數(shù)值計(jì)算方法期末復(fù)習(xí)終結(jié)版

1、一、名詞解說1偏差：設(shè)x*為正確值x的一個(gè)近似值，稱e(x*)xx*為近似值x*的絕對(duì)偏差，簡(jiǎn)稱偏差。2有效數(shù)字：有效數(shù)字是近似值的一種表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精準(zhǔn)程度。假如近似值x*的偏差限是110n，則稱x*正確到小數(shù)點(diǎn)后n位，2并從第一個(gè)不是零的數(shù)字到這一位的全部數(shù)字均稱為有效數(shù)字。算法：是指解題方案的正確而完好的描繪，是一系列解決問題的清楚指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描繪解決問題的策略體制。計(jì)算一個(gè)數(shù)學(xué)識(shí)題，需要早先設(shè)計(jì)好由已知數(shù)據(jù)計(jì)算問題結(jié)果的運(yùn)算次序，這就是算法。rrn，按必定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為rr4.向量范數(shù)：設(shè)對(duì)隨意愿量xR|x|，若|x|滿足rr

2、r（1）|x|0，且|x|0當(dāng)且僅當(dāng)x0；（2）對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有|rrx|x|；（3）對(duì)隨意rrrnrrrrx,yR，都有|xy|x|y|rr則稱|x|為向量x的范數(shù)。插值法：給出函數(shù)f(x)的一些樣點(diǎn)值，選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式，如多項(xiàng)式、分段線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，要求它經(jīng)過已知樣點(diǎn)，由此確立函數(shù)(x)作為f(x)的近似的方法。6相對(duì)偏差：設(shè)x*為正確值x的一個(gè)近似值，稱絕對(duì)偏差與正確值之比為近似值x*的相對(duì)誤差，記為er(x*)，即er(x*)e(x*)x7.矩陣范數(shù)：對(duì)隨意n階方陣A，按必定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為|A|。若|A|滿足（1）|A|0，且|A|0當(dāng)且僅當(dāng)A0；（2）

3、對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有|A|A|；（3）對(duì)隨意兩個(gè)n階方陣A,B,都有|AB|A|B|；（4）|AB|A|B|稱|A|為矩陣A的范數(shù)。rnr|Ax|8算子范數(shù)：設(shè)A為n階方陣，|?|是R中的向量范數(shù)，則|A|maxr是一種矩x0|x|陣范數(shù)，稱其為由向量范數(shù)|?|引誘出的矩陣范數(shù)，也稱算子范數(shù)。r9.矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性：對(duì)隨意n維向量x，都有|Ax|A|x|這一性質(zhì)稱為矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性。10.1范數(shù)，范數(shù)和2范數(shù)：（1）1rn范數(shù)|xi|x|1i1（2）范數(shù)rmax|xi|x|1in（3）2范數(shù)r22L2|x|2x1x2xn二、簡(jiǎn)答題1高斯消元法的思想是：先逐次消去變量，將方程組化

4、成同解的上三角形方程組，此過程稱為消元過程。而后按方程相反次序求解上三角形方程組，獲得原方程組的解，此過程稱為回代過程。迭代法的基本思想是：結(jié)構(gòu)一串收斂到解的序列，即成立一種從已有近似解計(jì)算新的近似解得規(guī)則，由不一樣的計(jì)算規(guī)則獲得不一樣的迭代法。雅可比（Jacobi）迭代法的計(jì)算過程（算法）：rr(0)(x1(0),x2(0),L,xn(0)，最大允許迭代次（1）輸入A(aij)，b(b1,L,bn)，維數(shù)n，x數(shù)N。（2）置k1（3）對(duì)i1,2,L,nnaijx(0)j)/aiixi(bij1ji（4）若xx(0)，輸出x停機(jī)；不然轉(zhuǎn)5。（5）kN，置k1k,xx(0)(i1,2,L,n)，

5、轉(zhuǎn)，不然，輸出失敗信息，停機(jī)。ii3插值多項(xiàng)式的偏差預(yù)計(jì)：（P102）由Rn(x)f(n1)()n1(x)f(n1)()(xx0)(xx1)L(xxn)(n1)!(n1)!當(dāng)xxi(i0,1,L,n)時(shí)，上式自然成立，所以，上式對(duì)a,b上的隨意點(diǎn)都成立，這就叫插值多項(xiàng)式的偏差預(yù)計(jì)。5.反冪法的基本思想：設(shè)A為階非奇怪矩陣，r，u為A的特點(diǎn)值和相應(yīng)的特點(diǎn)向量，則A1的特點(diǎn)值是A的特點(diǎn)值的倒數(shù)，而相應(yīng)的特點(diǎn)向量不變，即1r1rAuu所以，若對(duì)矩陣A1用冪法，即可計(jì)算出A1的按模最大的特點(diǎn)值，其倒數(shù)恰為A的按模最小的特點(diǎn)值。r(0)代入迭代公式6.雅可比（Jacobi）迭代法是：選用初始向量xr(k

