應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例

1、應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-1 應力狀態(tài)概述問題的提出: 為什么塑性材料拉伸時會出現(xiàn)滑移線？ 為什么脆性材料扭轉時沿45螺旋面斷開？應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例單向應力狀態(tài)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例純剪切應力狀態(tài)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 重 要 結 論 不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應 力哪一個截面上？哪一點？指明應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力表示單元體：dx、dy、dz（微小的正六面體

2、）單元體某斜截面上的應力就代表了構件內(nèi)對應點同方位截面上的應力。PABCDB、C單向受力，0A純剪切， 0D既有 ，又有應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例主平面單元體的三個相互垂直的面上都無切應力。主應力主平面上的正應力（也是單元體內(nèi)各截面上正應力的極值）。通過結構內(nèi)一點總可找到三個相互垂直的截面皆為主平面。對應的有三個主應力，相應的用 、 、 來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-2 二向和三向應力狀態(tài)的實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-3 二向應力狀態(tài)分析解析法平面應

3、力狀態(tài)的普遍形式：在常見的受力構件中，在兩對平面上既有正應力又有切應力?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來表示。xxy y應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例、正負號規(guī)定：拉為正，壓為負；以對微單元體內(nèi)任意一點取矩為順時針者為正，反之為負；單元體各面上的已知應力分量 、 和 、 ，確定任一斜截面上的未知應力分量，從而確定該點處的主應力和主平面。xxy y應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例規(guī)定： 截面外法線同向為正； a繞研究對象順時針轉為正； 逆時針為正。一、任意斜截面上的應力xyOxxy ynyxyx應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例設：斜截面面積為A，由分離體平衡得：xyOxxy ynyxyx同

4、理：tn應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例二、極值應力應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例xysxtxysyOmax在剪應力相對的項限內(nèi)，且偏向于x 及y大的一側。222x yyxminmaxtsstt+-= ）（應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-3-1 分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原 始單元體求極值應力xyCyxMCxyOxy yx應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例破壞分析低碳鋼鑄鐵應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-3-2 圖示應力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應力；（2）主應力的大??；（3）主平面方位，并在單元體上繪出主平面位置和主應力方向；

5、（4）最大切應力。解：（1）易知，應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例（2）主應力大?。?）主平面方位法線與x軸夾角為的主平面上對應的是2。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例（4）最大切應力應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-4 二向應力狀態(tài)分析圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：xyOxxy ynyxyxtn應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A( x，xy)和B(y，yx) AB與a 軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓；xxyyxyOnaO aaCA( x , xy)B( y ,yx)x

6、2anD( a , a)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力( ， ) 應力圓上一點( ， )面的法線 應力圓的半徑兩面夾角 兩半徑夾角2 ；且轉向一致。xxyyxyOnaO aaCA( x , xy)B( y ,yx)x2anD( a , a)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例四、在應力圓上標出極值應力OC aaA(x , xy)B( y , yx)x2a12a0 1 2 3應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-4-1 已知 求此單元體在30和 -40兩斜截面上的應力。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-4-2 ：討論圓軸扭轉時的應力狀態(tài)，并

7、分析鑄鐵件受扭轉時的破壞現(xiàn)象。解：1取單元體ABCD，其中 ， ，這是純剪切應力狀態(tài)。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例2作應力圓 主應力為 ，并可確定主平面的法線。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例3分析 純剪切應力狀態(tài)的兩個主應力絕對值相等，但一為拉應力，另一為壓應力。由于鑄鐵抗拉強度較低，圓截面鑄鐵構件扭轉時構件將沿傾角為 45的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-4-3 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例3AB 12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與a 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC

8、為半徑畫圓應力圓。0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例主應力及主平面如圖3AB 120 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例解法2解析法：分析建立坐標系如圖60 xyO應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例主單元體：六個平面都是主平面若三個主應力已知，求任意斜截面上的應力:7-5 三向應力狀態(tài)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)

