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文檔簡介

1、第六章 二次型6.1 二次型及其矩陣表示6.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形6.3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形6.4 二次型的正定性6.1 二次型及其矩陣表示一、二次型的概念二、二次型的矩陣表示三、可逆線性變換一、二次型的概念含有 n 個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式稱為 n 元二次型。例如(1)是一個(gè)二元二次型。(2)是一個(gè)三元二次型。問題能否利用矩陣及向量等工具將二次型改寫成一種新的表達(dá)形式？定義(一般)一、二次型的概念試試看：(1)特別有一、二次型的概念試試看：(2)一、二次型的概念含有 n 個(gè)變量 x1, x2 , , xn 的二次齊次多項(xiàng)式稱為 n 元二次型，簡稱二次型， 當(dāng)二次型的系數(shù)為復(fù)(實(shí))數(shù)時(shí)，稱為

2、復(fù)(實(shí))二次型。定義(具體)其中 稱為二次型的系數(shù)，滿足推導(dǎo)二、二次型的矩陣表示即得記則二次型的矩陣形式為：其中 A 為對(duì)稱矩陣。對(duì)稱矩陣與二次型是一一對(duì)應(yīng)的 定義稱對(duì)稱矩陣 A 為二次型 對(duì)應(yīng)的矩陣；稱二次型 為對(duì)稱矩陣 A 對(duì)應(yīng)的二次型。解 將下列二次型改寫成矩陣形式。例(1)(2)對(duì)角矩陣與只含平方項(xiàng)的二次型是一一對(duì)應(yīng)的 解例求下列對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。(1)(2)(3)三、可逆線性變換設(shè) 是兩組變量，定義滿足稱該關(guān)系式為從變量 到變量 的一個(gè)線性變換 ，1. 線性變換其中稱為線性變換的系數(shù)矩陣 .簡記為三、可逆線性變換結(jié)論1. 線性變換 事實(shí)上，如果對(duì)二次型 施行線性變換顯然， 仍為對(duì)稱矩陣。則有設(shè) 為 n 元二次型，P 為 n 階方陣，則 經(jīng)過線性變換 后，仍為 n 元二次型。三、可逆線性變換1. 線性變換2. 可逆線性變換若 P 為可逆矩陣，則稱線性變換 X = P Y 為可逆線性定義性質(zhì)變換，或非退化線性變換。(1) 非退化線性變換的逆變換還是非退化線性變換。(2) 連續(xù)施行兩次非退化線性變換的結(jié)果還

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