2015年考研數(shù)一真題及答案解析(完整版)

1、2015 年考研數(shù)一真題及答案解析(完整版)2015 年考研數(shù)學(xué)（一）試題解析一、選擇題:1 8 小題每小題4 分,共32分.:下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)函數(shù) 在 ,f(x) 的拐點的個數(shù)y f (x)f (x)為 ( )(A)(B)01(C)(D)23）【解析】拐點出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二2第頁共27頁導(dǎo)函數(shù)異號 y f(x)f (x)存在兩個拐點.故選（）.(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性11y e (x )e2xx23微分方程(A)的一個特解，則( ) y ay by cexa 3,b 2,c 1(B)a 3,b

2、2,c 1a 3,b 2,c 1a 3,b 2,c 1(C)(D)）分方程的反問題已知解來確定微分方程的方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)3第頁共27頁結(jié)構(gòu)來求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知， 、 為二階常系121e e2xx3數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征 y ay by 0方程的根，從而a2)3，從r2arb 0 b 1 2 2而原方程變?yōu)?，再將特?代入得 y 3y 2y cey xexx.故選（A）c 1(3) 若級數(shù) 條件收斂，則 與 依次 3x 3axnn1為冪級數(shù)的 ( )na (xnnn1(A) 收斂點，收斂點(B) 收斂點，發(fā)散點(C) 發(fā)散點，收斂

3、點(D) 發(fā)散點，發(fā)散點）4第頁共27頁間，冪級數(shù)的性質(zhì).【解析】因為 條件收斂，即 為冪級數(shù)x2ann1的條件收斂點，所以的收斂半徑a (xna (xnnnn1n1為，收斂區(qū)間為 .而冪級數(shù)逐項求導(dǎo)不改變(0,2)收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是 .因而(0,2)na (xnnn1與 依次為冪級數(shù)的收斂點，發(fā)散x 33na (x nxnn1點故選（）.(4) 設(shè) 是第一象限由曲線 ， 與直2xy1 4xy 1D線 ， 圍成的平面區(qū)域，函數(shù) 在 上 f x,yy x 3xyD連續(xù)，則( ) f x,y D(A) 1df rcos ,rsin rdr3sin2142sin5第頁共27頁(B)d f r

4、cos ,rsin rdr13sin212sin4(C) 1df rcos ,rsin drsin23142sin(D)d1 f rcos ,rsin dr3sin212sin24）下的累次積分y【解析】先畫出D 的圖形，ox所以，d1 f(rcos ,rsin rdr3 f(x,y)Dsin212sin4故選（）1 1 1 (5) 設(shè)矩陣， 1 ，若集合 ， d 1,2A 1 2 ab 1 4 a2d 2則線性方程組 有無窮多解的充分必要條件Axb為( )6第頁共27頁(A)(B)(C)(D)a,da,da,da,d【答案】(D)【解析】 1 1 1 11 111 (,b) 1 2 a d

5、0 1a1d 1 ，1 4 a d20 0 (a1)(a2) (d 1)(d 2)2由，故 或 ，同時 或 .a1a2d 1d 2r() r(,b)3故選（D）(6)設(shè)二次型在正交變換為 下f x ,x ,xx Py123的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若P e ,e ,e2y y y222213123，則在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)f x ,x ,xQ e ,e ,ex Qy132123形為( )(A)2y y y2222137第頁共27頁(B)(C)(D)2y y y2222132y y y2222132y y y222213【答案】(A)【解析】由 ，故.x Pyf x y (P )y 2y y yTTT22

6、22132 0 0.且P AP 0 1 0T0 0 11 0 0由已知可得:故有TQ P 0 0 1 PC0 1 02 0 0Q AQC (P APC 0 1 0TT0 0 1所以.選（A）f x y (Q )y 2y y yTTT222213(7) 若A,B 為任意兩個隨機事件，則( )(A)(B) P AB P A P B8第頁共27頁 P AB P A P B(C)(D) P A P B P 2 P A P B P 2【答案】(C)AB ,AB B我們有且，從而P(AB) P()P(AB) P(B)，選(C) .P()P(B)P(AB) P()P(B) 2(8)設(shè)隨機變量 不相關(guān)，且X,

