《現(xiàn)代機械工程圖學(xué)》3.3

1、現(xiàn)代機械工程圖學(xué)3現(xiàn)代機械工程圖學(xué)33.3.1 兩直線的相對位置3.3.1 兩直線的相對位置3.3.1.1 投影特性 兩直線的相對位置有平行、相交和交錯三種。其投影特性見下表3.3.1.1 投影特性 兩直線的相對位置有平行、相交和交現(xiàn)代機械工程圖學(xué)33.3.1.2 重影點及可見性的判別 利用重影點可判別交錯直線在重影處投影的可見性。注意：各投影的可見性要分別加以判別。 3.3.1.2 重影點及可見性的判別 利用重影點可判別交錯3.3.1.3 兩直線垂直 1.性質(zhì)空間兩直線垂直相交，若其中一直線平行于某一投影面時，它們在該投影面上的投影相互垂直。反之，相交兩直線在某一投影面上的投影成直角，而其中

2、一直線平行于該投影面，則該兩直線在空間必定垂直相交，如圖（a）所示。該性質(zhì)可稱為直角投影定理。其亦適用于垂直交錯的兩直線。3.3.1.3 兩直線垂直 1.性質(zhì)空間兩直線垂直相交，若2.兩直線垂直的投影圖 (b)直線BC為水平線 （c）直線EF為正平線2.兩直線垂直的投影圖 (b)直線BC為水平線 （c）直3.兩直線垂直的應(yīng)用例1 求點K到直線AB的距離L。（1）分析： 該問題曾用直線的二次輔投影求作過。 現(xiàn)根據(jù)直角投影定理，可將一般位置直線AB變換成投影面平行線，作出點線距離的投影。然后再求真長L。 3.兩直線垂直的應(yīng)用例1 求點K到直線AB的距離L。（1）（2）作圖 作一次輔投影，將直線AB

3、變換成投影面平行線，在輔投影中作出k1c1 a1b1并返回作出投影kc、kc。再用直角三角形法（或其他方法）求L。（2）作圖 作一次輔投影，將直線AB變換成投影面平行線，在例2 已知點A的H投影a，求作一等邊三角形ABC，其邊BC在水平線MN上，高AK=30。（1）分析：等邊三角形具有性質(zhì)：高與邊垂直；三邊等長；三角相等為60 。根據(jù)直角投影定理和已知條件，高投影可作出且該等邊三角形邊長可求。由此可完成等邊三角形的各投影。例2 已知點A的H投影a，求作一等邊三角形ABC，其邊BC在（2）作圖如圖所示，作akmn，交mn于k，并作出k。 按高30，作直角三角形A0ak得到高AK的Z坐標(biāo)差而求出

4、a。再作30角的三角形A0B0k，得到邊的實長。最后于mn上作bc等于實長，求出b和c并完成等邊三角形的各投影。（2）作圖如圖所示，作akmn，交mn于k，并作出k。 例3 求作矩形ABCD。已知邊AB，而鄰邊BC的端點C在V面上，并在H面上方25。（1）分析： 矩形鄰邊垂直，即有CBAB。已知AB為一般位置，由直角投影定理知，只有將AB邊轉(zhuǎn)換成投影面的平行線才能作出垂直關(guān)系。 用輔投影法求解。 例3 求作矩形ABCD。已知邊AB，而鄰邊BC的端點C在V面（2）作圖 如圖所示，作使直線AB成為投影面平行線的一次輔投影得到a1b1，并過b1作 a1b1的垂線與距軸X1為25的平行線相交，交點即為

5、C點的輔投影c1。 由c1作軸X1的垂線并與軸X相交，交點即為C點的H投影c，再作出其V投影c。分別連接bc、bc完成邊BC的投影。 由矩形對邊平行，其平行性投影不變的原理完成矩形ABCD的投影。（2）作圖 如圖所示，作使直線AB成為投影面平行線的一次輔3.3.2 直線與平面的相對位置直線與平面的相對位置有 平行、相交和垂直。 3.3.2 直線與平面的相對位置直線與平面的相對位置有3.3.2.1 直線與平面平行 定義 一直線平行于平面上的一直線，則此直線與該平面平行。 3.3.2.1 直線與平面平行 定義基本作圖1：過線作面平行于已知面例 過直線AB作一平面平行于直線EF，（AB、EF為二交錯

