湖南邵陽縣一中2023學(xué)年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知且，函數(shù)，若，則（ ）A2BCD2設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（ ）ABCD3函數(shù)的大致圖像為（ ）ABCD4若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（ ）A4B5C

2、6D75已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標(biāo)原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD6已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（ ）ABCD7已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD8是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（ ）ABCD9已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標(biāo)分別為，則（ ）ABCD10設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則；其中真命題的個數(shù)為（ ）ABCD11已知，則的大小關(guān)系為ABCD12設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則

3、實數(shù)的取值范圍是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在面積為的中，若點是的中點，點滿足，則的最大值是_.14直線過圓的圓心，則的最小值是_.15的展開式中的常數(shù)項為_.16已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點在直線上.（）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，曲線：（為參數(shù)）以原點為極點，軸正

4、半軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（）判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由；（）設(shè)直線與曲線的兩個交點分別為，求的值.19（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.20（12分）如圖，在直三棱柱中，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.21（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計他們出門

5、隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”. （1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某

6、樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附： 0.0500.0100.001 3.8416.63510.82822（10分）已知橢圓的右頂點為，點在軸上，線段與橢圓的交點在第一象限，過點的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設(shè)過點且平行于直線的直線交軸于點.（）當(dāng)為線段的中點時，求直線的方程；（）記的面積為，的面積為，求的最小值.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【題目詳解

7、】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，則，則.即.故選：C.【答案點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.2、D【答案解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值【題目詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點時，取得最大值.由得：，故選：D【答案點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，排除B和C；當(dāng)時，排除A.故選：D.【答案點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段

8、，屬中檔題.4、B【答案解析】先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【題目詳解】的二項展開式中第項.令，則，（舍）或.【答案點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題5、D【答案解析】連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【題目詳解】連接，則，所以，在中，故在中，由余弦定理可得. 根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【答案點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6、B【答案解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【題目詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【答案點睛】本題

9、考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.7、A【答案解析】用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【題目詳解】設(shè)，由于，排除B選項；由于，所以，排除C選項；由于當(dāng)時，排除D選項.故A選項正確.故選：A【答案點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.8、B【答案解析】設(shè)正四面體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值【題目詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為，設(shè)為的中點，以為坐

10、標(biāo)原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，取的三等分點、如圖，則，所以、，由題意設(shè)，和都是等邊三角形，為的中點，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，可得，此時，則，.故選：B.【答案點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題9、A【答案解析】畫出函數(shù)的圖像，函數(shù)對稱軸方程為，由圖可得與關(guān)于對稱，即得解.【題目詳解】函數(shù)的圖像如圖，對稱軸方程為，又，由圖可得與關(guān)于對稱，故選：A【答案點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能

11、力，屬于中檔題.10、C【答案解析】利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【題目詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時也有，故錯誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故正確.故選：C.【答案點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，即，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對

12、于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確12、D【答案解析】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時，.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時.又當(dāng)直線經(jīng)過點時，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取

13、值范圍是.選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB|AC|，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【題目詳解】由ABC的面積為得|AB|AC|si

14、nBAC=，所以|AB|AC|sinBAC=，又,即|AB|AC|cosBAC=，由與的平方和得:|AB|AC|=，又點M是AB的中點，點N滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即的最大值是為.故答案為：【答案點睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.14、【答案解析】直線mxny10（m0，n0）經(jīng)過圓x2+y22x+2y10的圓心（1，1），可得m+n1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【題目詳解】mxny10（m0，n0）經(jīng)過圓x2+y22x+2y10的圓心（1，1），m+n10，即m+n1.（）（m+n）22+24，當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號.

15、則的最小值是4.故答案為：4.【答案點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、31【答案解析】由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數(shù)項為： ，得解.【題目詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：31.【答案點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導(dǎo)數(shù)，考查計算能力.16、【答案解析】先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【題目詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：【答案點睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、

16、（）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（）16.【答案解析】(I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(II)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【題目詳解】() 由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因為直線的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為 .（）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點為，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為：，所以當(dāng)時，即時，橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16 .【答案點睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，

17、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.18、（）點在直線上；見解析（）【答案解析】（）直線：，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因為，所以點在直線上；（）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【題目詳解】（）直線：，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因為，所以點在直線上；（）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得，設(shè)兩根為，所以，故與異號，所以，所以.【答案點睛】本題考查在極坐標(biāo)參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【答案解析】（1）利用正弦定理及可得，從

18、而得到；（2）在中，利用余弦定可得，而，故當(dāng)時，的面積取得最大值，此時，在中，再利用余弦定理即可解決.【題目詳解】（1）由正弦定理及已知得，結(jié)合，得，因為，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最大值，此時.在中，由余弦定理得.即.【答案點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.20、（1）見解析（2）見解析【答案解析】（1）取的中點D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，和都是平面內(nèi)的直線且交于點，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【題目詳解】（1）取的中點D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，

19、中點，且.在直三棱柱中，.Q為棱的中點，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，.又，平面，平面，平面.【答案點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.21、（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃算.【答案解析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗得出結(jié)論；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，知服從二項分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設(shè)實際付款元，則的取值為1200，1080，1020，求出實際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【題目詳解】（1）由已知得出聯(lián)列