上海市復旦大學附中浦東分校2022年數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為邊，的中點，將、分別沿、所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，下列說法錯誤是（ ）A存在某個位置，使得直線與直線所成的角為B存在某個位置，使得直線與直線所成的角為CA、C兩點都不可能重合D存在某個位置，使得直線

2、垂直于直線2使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）ABC或D3函數(shù)（且）的圖象可能為（ ）ABCD4某高中舉辦了一場中學生作文競賽活動，現(xiàn)決定從參賽選手中選出一等獎一名、二等獎二名、三等獎二名，通過評委會獲悉在此次比賽中獲獎的學生為3男2女，其中一等獎、二等獎的獎項中都有男生，請計算一下這5名學生不同的獲獎可能種數(shù)為（ ）A12B15C18D215某班4名同學參加數(shù)學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A1B2C3D46從不同號碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（ ）A120 B240 C280 D607一個幾何體的三

3、視圖如圖所示，其體積為（ ）ABCD8設實數(shù)，滿足約束條件,則的取值范圍是（ ）ABCD9下列說法中正確的個數(shù)是（ ）命題：“、，若，則”，用反證法證明時應假設或；若，則、中至少有一個大于；若、成等比數(shù)列，則；命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.ABCD10閱讀程序框圖，運行相應的程序，則輸出的的值為（ ）A72B90C101D11011為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)是（ ）ABCD12已知，、，則向量與的夾角是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某學校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少

4、有一名同學選擇已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學腸胃不好不會選擇蛋炒飯，則這5名同學不同的主食選擇方案種數(shù)為_（用數(shù)字作答）14已知點在不等式組，表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是_15已知復數(shù)滿足，則的最小值為_16 展開式中，項的系數(shù)為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積18（12分）四個不同的小球放入編號

5、為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?19（12分）在數(shù)列，中，且，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）.（1）求，及，；（2）根據(jù)計算結(jié)果，猜想，的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.20（12分）設函數(shù).（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.21（12分）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在是減函數(shù).22（10分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6

6、0分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】在A中，可找到當時，直線AF與直線CE垂直；在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，自然可取到；在C中，若A與C重合，則，推出矛盾；在D中，若ABCD，可推出則，矛盾.【詳解】解：將DE平移與BF重合，如圖：在A中，若，又，則面，則，即當時，直線AF與直線CE垂直，故A正確；在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，必然會存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60，故B正確；在C中，若A與C重合，則，不符合題意，則A與C恒不重合，故C正確；在D中，又CBCD，則CD面ACB，所以ACCD，

7、即，又，則，矛盾，故D不成立；故選：D.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，是中檔題.2、A【解析】首先解出不等式，因為是不等式成立的一個充分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可【詳解】因為，所以或，需要是不等式成立的一個充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【點睛】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎題3、D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.4、B【解析】一等獎為男生，則從3個男生里選一個；二等獎有男生，可能是一男一女，可能是兩男；剩下的即為

8、三等獎的學生，依照分析求組合數(shù)即可【詳解】由題可知，一等獎為男生，故；二等獎可能為2個男生或1個男生，1個女生，故故獲獎可能種數(shù)為，即選B【點睛】本題考查利用排列組合解決實際問題，考查分類求滿足條件的組合數(shù)5、A【解析】由題意知XB（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可【詳解】每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，XB（4，），則X的方差D（X）4（1）1，故選A【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到XB（4，）是解決本題的關(guān)鍵6、A【解析】此題考查的是排列組合思路：先從五雙鞋中選出一雙，有種C51。再從剩余的四雙中選兩只但是不能為一雙，先

9、從四雙中選兩雙有C答案 A點評：選的時候一定注意不要重復和遺漏。7、C【解析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，該幾何體的體積，故選：C.【點睛】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.8、A【解析】分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及其內(nèi)部，再將目標函數(shù)z=|x|y對應的直線進行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，即可得出z的取值范圍詳解：作出實數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的A

10、BC及其內(nèi)部，其中A（1，2），B（0，），O（0，0）設z=F（x，y）=|x|y，將直線l：z=|x|y進行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，當x0時，直線為圖形中的紅色線，可得當l經(jīng)過B與O點時，取得最值z0，當x0時，直線是圖形中的藍色直線，經(jīng)過A或B時取得最值，z，3綜上所述，z，3故答案為：A點睛：（1）本題主要考查線性規(guī)劃，意在考查學生對該知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查學生分類討論思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是對x分x0和x0討論，通過分類轉(zhuǎn)化成常見的線性規(guī)劃問題.9、C【解析】根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題的正誤；利用反證法可得出命題的真假；設等比數(shù)列的公比為，利用