6、直線）。（1）分析 由線面平行定義，對交錯直線AB、EF，只要將EF平行移動與AB相交確定的平面即為所求。基本作圖1：過線作面平行于已知面例 過直線AB作一平面平行于（2）作圖如圖所示，過直線AB上任意一點（如點B）作BC/EF，得到相交二直線AB與BC確定的平面即完成作圖。（2）作圖如圖所示，過直線AB上任意一點（如點B）作BC/基本作圖2：判別直線是否平行于已知平面。例 判別直線AB是否平行于已知平面P。（1）分析 由線面平行定義，只要判斷在已知平面上是否能作出一直線與已知直線平行即可?；咀鲌D2：判別直線是否平行于已知平面。例 判別直線AB是否（2）作圖 如圖所示，在平面P上作直線MN，

7、使mn/ab(或mn/ab)，檢查另一同面投影mn不平行ab，所以直線AB不平行平面P。（2）作圖 如圖所示，在平面P上作直線MN，使mn/a 直線與平面相交于一點，它是直線和平面的公有點。 線面相交問題是如何作圖求交點和判別線面投影之間的遮蔽（即可見性）。 線面相交的基本作圖與直線、平面和投影面的相對位置有關(guān)?？砂慈缦氯矫孢M行討論： 1 面為投影面的垂直面時； 2 線為投影面的垂直線時； 3 線、面均是一般位置時。 3.3.2.2 直線與平面相交 概述 直線與平面相交于一點，它是直線和平面的公有點。3.3.21.平面為投影面的垂直面例1 已知一般位置直線AB和鉛垂面CDEF，求AB與CDE

8、F的交點K，并判別可見性。（1）分析 利用面的積聚投影及點線關(guān)系求交點。 利用重影點判別可見性。1.平面為投影面的垂直面例1 已知一般位置直線AB和鉛垂面C（2）作圖 如圖所示，面的積聚投影cdef與ab的交點即所求交點K的H投影k。再由k作投影連線與ab的相交點，為點K的V投影k，即完成求交點的作圖。 交點K是可見與不可見的分界點，其V投影k。其余在投影中出現(xiàn)的相交點則是重影點的投影，如2（1），利用重影點的相對位置即可判別可見性。由于y2y1，說明在之前，即線段BK在平面CDEF的前面，所以bk為可見。（2）作圖 如圖所示，面的積聚投影cdef與ab的交點即所求2.直線為投影面的垂直線例

9、已知正垂線AB和一般位置平面三角形CDE， 求AB與三角形CDE的交點K，并判別可見性。（1）分析 利用線的積聚投影及點線面的關(guān)系求交點。 利用重影點判別可見性。2.直線為投影面的垂直線例 已知正垂線AB和一般位置平面三角（2）作圖 交點K的V投影k與AB的V投影ab重影。 再過k作三角形CDE面上的直線CF的V投影cf，其H投影cf與ab的相交點，即為點K的H投影k。 利用重影點判別可見性，結(jié)果如圖所示。（2）作圖 交點K的V投影k與AB的V投影ab重影。3.線、面均是一般位置例 如圖，直線AB與三角形DEF均為一般位置，求AB與三角形CDE的交點K，并判別可見性。3.線、面均是一般位置例

10、如圖，直線AB與三角形DEF均為一（1）分析 如圖所示，設(shè)交點K已求出，過點K在三角形DEF上任作直線MN，則MN和AB構(gòu)成輔助平面P。MN是DEF與P的交線，而MN與AB的交點即是K。 過點K在DEF上的作直線是無數(shù)的，所以包含AB的輔助平面是無數(shù)的。一般應(yīng)選擇與投影面垂直的平面。 綜上所述求交點的步驟可歸納如下：（i）包含已知直線作輔助平面P（一般為投影面的垂直面）；（ii）求平面P與已知平面的交線MN；（iii）MN與已知直線AB的交點K即所求；（iiii）判別各投影的可見性，完成投影。（1）分析 如圖所示，設(shè)交點K已求出，過點K在三角形DEF（2）作圖 如圖所示，包含已知直線作鉛垂面P