6、1)r(k)r(k0,1,2,L)xiBxgr(k)，由上述計(jì)算過程所給出的迭代法。產(chǎn)生向量序列x數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題是：（1）防止兩個(gè)鄰近的數(shù)相減（2）防止大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象（3）防止除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值（4）要簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提升效率（5）采納數(shù)值穩(wěn)固性好的算法8.高斯消去法的計(jì)算量：由消去法步驟知，在進(jìn)行第k次消元時(shí)，需作除法nk次，乘法(nk)(nk1)次，故消元過程中乘除運(yùn)算總量為n1n(n2n1n(n乘法次數(shù)(nk)(nk1)1)除法次數(shù)(nk)1)k13k12在回代過程中，計(jì)算xk需要(nk1)次乘除法，整個(gè)回代過程需要乘除運(yùn)算的總量為nn(n(nk1)1

7、)，所以，高斯消去法的乘除總運(yùn)算量為k12n21)n1)nn3n2nN(n(n(n1)332239.r(0)r迭代法的收斂條件：對(duì)隨意初始向量x和右端項(xiàng)g，由迭代格式r(k1)r(k)r(k0,1,2,L)xMxgr(k)收斂的充要條件是(M)1。產(chǎn)生的向量序列x10.迭代法的偏差預(yù)計(jì)：設(shè)有迭代格式(k1)Mx(k)g，若|M|r(k)收斂于*，則有x1，xx偏差預(yù)計(jì)式|x(k)x*|M|K|x(1)x(0)|。1|M|二、計(jì)算題假設(shè)運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精準(zhǔn)到兩位小數(shù)，試求x*的絕對(duì)偏差限和相對(duì)偏差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字？e(x1x2)e(x1)e(x2)和e(x1x2)x2e(x1)x1e(x2

8、)得解：由式x2)x1er(x1)x2er(x2)er(x1x1x1x2er(x1x2)er(x1)er(x2)x2e(x*)3.65e(1.21)1.21e(3.65)e(9.81)因?yàn)槭街袛?shù)據(jù)都精準(zhǔn)到兩位小數(shù)，即其偏差限均為1102，故有2|e(x*)|3.65|e(1.21)|1.21|e(3.65)|e(9.81)|(3.651.211)11020.02932|er(x*)|e(x*)|0.02930.0054|x*|5.3935所以，x*的絕對(duì)偏差限為0.0293，相對(duì)偏差限為0.0054，計(jì)算結(jié)果有兩位有效數(shù)字。2232.求矩陣A477的三角分解。245u1ja1j(j1,2,L,

9、n)i1LL解：由式uijaijlikukj(i,n,ji,n)2,k1j1lij(aijlikukj)/ujj(j1,2,L,n1,ij1,L,n)k1，u12a122，u13a133l21a21/u114a31/u11212，l3122u22a22l21u127223，u23a23l21u137231l32(a32l31u12)/u224(1)2/32u33a33(l31u13l32u23)5(1)3216所以100223A2100311210063用冪法（k2）求矩陣A210021的按模最大的特點(diǎn)值和相應(yīng)的特點(diǎn)向量。取012x(0)(0,0,0)T.（P77）解：y(0)x(0)(0,0

10、,1)Tx(1)Ay(0)(0,1,2)T,2(1)x(1)(0,Ty0.5,1)x(2)Ay(1)(0.5,2,2.5)T，2.54.已知函數(shù)ylnx，x的值是10,11,12,13,14對(duì)應(yīng)的ylnx的值分別是2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391。用Lagrange線性插值求ln11.5的近似值。解：取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x011，x112，插值基函數(shù)為l0(x)xx1(x12)xx0 x11x0 x1l1(x)x0 x1由式1(x)y0 xx1y1xx0得x0 x1x1x0L1(x)2.3979(x12)2.4849(x11)將x=11.5代入，即得按式Rn(x)因?yàn)?/p>

11、(lnx)ln11.5L1f(n1)()(a,b)得(nn1(x)1)!(lnx)R1(x)(x11)(x12)2!，在11和12之間，故x2|(lnx)|110.00826452112于是|R1(11.5)|13210 x1x22x3725.用Jacobi迭代法（k1）求解線性方程組x110 x22x383.x1x25x342解：由Jacobi迭代法得計(jì)算公式xi(k1)1naijx(jk)bi得aiij1aiijix1(k1)0.1x2(k)0.2x3(k)7.2x2(k1)0.1x1(k)0.2x3(k)8.3x3(k1)0.2x1(k)0.2x2(k)8.4取x(0)(0,0,0)T，

12、代入上式得x1(1)7.2x2(1)8.3x3(1)8.4x1(2)0.18.30.28.47.29.71x2(2)0.17.20.28.48.310.70 x3(2)0.27.20.28.38.411.50111226.設(shè)有方程組Axb，此中A111，議論用Jacobi迭代法求解的收斂性。2121122解：因?yàn)锳為對(duì)稱矩陣，且其各階主子式皆大于零，故A為對(duì)稱正定矩陣，A不是弱對(duì)角占優(yōu)陣，故不可以鑒別Jacobi迭代的收斂性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩陣為01122BID1A1012211022其特點(diǎn)方程1122|IB|1131322441122(1)2(1)02有根121，31，因此(