11、等比數(shù)列的定義和等比中項的性質(zhì)可判斷出命題的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題的正誤.【詳解】對于命題，由于可表示為且，該結(jié)論的否定為“或”，所以，命題正確；對于命題，假設且，由不等式的性質(zhì)得，這與題設條件矛盾，假設不成立，故命題正確；對于命題，設等比數(shù)列、的公比為，則，.由等比中項的性質(zhì)得，則，命題錯誤；對于命題，由特稱命題的否定可知，命題為真命題，故選：C.【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項以及特稱命題的否定，理解這些知識點是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.10、B【解析】輸入?yún)?shù)第一次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第二次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第三次循環(huán)，滿足

12、，繼續(xù)循環(huán)第四次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第五次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第六次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第七次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第八次循環(huán)，滿足，繼續(xù)循環(huán)第九次循環(huán)，不滿足，跳出循環(huán)，輸出故選B點睛：此類問題的一般解法是嚴格按照程序框圖設計的計算步驟逐步計算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束要注意初始值的變化，分清計數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)11、B【解析】分析：直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可詳解： 則復數(shù)的共軛復數(shù)是.故選C.點睛：本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用，復數(shù)的基本概念，是基礎題12、D【解析】設向量與的夾角為，計算出向量與的坐標，然后由計算出的值，

13、可得出的值.【詳解】設向量與的夾角為，則，所以，故選D.【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，考查利用向量的坐標計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，剩下2人選其余主食；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，或沒有人選甲選的主食，相加后得到結(jié)果【詳解】分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法182=36種；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種

14、，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒有人選甲選的主食，方法為=6，共有42（6+6）=96種，故共有36+96=1種，故答案為：1【點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法14、【解析】畫出可行域，然后利用目標函數(shù)的等值線在可

15、行域中進行平移，根據(jù)或含的式子的含義，目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】如圖令，則為目標函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎題.15、4【解析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案【詳解】設，由得所以即點是圓心為，半徑為1的圓上的動點，表示的是點與點的距離所以其最小值為點到圓心的距離減去半徑即故答案為：4【點睛】本

16、題考查的是復數(shù)模的幾何意義，圓當中的最值問題一般向圓心進行轉(zhuǎn)化.16、【解析】 二項式展開式中，含項為 它的系數(shù)為1故答案為1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線：，直線的直角坐標方程；（2）1.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程，再根據(jù) 將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據(jù)題意設直線參數(shù)方程，代入C方程，利用參數(shù)幾何意義以及韋達定理得點到，的距離之積試題解析：（1）曲線化為普通方程為：，由，得，所以直線的直角坐標方程為（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡得：，設兩點所對應的參數(shù)分別為，則，18、 (

17、1)24;(2)144.【解析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有466=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉

18、法.19、 (1) ， (2) 猜想，證明見解析【解析】分析：（1）根據(jù)條件中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列及所給數(shù)據(jù)求解即可（2）用數(shù)學歸納法證明詳解：（1）由已知條件得，由此算出，.（2）由（1）的計算可以猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，由已知，可得結(jié)論成立.假設當（且）時猜想成立，即，.則當時， ，因此當時，結(jié)論也成立.由知，對一切都有，成立點睛：用數(shù)學歸納法證明問題時要嚴格按照數(shù)學歸納法的步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時可能要取兩個(或兩個以上)初始值進行驗證，初始值的驗證是歸納假設的基礎；第二步的證明是遞推的依據(jù)，證明時必須要用到歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法20、 (1)；

19、(2).【解析】試題分析：(1)結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論可得不等式的解集為(2)原問題等價于，結(jié)合(1)中的結(jié)論可得時，則實數(shù)的取值范圍為試題解析：（1）由題得，則有或或解得或或，綜上所述，不等式的解集為（2）存在，使不等式成立等價于由（1）知，時，時，故，即實數(shù)的取值范圍為21、證明過程見解析.【解析】按照單調(diào)性的定義進行證明，先設是上任意兩個實數(shù)，則，然后用差比的方法，結(jié)合，比較出，這樣就證明出函數(shù)在是減函數(shù).【詳解】設是上任意兩個實數(shù)，則， ，所以有，因此函數(shù)在是減函數(shù).【點睛】本題考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性，用差比的方法比較出的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一般在差比比較過程中，往往會用到因式