11、，即過ab的投影PH； 再求平面P與已知DEF的交線MN（mn、mn）；而MN與已知直線AB的交點K（k、k）即所求； 判別各投影的可見性，完成投影。（2）作圖 如圖所示，包含已知直線作鉛垂面P，即過ab的投一般位置直線AB和跡線平面Q的交點如圖所示，作圖過程與前述完全一樣。一般位置直線AB和跡線平面Q的交點如圖所示，作圖過程與前述完3.3.2.3 直線與平面垂直 概述 直線垂直（包括交錯垂直）于平面上的兩條相交直線，則該直線垂直于平面。 如圖，直線AB垂直于平面P上的相交直線L1、L2 （或交錯垂直于直線l1、l2）,則AB垂直于P。 反之，若直線垂直于平面，則直線必垂直于該平面上的所有直線

12、。3.3.2.3 直線與平面垂直 概述 直線垂直（包括交錯基本作圖1 過點K作直線KD垂直于平面。其中（a）為三角形ABC；（b）為跡線平面P。基本作圖1 過點K作直線KD垂直于平面。其中（a）為三角形A 基本作圖2 作直線AB的中垂面。其中（a）由相交兩直線確定；（b）作跡線平面P。 基本作圖2 作直線AB的中垂面。其中（a）由相交兩直線確3.3.3 平面與平面的相對位置平面與平面的相對位置有 平行、相交和垂直。3.3.3 平面與平面的相對位置平面與平面的相對位置有3.3.3.1 平面與平面平行 概述 一平面上的相交兩直線對應(yīng)平行于另一平面上的相交兩直線，則兩平面平行。如圖，平面P和Q上各有

13、相交直線p1、p2和q1、q2，若p1 /q1、p2/q2，則P/Q。3.3.3.1 平面與平面平行 概述 一平面上的相交兩基本作圖1 過點作平面平行于已知平面。 例 如圖，過點K作一跡線平面Q平行于已知平面P。（1）分析 根據(jù)兩平行的跡線平面，其各同面跡線應(yīng)相互平行和點在面上，點必在面的直線上。 因此作圖應(yīng)使所作平面包含已知點K且其跡線平行于已知平面P的相應(yīng)跡線?；咀鲌D1 過點作平面平行于已知平面。 例 如圖，過點K（2）作圖 如圖所示，首先過點K作一輔助線與已知平面P的一跡線平行，如圖中作正平線KM/PV 并求得其水平跡點M。 再過跡點M作QH/PH、QV/PV ，平面Q即為所求。（2）

14、作圖 如圖所示，首先過點K作一輔助線與已知平面P的基本作圖2 補全平面形的投影。例2 已知相交二直線DE、FG所確定的平面平行于三角形ABC，補全三角形ABC的投影。（1）分析 根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)和線面的從屬關(guān)系，應(yīng)使所作平面包含與已知平面上對應(yīng)的相交直線平行的直線，以次完成ABC投影?；咀鲌D2 補全平面形的投影。例2 已知相交二直線DE、FG（2）作圖如圖所示，首先可過已知點C（c、c）作直線CI、CII分別與相交二直線DE、FG平行且點I、II取在直線AB上。V投影為c1、c2，并求得H投影為c1、c2。再連1、2與過a、b的投影連線相交即得到ab。最后連接ac、bc 完成三角形ABC