7、Y，EX 2,EY 1,DX 3則( )EX X Y 2 (A)(B)(C)335(D)5【答案】(D)【解析】9第頁共27頁EX(X Y 2) E(X XY 2X) E(X )E(XY)2E(X)22 D(X)E (X)E(X)EY)2E(X)2，選(D) .32 212252二、填空題：9 14 小題,每小題 4 分,共 24:分請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)lnx x2x0【答案】12【分析】此題考查 型未定式極限，可直接00用洛必達(dá)法則，也可以用等價無窮小替換.sinxln(cosx)tanx2x1cosx2xlimlimlim .x22x0 x0 x0方法二：1 x2ln(co

8、sx)cosx1)cosx112limlimlimlim .x2x2x2x22x0 x0 x0 x010第頁 共 頁(10)sinx( 1 x)dx _.2cosx2【答案】24偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡.【解析】 sinx 22 x dx2 xdx .2cosx4 102(11)若函數(shù)由方程確定，z z(x,y) xyz xcosx 2ex則dz(0,1)【答案】dx【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令，則F(x,y,z)e xyz xcosx2z F (,y,z) yz 1 sin,F xz,F (,y,z) e xy zxyz又當(dāng)時 ，即 .z0 x 0,y 1ez1所以，因而yzx

9、1,zyF (0,1,0)F (0,1,0)0 xF(0,1,0)F(0,1,0)(0,1)(0,1)zz11第頁 共 頁.(0,1)(12)設(shè) 是由平面與三個坐標(biāo)平面平x y z 1面所圍成的空間區(qū)域，則2y3z) (x【答案】14計算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計算.【解析】由輪換對稱性，得， (x2y3z)dxdydz 6 zdxdydz 6 zdz dxdy10Dz其中 為平面 截空間區(qū)域 所得的截面，z zDz其面積為 .所以1(1z)22(x 1 112y3z)dxdydz 6 zdxdydz 6 z (1z) dz 3 (z 2z z)dz .1232240012第頁 共 頁2

10、 0 L1 2 LM M O0 0 L0 0 L0 20 2(13) 階行列式M M _.n2 21 2【答案】2n 12【解析】按第一行展開得2 0 L1 2 LL0 20 2D2D( 1) 2( 1)2D2n 1n 1nn 1n 10 0 L0 0 L2 21 2 2 2 D22 2 2 22 nL 2n 12n 1 2n 2n 2 服從正態(tài)分布，則PXY Y 0 _.N【答案】12X N N(0,1)且X、Y相互獨立，從而13第頁 共 頁XY Y 0 (X 1)Y 0 X 10,Y 0X 10,Y 0.1 1 1 1 1 X Y 0X Y 2 2 2 2 2三、解答題：1523 小題共

11、94分請將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10分) 設(shè)函數(shù)， ，若 與 在 是 f x xaln(1x)bxsinx kxx 0g(x)3f xg x等價無窮小，求 的值.a,b,k【答案】11a ,b ,k .23【解析】法一：原式 xa 1x x1kx3x0 x x2x33xa x o x bx x o x332 36lim1kx3x014第頁 共 頁 aab 1a x b x x x o x2343236lim1kx3x0即aa1a b 12k113a 1,b ,k 2法二： xa 1x x1kx3x0a1bsinxbxcosxkx21

12、xlim1x0因為分子的極限為 ，則a11 21xbcosxbxsinx6kx，分子的極限為 ，lim1x012b2bxbxx6k ，1x 3131kx0113a 1,b ,k 215第頁 共 頁(16)(本題滿分 10分) 設(shè)函數(shù) 在定義域 I f x上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的 ，由線 在 yf xx I0點處的切線與直線 及 軸所圍成區(qū)域的 x,f xx xx000面積恒為 4，且 ，求 的表達(dá)式. f xf 0 2【答案】.8f(x) 4 x【解析】設(shè) 在點處的切線方程為： x , f x f x00 y f x f x x x ,000令 ，得到 ，f xy 0 xx 0f x00故由

13、題意， f xf x1 1 f x x x 4f x 4 0220000以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即 ，可分離變量得到通解為：，y211 yx C8y8已知 ，得到 ，因此； 1211 x812Cy 02y16第頁 共 頁即. f x 8x4(17)(本題滿分 10分)已知函數(shù)，曲線 ： f x, y x y xy，求 在曲線 C 上的最大方向x y 3f x, y22導(dǎo)數(shù).【答案】3 沿著梯度的方向的方向?qū)?f ,y數(shù)最大，且最大值為梯度的模.， f x,y 1 y, f x,y 1xxy故，模為，2 gradf ,y 1 y,1x 1 y 1x2此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約2 g x,y 1 y 1

