吉林省“五地六校”合作體2022年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某軍工企業(yè)為某種型號(hào)的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生

2、產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（ ）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）ABCD2如圖所示，陰影部分的面積為（ ）AB1CD3已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若，則的大小關(guān)系是ABCD4設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A函數(shù)有極大值和極小值B函數(shù)有極大值和極小值C函數(shù)有極大值和極小值D函數(shù)有極大值和極小值5設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（ ）A B C D6已知，其中、是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7有六人排成一排，其中甲只能在排頭或

3、排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（ ）A34種B48種C96種D144種8已知集合， ，則（ ）ABCD9設(shè)命題：，；命題：若，則，則下列命題為真命題的是（ ）ABCD10如圖所示，函數(shù) 的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是 ，則 （ ）A B1C2D011以，為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是ABCD12若復(fù)數(shù)滿足，則=（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表參加學(xué)校會(huì)議，則甲被選中的概率是 14已知是定義在上的奇函數(shù)，若，則的值為_15若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則的值是_16已知拋物線：，點(diǎn)是它的焦點(diǎn)，對(duì)于過點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)

4、不同公共點(diǎn)，的任一直線都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明18（12分）命題：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和上；命題：函數(shù)有極值.若命題，為真命題的實(shí)數(shù)的取值集合分別記為，.（1）求集合，；（2）若命題“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）若展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？20（12分）如圖，在中，點(diǎn)在線段上.過點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿折起到的位置（點(diǎn)與重合

5、），使得.（）求證：.（）試問：當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.21（12分）已知函數(shù),.（）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及在內(nèi)的最小值；（）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.22（10分）基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國，帶給人們新的出行體驗(yàn)，某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：月份月份代碼x123456y111316152021請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合y與月份代碼x之間的關(guān)系，如果能，請(qǐng)計(jì)算出y關(guān)于x的

6、線性回歸方程，并預(yù)測該公司2018年12月的市場占有率如果不能，請(qǐng)說明理由根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場，現(xiàn)有采購成本分別為1000元輛和800元輛的A，B兩款車型，報(bào)廢年限各不相同考慮公司的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定對(duì)兩款單車進(jìn)行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如表：報(bào)廢年限車型1年2年3年4年總計(jì)A10304020100測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入500元不考慮除采購成本以外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計(jì)每輛車使用壽命的概率，分別以這100輛單車所產(chǎn)生的平均利潤作為決策依據(jù)，如果你是該公司的負(fù)責(zé)人，會(huì)選擇釆購哪

7、款車型？參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)已知可得，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】如圖所示 軸與函數(shù) 圍成的面積為 ,因此故選B.3、D【解析】分析：由題意可得函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到結(jié)果詳解：定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)

8、時(shí)，單調(diào)遞增故選點(diǎn)睛：本題利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性的概念，只要判定輸入值的大小即可判斷函數(shù)值的大小。4、D【解析】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減5、D【解析】試題分析：由的導(dǎo)數(shù)為，則在點(diǎn)處的切線斜率為，由切線與直線平行，所以，故選D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程6、D【解析】由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出的值，從而可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，得到答案.【詳解】由有，其中、是實(shí)數(shù).所以，解得，所以則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)

9、應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：排列組合.8、B【解析】可求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【詳解】Bx|x2；AB1，2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查描述法、列舉法表示集合的定義，以及交集的運(yùn)算9、D【解析】分析：先判斷命題的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，可得結(jié)論.詳解：因?yàn)槌闪ⅲ?，不存在，故命題為假命題，為真命題；當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，故命題為假命題，為真命題；故命題均為假命題，命題為真命題，故選D.點(diǎn)睛：本題通過判斷或命題、且命題以及非命題的真假，綜合考查不等式的性質(zhì)以及特

10、稱命題的定義，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時(shí)，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.10、B【解析】分析：由切線方程確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由切線方程可知，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，函數(shù)在處切線的斜率為，即，據(jù)此可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、B【解析】求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程【詳解】因?yàn)?，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率為，所以的中垂線的斜率為：，所以以，為端點(diǎn)的線段