15、的投影。（2）作圖如圖所示，首先可過已知點C（c、c）作直線CI、 平面與平面相交于一直線，它是二平面的公有線。 面面相交問題是如何作圖求交線和判別二面投影之間的遮蔽（即可見性）。 面面相交的基本作圖與平面和投影面的相對位置有關(guān)?？砂慈缦聝煞矫孢M行討論： 1.平面之一為投影面垂直面時； 2.二平面均是一般位置時。 3.3.3.2 平面與平面相交 概述 平面與平面相交于一直線，它是二平面的公有線。3.3.31 平面之一為投影面垂直面例 已知正垂面ABC和一般位置平面三角形DEF，求它們的交線MN，并判別可見性。（1）分析 根據(jù)平面的積聚性和線面關(guān)系求交線，并由重影點判別可見性。1 平面之一為投影

16、面垂直面例 已知正垂面ABC和一般位置平面（2）作圖 正垂面ABC和三角形DEF交線MN的V投影應(yīng)與abc重影，為mn。 由此作出其H投影mn。利用重影點判別可見性，結(jié)果如圖所示。（2）作圖 正垂面ABC和三角形DEF交線MN的V投影應(yīng)與2.二平面均是一般位置（1）分析 求它們的交線可轉(zhuǎn)化成用一個平面上的直線與另一平面相交求交點的方法解決。 用重影點判別可見性。例 已知三角形ABC和DEF均為一般位置平面，求它們的交線MN，并判別可見性。2.二平面均是一般位置（1）分析例 已知三角形ABC和DEF（2）作圖 如圖所示，可選擇三角形ABC中的直線AB、AC，分別包含它們作輔助面P、Q（圖中為鉛垂

17、面），求出AB、AC與三角形DEF的交點M（m、m）、N（n、n），連接MN（ mn、mn）即是所求交線。 判別可見性的作圖，其方法與判別直線和平面相交時的可見性相同，見下圖。（2）作圖 如圖所示，可選擇三角形ABC中的直線AB、AC判別可見性判別可見性 兩平面形相交，從形式上看，有如下圖（a）（b）所示的兩種情況。（a）圖是三角形ABC穿過三角形DEF，交線MN。（ b）圖是將三角形ABC擴大成三角形AGC，則兩三角形互相有一部分相交，交線NK。但不管是哪種形式，其實質(zhì)是相同的。對交線情況的分析 兩平面形相交，從形式上看，有如下圖（a）（b）所示的兩種（1）分析： 如圖所示，根據(jù)“三面共點”

18、原理，作輔助平面和已知二相交平面分別相交得到交線，此二交線的交點即為相交平面的交線上的點。 應(yīng)當(dāng)注意的是，為使作圖簡便，所作的輔助面應(yīng)選擇特殊位置平面（一般為投影面平行面）。 用“三面共點” 原理求作二平面交線（1）分析： 用“三面共點” 原理求作二平面交線（2）作圖（2）作圖3.3.3.3 平面與平面垂直 概述 如圖所示，若直線AB垂直于平面P，則包含直線AB的平面Q、R等必都垂直于平面P； 或者，若平面R垂直平面P，則在平面R上任取一點C，作CD垂直于平面P，則直線CD必在平面R上。3.3.3.3 平面與平面垂直 概述 如圖所示，若直線例 過直線EF作平面垂直于三角形ABC（直線EF不垂直

19、于三角形ABC）基本作圖1：過直線作平面與已知平面垂直（1）分析 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，作已知平面的垂線與已知直線即組成所求平面。例 過直線EF作平面垂直于三角形ABC（直線EF不垂直于三角 如圖所示，首先在三角形ABC上作水平線BI（b1、b1）和正平線CII（c2、c2）。 然后過直線EF上任意一點（如E點），作直線ED（ed、ed）垂直于三角形ABC，即有 edb1、edc2。由相交直線EF和ED所確定的平面即為所求。（2）作圖 如圖所示，首先在三角形ABC上作水平線BI（b1、b1例 判別三角形ABC和DE/FG確定的平面是否垂直基本作圖2 判別兩平面是否垂直（1）分析 根據(jù)面面垂直的性