14、x2束條件下的最大值.即為條件極值問C:x y xy 322題.為了計算簡單，可以轉(zhuǎn)化為對17第頁 共 頁在約束條件下的最大 d(x,y) 1 y 1x y xy 322C:x22值.構(gòu)造函數(shù)： 1x x y xy3F x,y, 1 y2222 F 2 1 x 2x y 0，得到x F 2 1 y 2y x 0y F x y xy 3 022. M 1 ,M 1 ,M 2,1 ,M 21234 d M 8,d M 0,d M 9,d M 91234所以最大值為 .9 3(18)(本題滿分 10 分)（）設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明u(x),v(x)(x(x) u(x(x) (xv(x)（）設(shè)

15、函數(shù)可導(dǎo)，u (x),u (x),L ,u (x)n12，寫出 的求導(dǎo)公式.f x( )f(x) u(xu(x)L u (x)12n）u(xh)v(xh)u(x)v(x)u(x)v(x hh018第頁 共 頁u(xh)v(xh)u(xh)v(x)u(xh)v(x)u(x)v(x)hh0v(xh)v(x)u(xh)u(x)u(xh)v(x)hhh0h0u(x)v(x)u(x)v(x)（）由題意得f(x)u (x)u (x)L u (x12nu (xu (x)L u (x)u (xu (x)L u (x)L u (xu (x)L u (x)12n12n12n(19)(本題滿分 10 分)已知曲線

16、L的方程為起點為z 2x y ,22 x,z ，終點為 ，計算曲線積分A 0, 2,0B 0, 2,0. I yz x z x y y(x y z2222L【答案】2219第頁 共 頁 x cos【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程， 2sinyz cos :22 ( 2sin cos )sin 2sin cos (1sin )sin d222 2sin sin cos sin )sin d 2 2222 2 2 sin d 2220(20) 本題滿 11分)設(shè)向量組 內(nèi) 的一個基， ,R =2 +2k3,123113，. = + k =222313（I）證明向量組 為 的一個基; R3123（）當(dāng) k

17、為何值時，存在非 0 向量 在基與基 下的坐標(biāo)相同，并求所有的 . , ,123123【答案】20第頁 共 頁【解析】(I)證明： 2 +2k ,2 , + k1 , ,123132132 0 10 2 02k 0 k1 , ,1232 0 1210 2 0 22k 0 k1402k k1故 為 的一個基.3R, ,（I1）由題意知，23 k , 0 k k k k k112233112233即 0, k 0,i k kk111222333i + k 0 k 2 +2k k 2 k11312223133+2 kkkk11322313即 +2k , , k 0132131 0 1即，得 k=00

18、 1 0 02k 0 k21第頁 共 頁k k k 011223 1k 0,k k 0213k k ,k 011131(21) 本題滿分 11 分)0 2 31 2 0設(shè)矩陣相似于矩陣.A 1 3 3B= 0 b 01 2 a0 3 1(I) 求 的值；a,b（）求可逆矩陣 ，使 為對角矩陣.P APP1【解析】(I)A B tr() tr(B) 3a 1b10 2 3 1 2 0A B 1 3 3 0 b 01 2 a0 3 1ab1 a 42ab3b50 2 3 1 0 0 1 2 3 (II)A 1 3 3 0 1 0 1 2 3 EC 1 2 30 0 11 2 322第頁 共 頁1

19、2 3 1 C 1 2 3 1 1 2 3 1 2 31 的特征值 3 0, 4C120時的基礎(chǔ)解系為 ( (0E C)x 0 ;TT125時的基礎(chǔ)解系為 ( T(4E C)x 03A 的特征值1 :1,1,5AC2 3 1令， P ( , , ) 1 0 11230 1 11P AP115(22) 本題滿分 11 分) 設(shè)隨機變量 的概率X密度為2xlnxf x x對 進(jìn)行獨立重復(fù)的觀測直到 2 個大于 3X的觀測值出現(xiàn)的停止記 為觀測次數(shù).Y23第頁 共 頁(I)求 的概率分布;Y(II)求EY【解析】(I) 記 為觀測值大于 3 p，1pP(X ) 2 2x83從而，1 728 8YnC p1p) p(n ) ( )n 2,L1n1n2n2為 的概率分布；Y(II) 法一:分解法:,將隨機變量 分解成 兩個過程 其中YM NYM表示從 到 次試驗觀測值大于 首次發(fā)生，n(nk)3N1.表示從 次到第 試驗觀測值大于 首次發(fā)生n1k3( GeN : Ge(kn, p)則，注： 表示幾何分M G