi1Jao+xn+西為鬲Lyn它的變?cè)獮閍0,a1,am由線性代數(shù)知識(shí)，有當(dāng)m也寸，線性方程組（2）有無(wú)窮多解，mr時(shí)可能無(wú)解，只有當(dāng)mr時(shí)才能有唯一解，對(duì)同一組插值

8、條件,最好有插值函數(shù)唯一，因此，對(duì)n個(gè)插值點(diǎn)一般選取n次多項(xiàng)式做插值多項(xiàng)式函數(shù)，此時(shí)在式（）中有=n且它的系數(shù)行列式為熟悉的范德蒙行列式因?yàn)椴逯倒?jié)點(diǎn)互異，故dHO,故故（）有唯一解，于是有定理存在唯一一個(gè)滿(mǎn)足插值條件（1）且次數(shù)Wn插值多項(xiàng)式。插值的目的之一是對(duì)為知函數(shù)作近似計(jì)算。當(dāng)用插值函數(shù)來(lái)近似計(jì)算包含插值點(diǎn)5衛(wèi)，X的最小閉區(qū)間的函數(shù)是，稱(chēng)為內(nèi)插計(jì)算，否則稱(chēng)為外插或外推計(jì)算。（內(nèi)插一般比外插精確，本章主要討論內(nèi)插）本章例（1）是內(nèi)插問(wèn)題。擬和擬和問(wèn)題可以描述為：已知函數(shù)=（）在，上的n個(gè)點(diǎn)心抵，山n處的函數(shù)值這里n盡不一定互異，然后根據(jù)在平面上由點(diǎn)對(duì)氮珥詢(xún)尸叮，畫(huà)出的點(diǎn)圖（常稱(chēng)為教點(diǎn)圖）來(lái)

9、選擇用什么類(lèi)型的函數(shù)作為逼近函數(shù)，若選定中（）為逼近函數(shù)，再通過(guò)擬和條件這里遏是-唯向量備,&盧fg）&次擬和法可以減少數(shù)據(jù)i,i=0,1,n.的觀測(cè)誤差的影響，通常求出近似函數(shù)是一個(gè)表達(dá)式，且涉及大量數(shù)據(jù)點(diǎn)。本章的例（）是擬和問(wèn)題。插值和擬和都是由一組數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)。但它們的近似要求不同，導(dǎo)致其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法不同。一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。到底該選用插值還是擬和，可根據(jù)實(shí)際情況確定。插值和擬和都屬于函數(shù)逼近范疇。插值法插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計(jì)算的基本課題。本節(jié)只討論具有唯一插值函數(shù)的多項(xiàng)式插值和分段多項(xiàng)式插值，對(duì)其中的多項(xiàng)式插值主要討論n次多項(xiàng)式插值的方法，即給定n各點(diǎn)處的函數(shù)值

10、后，怎樣構(gòu)造一個(gè)n次插值多項(xiàng)式的方法。雖然理論上可以用解方程組（）（那里=n得到所求插值多項(xiàng)式，但遺憾的是方程組（）當(dāng)n較大時(shí)往往是嚴(yán)重是病態(tài)的。故不能用解方插值,插值插值,插值,插值，分段多項(xiàng)式插值及樣條插值。插值插值是次多項(xiàng)式插值，其成功地用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法解決了求次多項(xiàng)式插值函數(shù)問(wèn)題。基本思想將待求的次多項(xiàng)式插值函數(shù)改寫(xiě)成另一種表示方式，再利用插值條件（）確定其中的待定函數(shù)，從而求出桿值多項(xiàng)式。插值插值也是次多項(xiàng)式插值，它提出另一種構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法，與插值相比，具有承襲性和易于變動(dòng)節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)。基本思想將待求的次插值多項(xiàng)式（）改寫(xiě)為具有承襲性的形式，然后利用插值條件（）確定（）的待

11、定系數(shù)，以求出所要的插值函數(shù)。插值插值是利用未知函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式的起其提法為給定個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值XX、京、YYiY1:谿如：Yn求一個(gè)次多項(xiàng)式滿(mǎn)足插值條件如上求出的稱(chēng)為次一般有更好的密合度如上求出的稱(chēng)為次一般有更好的密合度插值函數(shù)它與被插函數(shù)基本思想利用插值函數(shù)的構(gòu)造方法先設(shè)定函數(shù)形式再利用插值條件求出插值函數(shù)分段多項(xiàng)式插值插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說(shuō)明插值節(jié)點(diǎn)越多誤差越小，函數(shù)逐近越好，但后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，事實(shí)并非如此，例如：取被插函數(shù)血日心旳在-上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)：孤=丸弘/門(mén)QQl,汕計(jì)算出后得到插值多項(xiàng)式考慮上的一點(diǎn)分別取計(jì)算及對(duì)應(yīng)的誤差得下表n26101

12、4i.8如0.1379310.054463：0.0470590.0443340.042920L咋）0.7596150.607.3791.5737215：33274320.12367-0.621684-0.553416-1531662-5.233409-20.W51從表中可知隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加誤差不但沒(méi)減小反而不斷的增大這個(gè)例子最早是由研究后來(lái)人們把這種節(jié)點(diǎn)加密但誤差增大的現(xiàn)象稱(chēng)為現(xiàn)象出現(xiàn)現(xiàn)象的原因主要是當(dāng)節(jié)點(diǎn)較大時(shí)對(duì)應(yīng)的是高次插值多項(xiàng)式此差得積累淹沒(méi)了增加節(jié)點(diǎn)減少的精度現(xiàn)象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法本節(jié)的分段插值就是克服現(xiàn)象引入的一種插值方法分段多項(xiàng)式插值的定義為定義2:取上個(gè)節(jié)點(diǎn)并

13、給定在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如果函數(shù)e滿(mǎn)足條件e在上連續(xù)ee每個(gè)小區(qū)間是次多項(xiàng)式則稱(chēng)e為在上的分段次插值多項(xiàng)式實(shí)用中,常用次數(shù)不超過(guò)的的底次分段插值多項(xiàng)式,本節(jié)只介紹分段線性插值和分段三次插值其中分段三次插值還額外要求分段插值函數(shù)e在節(jié)點(diǎn)上與被插值函數(shù)有相同的導(dǎo)數(shù)值即中3曰蹋R=叩,n基本思想將被插值函數(shù)的插值節(jié)點(diǎn)由小到大排序然后每對(duì)相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上用次多項(xiàng)式去近似X例題例已知（）（）的函數(shù)表為:例已知（）（）的函數(shù)表為:3.0；3.-2-毬3.41.0936L21.13140-1.1631511.19沁：1.223775；試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算（2的近似值并估計(jì)相應(yīng)的誤差。解：線性插值需要兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，內(nèi)插比外插好因?yàn)椋ǎ?故選，由的插值公式，有L16315U+1.19392宰$=p：W710 x+0.178479所以有為保證內(nèi)插對(duì)拋物線插值，選取三個(gè)節(jié)點(diǎn)為由的插值公式有加33)傢734-3.:2.)-3.4)3X)=1.13151*3.2-3.3)(-3.2-