20、質(zhì)，可先作一已知平面的垂線，再判別該垂線是否在另一平面上而得出結(jié)論。例 判別三角形ABC和DE/FG確定的平面是否垂直基本作圖（2）作圖 如圖所示，在DE/FG確定的平面上過點F作三角形ABC的垂線FK。再檢查直線FK是否在F點所在的平面上。 圖中由于點K不在DE/FG確定的平面上，故兩平面不垂直。（2）作圖 如圖所示，在DE/FG確定的平面上過點F作三3.3.4 綜合幾何問題3.3.4 綜合幾何問題 常見綜合幾何問題有距離、角度的度量和軌跡作圖等。 距離的度量有一般位置直線的實長（兩點之距）、點線、線線、兩平行平面之間的距離等。 角度的度量有直線、平面對投影面的傾角，兩直線（相交或交錯）的夾

21、角，線面、面面夾角等。 軌跡作圖可使許多幾何問題迎刃而解。部分常見軌跡有： 與一定點等距離點的軌跡是以此點為中心的球； 與兩已知點等距離點的軌跡是兩點連線的中垂面； 與一已知直線等距離點的軌跡是一直圓柱面； 過一定點而與投影面成一定傾角直線的軌跡是一正圓錐面； 與兩相交平面等距離點的軌跡是兩平面的等分角面； 與不在一直線上的三點等距離點的軌跡是一直線，該直線過三點所確定的圓的圓心且垂直于該圓面。 綜合幾何問題的作圖往往是由一些基本作圖綜合組成，因此對已學(xué)過的基本作圖方法必須很好理解和掌握。概述 常見綜合幾何問題有距離、角度的度量和軌跡作圖等。概述綜合舉例綜合舉例例1 已知ABC平面外同側(cè)兩點D

22、、E，求作ABC上一點G，使點G到點D、E的距離之和（DG+EG）為最短。例1 已知ABC平面外同側(cè)兩點D、E，求作ABC上一點G空間分析 如圖所示，點D、E在三角形ABC同側(cè)，若三角形ABC上所求點G已作出，而欲使（DG+EG）為最短，則只有點D、E、G在一直線上時成立。但已知點D、E在三角形ABC平面的同側(cè)，因此只有轉(zhuǎn)換（DG+EG）=（FG+EG）=EF，這時點D、F就應(yīng)是三角形ABC的垂直線且有DM=FM（點M是DF與三角形ABC的交點）?？臻g分析 如圖所示，點D、E在三角形ABC同側(cè)，若三角形A擬定作圖方法 根據(jù)以上分析，作圖方法可擬定為： （1）過點D作三角形ABC的垂線，垂足M；

23、 （2）延長DM到F，并取DM=FM；（3）連接EF，作出EF與三角形ABC的交點即所求點G。擬定作圖方法 根據(jù)以上分析，作圖方法可擬定為： 具體作圖 如圖所示，采用一次輔投影將三角形ABC轉(zhuǎn)化為投影面的垂直面，在一次輔投影中完成上述作圖步驟，求作出點G的一次輔投影g1。返回求作g、g，應(yīng)注意利用點G在EF上且df/X1。如果不用輔投影，采用直接作垂線、求垂足，再求EF與三角形ABC的交點G，則作圖較繁。 具體作圖 如圖所示，采用一次輔投影將三角形ABC轉(zhuǎn)化為投影例2 求作直線MN，既與平面P垂直，又分別與直線CD、EF相交于點M、N。例2 求作直線MN，既與平面P垂直，又分別與直線CD、EF

24、相空間分析 如圖所示，與平面P垂直的直線，不一定能與CD、EF都相交；而與CD、EF都相交的直線又不一定垂直于平面P。 運用軌跡概念，可知分別與直線CD、EF相交且垂直于平面P的直線的軌跡各是一包含CD、EF的平面，此兩平面的交線即是滿足條件的直線。圖中所作的平面CDdc和EFfe即是垂直已知平面P且各自包含CD、EF的平面，交線MN即所求。空間分析 如圖所示，與平面P垂直的直線，不一定能與CD、擬定作圖方法 若按上述分析作圖，則（1）首先作出已知平面P的垂線；（2）將作出的垂線各自與已知直線CD、EF組成平面；（3）求作兩平面的交線即所求直線MN?？蓪⑸鲜鲎鲌D過程簡化如下：（1）過CD（或E