13、B)1。由向量序列x(k)收斂的充要條件是(B)1，故2Jacobi迭代法不收斂。7用反冪法（k1）求矩陣A210靠近2.93的特點(diǎn)值，并求相應(yīng)的特點(diǎn)向量，取021012x(0)(0,0,0)T.解：對(duì)A2.93I作三角分解得0.9310A2.93I00.931010.931000.931001000.931011000.9310.930.938.已知函數(shù)ylnx，x的值是10,11,12,13,14對(duì)應(yīng)的ylnx的值分別是2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391。用Lagrange拋物線插值求ln11.5的近似值。解：取x011，x112，x213，插值多項(xiàng)式為L(zhǎng)

14、2(x)(x12)(x13)2.4849(x11)(x13)(x11)(x12)2.397912)(1113)(1211)(122.564911)(1312)(1113)(131.19895(x12)(x13)2.4849(x11)(x13)1.28245(x11)(x12)所以ln11.5L2(11.5)1.19895(0.5)(1.5)(1.5)(0.5)2.442275因?yàn)?lnx)2x3，于是|20.1503102max|(lnx)311x1311所以用拋物線插值法計(jì)算的偏差為|R2(11.5)|(lnx)|(11.511)(11.512)(11.513)|3!10.15031020.

15、50.51.59.39381056查表可得ln11.52.442347三、證明題1.若x的近似值x0.a1a2an10m(a10)有n位有效數(shù)字，則110n1為其相對(duì)偏差2a1限。反之，若x的相對(duì)偏差限r(nóng)知足r11)10n1，則x起碼擁有n位有效數(shù)字。2(a1證明：由式|xx*|110mn得21|e(x*)|xx*|10mn2進(jìn)而有*110mn1*)|e(x)210n1|er(x|0.a1a2Lan10m2a1x*所以110n1是x*的相對(duì)偏差限。2a1若r110n1，由式*e(x*)|r得2(a11)|er(x)|x*|e(x*)|x*er(x*)|0.a1a2LanL10mr(a11)10

16、m1110n1110mn2(a11)2由式|xx*|110mn，x*起碼有n位有效數(shù)字。22.設(shè)x0,x1,xn為n1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，li(x),(i0,1,n)為這組點(diǎn)上的Lagrange插值基函數(shù)，n試證明li(x)1。i0證明：上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)均為1。明顯，函數(shù)f(x)1在這nn+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處取值均為1，即yif(xi)1(i0,1,L,n)，由式Ln(x)yili(x)知，它的ni0次Lagrange插值多項(xiàng)式為nLn(x)li(x)i0對(duì)隨意x，插值余項(xiàng)為Rn(x)f(n1)()f(x)Ln(x)n1(x)0(n1)!n所以Ln(x)li(x)f(x)1i03設(shè)

17、A為隨意n階方陣，?為隨意由向量范數(shù)引誘出的矩陣范數(shù)，則(A)A證明：對(duì)A的任一特點(diǎn)值ri及相應(yīng)的特點(diǎn)向量ui，都有rrrr|i|ui|iui|Aui|A|ui|r|i|A|因?yàn)閡i為非零向量，于是有由i的隨意性即得(A)|A|4.設(shè)A為n階方陣，則limAk0的充分必需條件為(A)1。k證明：必需性。若limAk0k由有關(guān)定義得lim|Ak|0k而0(K)()K|AK|AA于是由極限存在準(zhǔn)則，有l(wèi)im()k0kA所以(A)1。充分性。若(A)1，取1(A)0，由|A|(A),存在一種矩陣范數(shù)?，2使得|A|(A)1(A)12而|Ak|A|k，于是lim|Ak|lim|A|k0kk所以limAk0k五、應(yīng)用題1.平面桁架是由剛性元件經(jīng)過結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)絡(luò)而構(gòu)成的力學(xué)結(jié)構(gòu)，它往常出此刻橋梁結(jié)構(gòu)和其他需要力學(xué)支撐的結(jié)構(gòu)中。如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的靜力桁架結(jié)構(gòu)，此中剛性元件（m5）經(jīng)過結(jié)點(diǎn)A,B,C,D相連。求各個(gè)結(jié)點(diǎn)的協(xié)力方程，并求出當(dāng),外面負(fù)荷36g1250N,g21500N時(shí)，求各個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力。解：設(shè)五個(gè)剛性元件的內(nèi)力為f1,f2,L,f5，它們都辦理為壓力，假如解是負(fù)的，表示該力是張力。桁架的左側(cè)由固定結(jié)點(diǎn)A支撐，右側(cè)由滑輪D支撐，f6,f7,f8是外面支撐力，g1,g2是外面負(fù)荷。因?yàn)樵陟o力均衡時(shí)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)處的水平方向協(xié)力與垂直方向的協(xié)力為零，那么有