9、綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 這樣，單元體上與主應力之一平行的各個斜截面上的正應力和剪應力，可由三個應力圓圓周上各點的坐標來表示。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學中已證明，其應力n和n可由圖中陰影面內(nèi)某點的坐標來表示。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例在三向應力狀態(tài)情況下：max 作用在與2平行且與1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-5-1 ：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力。（應力單位為MPa）。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例解：應力狀態(tài)綜述-二向

10、和三向應力狀態(tài)實例7-5-2 求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應力單位為MPa）。解：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-5-3 試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應力作出應力圓，并求出主應力和最大切應力的值及它們的作用面方位。(a)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例解: 1. 圖a所示單元體上正應力z=20 MPa的作用面(z截面)上無切應力，因而該正應力為主應力。 2. 與主平面z截面垂直的各截面上的應力與主應力z無關，故可畫出顯示與z截面垂直各截面上應力隨截面方位角變化的應力圓。(a)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例從圓上得出兩個主應力46 MPa和-26 MPa。這樣就得到了包

11、括z=20 MPa在內(nèi)的三個主應力。他們按代數(shù)值大小排序為 146 MPa， 220 MPa， 3-26 MPa。(b)(a)3. 依據(jù)三個主應力值作出的三個應力圓如圖b所示。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例2a034可知為a017且由x截面逆時針轉動，如圖c中所示。(c)(b)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 4. 最大切應力max由應力圓上點B的縱座標知為 max36 MPa，作用在由1 作用面繞2 逆時針45 的面上(圖c)。(c)(b)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-8 廣義胡克定律一、單拉下的應力-應變關系二、純剪的應力-應變關系xyzsxxyz x y應力狀態(tài)綜述-

12、二向和三向應力狀態(tài)實例三、復雜狀態(tài)下的應力 - 應變關系依疊加原理,得: xyzszsytxysx應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例當單元體三個平面皆為主平面時， 分別為 x , y , z 方向的主應變，與主應力的方向一致， ，三主平面內(nèi)的切應變等于零。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例對平面應力狀態(tài) 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例2. 各向同性材料的體積應變體積應變：每單位體積的體積變化，用表示設單元體的三對平面均為主平面，其三個邊長分別為 dx , dy , dz ,變形前體積：變形后體積：則體積應變?yōu)椋?代入廣義胡克定律得：即：任一點處的體積應變與該點處的三個主應力之和成正比

13、。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例同理，可得：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-8-1 已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為124010-6，316010-6。構件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比。試求該點處的主應力數(shù)值，并求該點處另一主應變2的數(shù)值和方向。解：由題意可知，點處于平面應力狀態(tài)且由廣義胡克定律應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例可得： 是縮短的主應變。其方向沿構件表面的法線方向。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-8-2 邊長為的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比。當銅塊受到F=30

14、0kN的均布壓力作用時，試求銅塊的三個主應力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應力為應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例由題意：按主應力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應力為：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-8-3 已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 ， 試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例me334 2.-=應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例7-9 復雜應力狀態(tài)的應變能密度dzdxdy1.空間應力狀態(tài)的應變能密度可得：將廣義胡克定律代

15、入上式：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例2.體積改變能密度和畸變能密度應變能密度 體積改變能密度（V）+畸變能密度（d）（a)（b)=+（c)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例體積改變能密度V畸變能密度d（a）和（b）狀態(tài)的主應力之和相等，故它們的體積應變相等，其 也相等，所以只須把 代入應變能密度公式即得：(b)狀態(tài)只有體積改變而無形狀改變，稱為體積改變能密度V(c)狀態(tài)只有形狀改變而無體積改變，稱為畸變能密度d應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-9-1 用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：txyA13應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀

