高中 高二 數(shù)學(xué) 等比數(shù)列的概念

1、31等比數(shù)列的概念一、教學(xué)目標(biāo)1通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義，了解等比中項(xiàng)的概念2體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系3通過(guò)等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的應(yīng)用2、教學(xué)難點(diǎn)等比數(shù)列的運(yùn)算、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用三、教學(xué)過(guò)程四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）概念的引入問題1：前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流教師提示，類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)好方法，比如“等差數(shù)列”；然后指引學(xué)生回顧等

2、差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，確定新數(shù)列的研究問題：相鄰兩項(xiàng)比是固定常數(shù)設(shè)計(jì)意圖：意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度，類比已有研究對(duì)象的主要特征，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的特殊數(shù)列作為研究對(duì)象，這樣的過(guò)程有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力問題2：“請(qǐng)看下面幾個(gè)問題中的數(shù)列”，類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立觀察，充分思考，交流討論根據(jù)學(xué)生交流討論情況，教師可以適時(shí)地選擇以下問題進(jìn)行追問追問：（1）你能用自然語(yǔ)言歸納每組數(shù)列的特征嗎？（從相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系分析）（2）請(qǐng)歸納概括上述四個(gè)具體例子的共同特點(diǎn) （類比等差數(shù)列的過(guò)程）（3）類比等差數(shù)列的概念，從

3、上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？可以用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生梳理觀察、討論、分析的結(jié)果，抽象概括成數(shù)學(xué)定義，給出等比數(shù)列的定義設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過(guò)程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時(shí)機(jī)（二）概念的理解問題3：結(jié)合等比數(shù)列的定義，觀察等比數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立閱讀這段內(nèi)容，然后分別提出自己的新發(fā)現(xiàn)教師根據(jù)學(xué)生的回答情況，可以選擇以下問題進(jìn)行追問追問：（1）等比數(shù)列相鄰三項(xiàng)有什么代數(shù)關(guān)系？（2）類比等差中項(xiàng)，你能得到等比中項(xiàng)的定義嗎？能夠用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？師生活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生

4、探究的情況，教師引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立等比中項(xiàng)的定義設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于難度不大的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方法去找到等比數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，并抽象概念得到等比數(shù)列的定義問題4：你能等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？師生活動(dòng)：讓學(xué)生先獨(dú)立思考，教師展示學(xué)生推導(dǎo)并規(guī)范解答設(shè)計(jì)意圖：內(nèi)容難度不大，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)，并得到等比數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的時(shí)機(jī)問題5：在等差數(shù)列中，公差的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，通過(guò)類比，等比數(shù)列可以與那個(gè)函數(shù)建立聯(lián)系？單調(diào)性如何？這里讓學(xué)生“類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)明公比的等比數(shù)列的單調(diào)性”師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流教

5、師提示，類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)明公比的等比數(shù)列的單調(diào)性設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析的過(guò)程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論問題6：在等差數(shù)列中，如果，則有，等比數(shù)列有類似的性質(zhì)么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系，把等差數(shù)列的一些性質(zhì)遷移到等比數(shù)列中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)（三）概念的鞏固應(yīng)用例1 若等比數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)分別為和，求的第項(xiàng)師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出解答并討論交流，教師進(jìn)行展示總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：例1與42節(jié)的例7類似，也給出了兩個(gè)獨(dú)立的條件根據(jù)兩個(gè)給定條件得到的關(guān)于首項(xiàng)和公比

6、的方程組的解法往往不唯一，有時(shí)會(huì)得到兩個(gè)的值，也就是得到兩個(gè)不同的等比數(shù)列此例題可以讓學(xué)生掌握分類討論的方法例1也可以直接利用等比中項(xiàng)的定義進(jìn)行解決，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考問題例2 已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師給出解答示范設(shè)計(jì)意圖：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，給你兩個(gè)條件與可以表示數(shù)列的每一項(xiàng)，同時(shí)等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示例3 數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132求這個(gè)數(shù)列師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師給出解答示范設(shè)計(jì)意圖：例3安排了一道綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問題的題目根據(jù)條件包含的等量關(guān)系，列出關(guān)于數(shù)列相關(guān)量的方程組是解決這類問題的常用策略本題利用中間量去表示其他各項(xiàng)，可以減少所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)通過(guò)此題提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力例4 已知數(shù)列的首項(xiàng)（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師給出解答示范設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題，加深對(duì)等差與等比數(shù)列概念的理解，