25、F）直線作一平面垂直于平面P；（2）求出直線EF與該平面的交點N； （3）過點N作直線垂直于平面P，則必與直線CD交于點M。擬定作圖方法 若按上述分析作圖，則具體作圖 如圖所示，過直線CD上點C作平面P的垂線CG（cg、cg ），求直線EF與CG和CD組成平面的交點即N，過點N作CG的平行線與CD交于M，則MN即所求。具體作圖 如圖所示，過直線CD上點C作平面P的垂線CG（cg 垂直于平面P的直線有無數(shù)條，它們的方向是相同的。因此，可由已知平面P求出它的垂直方向S，而所求直線MN必與S平行，如圖所示。 有了所求直線MN的方向，則將方向為S的垂線變換成某一輔投影面的垂直線，已知直線CD、EF在該

26、輔投影面上的投影如果相交，則該交點即為所求直線MN在該輔投影面上的積聚投影，即確定了所求直線MN的位置。 同時，根據(jù)已知直線在該輔投影面上的投影是否相交的情況可判斷解的有無。按此分析用輔投影法解題見下圖所示。另一種分析 垂直于平面P的直線有無數(shù)條，它們的方向是相同的。因此，可輔投影法輔投影法 例3 求作直線EF與ABC的夾角。 例3 求作直線EF與ABC的夾角。 空間分析直線（EF）與直線在平面（P）上的投影（ef）之間所夾的銳角（）稱為直線對平面的夾角，如圖所示。因此，求直線EF與ABC的夾角，應(yīng)先由點E（或F）作ABC的垂線，并求出垂足，再求作直線EF與ABC的交點，最后求作夾角的真形。但

27、若采用余角法，則可省去求垂足和求直線與平面的交點。空間分析直線（EF）與直線在平面（P）上的投影（ef）之間所擬定作圖方法 采用余角法。 欲求夾角，可先求其余角，因此，如圖，可過直線上點E作平面的垂線，該垂線與已知直線所夾之角即所求夾角的余角。然后求作角的實形，則所求夾角=90-。擬定作圖方法 采用余角法。具體作圖 （1）作ABC面上的水平線BI（b1、b1）和正平行CII（c2、c2）； （2）過已知直線上點E作EGABC（egc2、egb1）； （3）在所作垂線上任取一點M（m、m）組成平面形EMF； （4）經(jīng)過二次輔投影求得EMF的實形，m2e2f2即余角，角=90-即為所求。具體作圖

28、（1）作ABC面上的水平線BI（b1、b1）例4 在H面上找一點S，使其到ABC的三個頂點A、B、C的距離相等。例4 在H面上找一點S，使其到ABC的三個頂點A、B、C的空間分析 如圖所示，由“與兩點等距離的點的軌跡是兩點連線的中垂面”推理可知，與A、B、C三點等距離的點的軌跡應(yīng)是該三點兩兩連線的中垂面的交線（即是一直線）。此交線與H面的交點即為所求點S。空間分析 如圖所示，由“與兩點等距離的點的軌跡是兩點連線的擬定作圖方法 由上述分析可分別作出AC、BC連線的中垂面，中垂 面有兩種作法：（1）幾何元素表示。以過AC、BC的中點且分別垂直于AC、BC的正平線、水平線表示（2）跡線表示。作出過AC、BC的中點且分別垂直于AC、BC的正平線的水平跡點M、N，由此作出分別垂直于AC、BC的中垂面Q、P。中垂面作出后，它們的交線求作在（1）的幾何元素表示時，作圖過程復(fù)雜。而在（2）以跡線表示時，作圖過程比較簡便。且兩跡線平面的H跡的交點即是所求點S的H投影s。擬定作圖方法 由上述分析可分別作出AC、B