16、態(tài)實例7-10 強度理論概論強度條件的建立材料因強度不足而引起失效現(xiàn)象是不同的，它取決于：1.材料本身的性質(zhì)，包括塑性材料和脆性材料：單向拉伸試驗塑性材料出現(xiàn)屈服，脆性材料突然斷裂應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例危險點是復雜應力狀態(tài)時1、2、 3 之間有任意比值，不可能通過做所有情況的試驗來確定其極限應力值。 危險點是簡單應力狀態(tài)及純剪切應力狀態(tài)時 直接通過試驗結果建立：單向拉壓：純剪切：2.材料的受力狀態(tài)，包括簡單應力狀態(tài)，復雜應力狀態(tài)應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例強度理論的基本思想 ：1)確認引起材料失效存在共同的力學原因，提出關于這一共同力學原因的假設；2)根據(jù)實驗室中標準試件

17、在簡單受力情況下的破壞實驗（如拉伸）結果，建立起材料在復雜應力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準則和強度條件。3)實際上，當前工程上常用的經(jīng)典強度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學原因的假設。 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例脆性斷裂最大拉應力理論、最大伸長線應變理論屈服失效最大切應力理論、畸變能密度理論材料破壞應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例一、最大拉應力（第一強度）理論： 認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 試

18、驗證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗結果相符，這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉破壞，也是沿拉應力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應力理論相符，但這個理論沒有考慮其它兩個主應力的影響。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例二、最大伸長線應變（第二強度）理論： 認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例三、最大剪應力（第三強度）理論： 認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。

19、當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。 2、強度準則：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例 第三強度理論曾被許多塑性材料的試驗結果所證實，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較簡單，故它在工程設計中得到了廣泛的應用。該理論沒有考慮中間主應力2的影響，其帶來的最大誤差不超過15，而在大多數(shù)情況下遠比此為小。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例4.畸變能密度理論（第四強度理論）基本假設：畸變能密度是引起材料塑性屈服的主要因素復雜應力狀態(tài)下屈服準則：強度條件：單向拉伸屈服時，畸變能密度的極限值是：應力狀態(tài)綜述-二向和三向應

20、力狀態(tài)實例 適用范圍：它既突出了最大主切應力對塑性屈服的作用，又適當考慮了其它兩個主切應力的影響，它與塑性較好材料的試驗結果比第三強度理論符合得更好。此準則也稱為米塞斯（Mises ）屈服準則，由于機械、動力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強度理論；土建行業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，安全系數(shù)的估計較準確，因而較多地采用第四強度理論。 這個理論和許多塑性材料的試驗結果相符，用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當準確的。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：稱為相當應力應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例塑性材料 第三強度理論 可進行偏保守（安全

21、）設計。第四強度理論 可用于更精確設計，要求對材 料強 度指標 、載荷計算較有把握。脆性材料第二強度理論 僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。第一強度理論 用于脆性材料的拉伸、扭轉。 按某種強度理論進行強度校核時， 要保證滿足如下兩個條件: 1. 所用強度理論與在這種應力狀態(tài)下發(fā)生的破壞形式相對應;2. 用以確定許用應力 的,也必須是相應于該破壞形式的極限應力。 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應力狀態(tài)下呈脆斷破壞，應選用第一強度理論。注意脆性材料（如大理石）在三向壓縮應力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應選用第三、第四強度理論。例 (a) 一鋼質(zhì)球體防入沸騰的熱油中,將

22、引起爆裂，試分析原因。受力分析： 鋼球入熱油中，其外部因驟熱而迅速 膨脹，內(nèi)芯受拉且處于三向受拉應力狀態(tài)，而發(fā)生脆斷破壞。 例（b） 深海海底的石塊，盡管受到很大的 靜水壓力,并不破壞，試分析原因。受力分析：石塊處于三向受壓狀態(tài)。應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例第三強度理論：第四強度理論：塑性材料：純剪切應力狀態(tài)：根據(jù)強度理論 , 可以從材料在單軸拉伸時的 推知低 C 鋼類塑性材料在純剪切應力狀態(tài) 下的 應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力狀態(tài)實例例7-10-1 對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理論求相當應力。 110 MPa 140 MPa(b)已知 1=14 0MPa，2=110MPa , 3=0應力狀態(tài)綜述-二向和三向應力