11、的垂直平分線方程是，即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，直線方程的求法，考查計(jì)算能力12、D【解析】先解出復(fù)數(shù)，求得，然后計(jì)算其模長即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以所以所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表共有種基本事件，甲被選中包含種，基本事件，因此甲被選中的概率是考點(diǎn)：古典概型概率14、【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和可推導(dǎo)得到函數(shù)為周期函數(shù)，周期為；將變?yōu)椋鶕?jù)奇函數(shù)可得，且可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù) ，又 是周期為的周期函數(shù)又，

12、本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的周期性求解函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性求解得到函數(shù)的周期，從而將所求函數(shù)值變?yōu)橐阎暮瘮?shù)值.15、1【解析】分析：求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求的單調(diào)區(qū)間；詳解： 若 ，則 ，即在上單調(diào)遞增，不符題意，舍；若，令，可得或（舍去）x(0，2aa2aa（2aaf（x）-0+f（x）減增)，+）在 上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；根據(jù)題意若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則 即答案為1.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵16、【解析】設(shè)直線的方程為,聯(lián)立拋物線的方程得出韋達(dá)定理,將翻譯成關(guān)

13、于點(diǎn),的關(guān)系式,再代入韋達(dá)定理求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為,則,設(shè),.則.則由得.代入韋達(dá)定理有恒成立.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,設(shè)而不求利用韋達(dá)定理翻譯題目條件從而進(jìn)行運(yùn)算的方法等.屬于中等題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），證明見解析【解析】（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【詳解】（1） 且于是 從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式 （2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式； 假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；

14、由可證成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.18、（1），或；（2）或【解析】（1）通過函數(shù)的零點(diǎn)，求解的范圍；利用函數(shù)的極值求出的范圍，即可（2）利用復(fù)合函數(shù)的真假推出兩個(gè)命題的真假關(guān)系，然后求解即可【詳解】（1）命題：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和上；可得：，解得命題：函數(shù)有極值，由2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，可得或命題，為真命題的實(shí)數(shù)的取值集合分別記為，所以集合，或；（2）命題“且”為假命題，可知兩個(gè)命題至少1個(gè)是假命題，當(dāng)“且”為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為集合，“且”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為或【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的導(dǎo)

15、數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力19、（1） 第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）無常數(shù)項(xiàng).【解析】分析: (1)先根據(jù)題意得到，解方程即得n=7. 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，求第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即得解.(2)假設(shè)展開式中有常數(shù)項(xiàng)，求出r的值，如果r有正整數(shù)解，則有，否則就沒有.詳解：（1）由題意可得，解得.所以展開式有8項(xiàng)，所以第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得（舍去），故展開式無常數(shù)項(xiàng).點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式系數(shù)，考查特定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2) 二項(xiàng)式通項(xiàng)公式： （）,其中叫二項(xiàng)式展

16、開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù).20、 ()證明見解析；()答案見解析.【解析】分析：（1）由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到.（2）過點(diǎn)作，則，兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以， 的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計(jì)算兩平面法向量夾角，證明點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.詳解：證明：（）在中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（）知平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平?在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，則平面.如圖所示，以為

17、坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，又因?yàn)?，所以?在中，所以，所以，所以，.從而，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一個(gè)法向量.又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則 .因此當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：用空間向量求二面角問題的解題步驟：右手定則建立空間直角坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)兩平面的法向量， 兩法向量夾角為，求法向量及兩向量夾角的余弦；當(dāng)兩法向量的方向都向里或向外時(shí)，則二面角；當(dāng)兩法向量的方向一個(gè)向里一個(gè)向外時(shí)，二面角為.21、（）；（）見解析【解析】（）由已知條件的導(dǎo)函數(shù)，以及，從而求出實(shí)

18、數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，從而得到在內(nèi)的最小值（）由題可得,令，要證函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，即證只有唯一根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間與值域即可，且由零點(diǎn)定理可知，由，可得，代入中，利用導(dǎo)數(shù)求出在內(nèi)的最值即可證明?！驹斀狻浚ǎ┯深}可得：，則，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，、的變化如下表：所以當(dāng)時(shí)，有最小值，（）當(dāng)時(shí)，令，則，由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調(diào)遞增，由于，根據(jù)零點(diǎn)定理，可得存在唯一的，使得，令，解得：，當(dāng)或時(shí)，即的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且，則；，則，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，則，所以【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值以及極值中的運(yùn)用，