概率統(tǒng)計(jì)b1已知袋中有5只紅球3只白球從

1、1.5 事件的獨(dú)立性例1 已知袋中有5只紅球，3只白球，從袋中 有放回地取球兩次，求（1）在第一次取得白球的條件下，第二次 取得白球的概率（2）在第一次取得紅球的條件下，第二次 取得白球的概率（3）第一次取得白球的概率與第二次取得 白球的概率（4）在第二次取得白球的條件下，第一次 取得白球的概率事件的獨(dú)立性解 設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录?A1 第二次取得白球?yàn)槭录?A2則事件 A1 發(fā)生與否對(duì) A2 發(fā)生的概率沒(méi)有影響稱(chēng)為事件A1 與事件 A2 相互獨(dú)立若若定義 設(shè) A , B 為兩事件，若則稱(chēng)事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)： 兩事件 A 與 B 相互獨(dú)立是相互對(duì)稱(chēng)的 若若

2、四對(duì)事件任何一對(duì)相互獨(dú)立，則其它三對(duì)也相互獨(dú)立試證其一事實(shí)上 若則“事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥”不能同時(shí)成立,獨(dú)立的時(shí)候一定有交集。定義 三事件 A, B, C 相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式 同時(shí)成立：注：1) 不能由關(guān)系式(1)推出關(guān)系式(2), 反之亦然 2)僅滿(mǎn)足(1)式時(shí),稱(chēng) A, B, C 兩兩獨(dú)立 (1)(2)A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 例2 有一均勻的八面體，各面涂有顏色如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y 將八面體向上拋擲一次，觀察向下一面出現(xiàn)的顏色。事件 R, W,

3、Y 分別表示向下一面出現(xiàn)紅色，白色，黃色則但本例說(shuō)明不能由關(guān)系式(2)推出關(guān)系式(1)例3 隨機(jī)投擲編號(hào)為 1 與 2 兩個(gè)骰子，令事件 A 表示第一個(gè)骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù) B 表示第二個(gè)骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù) C 表示兩骰子向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 則但本例說(shuō)明不能由A, B, C 兩兩獨(dú)立A, B, C 相互獨(dú)立定義 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立是指 下面的關(guān)系式同時(shí)成立：常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義判斷事件的獨(dú)立性 若 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立，將這 n 個(gè)事件任意分成 k 組，同一個(gè)事件不能同時(shí) 屬于兩個(gè)不同的組，則對(duì)每組的事件進(jìn)行求

4、和、積、差、對(duì)立等運(yùn)算所得到的 k 個(gè)事件 也相互獨(dú)立例4 已知事件 A, B, C 相互獨(dú)立，證明事件與也相互獨(dú)立證常利用獨(dú)立事件的性質(zhì)計(jì)算它們的并事件的概率若 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立，則例5 設(shè)每個(gè)人的血清中含有某種病毒的概率 為0.4%, 求來(lái)自不同地區(qū)的100個(gè)人的血 清混合液中含有某種病毒的概率解 設(shè)這100 個(gè)人的血清混合液中含有某種病毒 為事件 A, 第 i 個(gè)人的血清中含有某種病毒為事件 Ai i =1,2,100 則若Bn 表示 n 個(gè)人的血清混合液中含有某種病毒，則 不能忽視小概率事件，小概率事件遲早要發(fā)生例 某型號(hào)火炮的命中率為0.8，現(xiàn)有一架敵機(jī)

5、即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率擊中它，則需配備此型號(hào)火炮多少門(mén)？解 設(shè)需配備 n 門(mén)此型號(hào)火炮設(shè)事件 表示第 i 門(mén)火炮擊中敵機(jī)故需配備 5 門(mén)此型號(hào)火炮.一個(gè)元件能正常工作的概率稱(chēng)為元件的可靠性一個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)是由元件組成的，常見(jiàn)的元件的連接方式：串聯(lián)并聯(lián)1221系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題 例6設(shè)兩系統(tǒng)都是由 2n 個(gè)元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立。兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性。A1A2AnBnB2B1S1:A1A2AnBnB2B1S2:y = xnxyab 下凸取例7 已知電路系統(tǒng)如圖所示123465L

6、R設(shè)每個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率為 p ，且各個(gè)開(kāi)關(guān)是否閉合是相互獨(dú)立的，求此電路從左到右是通路的概率。解 設(shè)事件 B 表示電路從左到右是通路 事件 Ai 表示開(kāi)關(guān) i 閉合，i = 1,2,6 則解二1543615436應(yīng)用舉例 腸癌普查設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽(yáng)性，事件B 表示被查者患腸癌，已知腸鏡檢查效果如下：某患者兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性，試判斷該患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性呢？利用Bayes 公式得兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性，還不能斷定患者已患腸癌.可見(jiàn)，連續(xù)三次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性，則幾乎可以斷定患者患腸癌了. n 重Bernoulli 試驗(yàn)概型：n 重Bernoulli 試驗(yàn)概型感興趣的

7、問(wèn)題為：在 n 次試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率，記為即可看作每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：設(shè) Bernoulli 試驗(yàn)概型 每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān) 稱(chēng)為 這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 將隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù) n 次每次試驗(yàn)感興趣的事件為 A 例8 袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，有放回地取球 4 次, 每次一只, 求其中恰有2個(gè)白球的概率.解 古典概型設(shè) B 表示4個(gè)球中恰有2個(gè)白球解二 每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn)記取得白球?yàn)槭录?A有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重Bernoulli 試驗(yàn), 記第 i 次取得白球?yàn)槭录?Ai感興趣的問(wèn)題為：4次試驗(yàn)中A 發(fā)生2次的概率一般地，若則例9 八門(mén)炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一發(fā)炮 彈, 若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí), 目標(biāo) 就被擊毀. 如果每門(mén)炮命中目標(biāo)的概率為 0.6, 求目標(biāo)被擊毀的概率. 解 設(shè)一門(mén)炮擊中目標(biāo)為事件 A , P ( A) = 0.6設(shè)目標(biāo)被擊毀為事件B, 則解 設(shè)取出的5個(gè)數(shù)按由小到大排列為令表示所求的事件1,1,2,3,3;1,1,2,3,4; 所取的5個(gè)數(shù)字中至少有3個(gè)數(shù)字不