點(diǎn)和圓直線和圓的位置關(guān)系課件

1、24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.名師解讀:確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法有兩種:一是可用圖形上的位置來(lái)判斷:如圖所示,知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三設(shè)圓O的半徑為r,則有:(1)若點(diǎn)A在圓O的內(nèi)部,則OAr.反之:(1)若OAr,則點(diǎn)C在圓O的外部.二是利用數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷:一般地,如果P是圓所在平面內(nèi)的一點(diǎn),d表示點(diǎn)P到圓心O的距離,r表示圓的半徑,則有:點(diǎn)P在O上d=r;點(diǎn)P在O內(nèi)dr.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三例1如圖,以點(diǎn)O(1,1)為圓心,OO為半徑畫(huà)圓,判斷點(diǎn)P(-1

2、,1),點(diǎn)Q(1,0),點(diǎn)R(2,2)和O的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,主要確定點(diǎn)與圓心的距離(d)與半徑(r)的大小關(guān)系;根據(jù)它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定即可. 知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)二不在同一條直線上的三點(diǎn)確定圓不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心.名師解讀:(1)一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓,而一個(gè)圓可以有無(wú)數(shù)多個(gè)內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,都等于三角形外接圓的半徑.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三例2三角形外心具

3、有的性質(zhì)是()A.到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等B.到三邊距離相等C.外心必在三角形外D.到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍解析:三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn),線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,外心到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.答案:A知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三理解三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)是解答的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.名師解讀:用反證法證明命題的一般步驟:(1)否定結(jié)論假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)推出矛盾從假設(shè)出發(fā),根據(jù)已知條件,經(jīng)過(guò)推理論證,得

4、出一個(gè)與命題的條件或已知的定義、基本事實(shí)、定理等相矛盾的結(jié)果;(3)肯定結(jié)論由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三例3用反證法證明命題“在直角三角形中,至少有一個(gè)銳角不大于45”時(shí),應(yīng)先假設(shè)()A.有一個(gè)銳角小于45B.每一個(gè)銳角都小于45C.有一個(gè)銳角大于45D.每一個(gè)銳角都大于45答案:D知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三(1)使用反證法的前提是直接證法比較“困難”.(2)解答問(wèn)題的關(guān)鍵是第一步“假設(shè)”,在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況,如:“都是”的否定是“不都是”,大于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一圓的存

5、在性與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系例1A,B,C是平面內(nèi)的三點(diǎn),AB=3,BC=3,AC=6,下列說(shuō)法正確的是()A.可以畫(huà)一個(gè)圓,使A,B,C都在圓上B.可以畫(huà)一個(gè)圓,使A,B在圓上,C在圓外C.可以畫(huà)一個(gè)圓,使A,C在圓上,B在圓外D.可以畫(huà)一個(gè)圓,使B,C在圓上,A在圓內(nèi)解析:A,B,C是平面內(nèi)的三點(diǎn),AB=3,BC=3,AC=6,AB+BC=AC,則B是線段AC的中點(diǎn),可以畫(huà)一個(gè)圓,使A,B在圓上,C在圓外.答案:B拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二幾何圖形上的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,A的半徑為r,若B,D在A內(nèi),C在A外,則r的取值范圍

6、是()A.3r4B.3r5C.4r4拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解析:如圖所示,要想矩形的頂點(diǎn)B,D在A內(nèi),C在A外,r必須大于AD,且小于AC,而AD=4,AC= =5,所以r的范圍為4r5.答案:C拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類(lèi)問(wèn)題抓住點(diǎn)到圓心的距離與圓半徑的大小關(guān)系,數(shù)形結(jié)合,根據(jù)已知得出r與各邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三與外接圓有關(guān)的綜合題例3在等腰ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰ABC外接圓的半徑.分析:設(shè)O為ABC外接圓的圓心,連接AO,并延長(zhǎng)AO交BC于D,連接OB,OC,得出ADBC,BD=DC,根據(jù)勾股定理求出AD,設(shè)出等腰A

7、BC外接圓的半徑,在RtOBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類(lèi)問(wèn)題,關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線,利用外接圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析.由于是等腰三角形,容易想到過(guò)A作AD垂直于BC交于點(diǎn)D,此時(shí)需要說(shuō)明圓心O在AD上,否則錯(cuò)誤.24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系 直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線.直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離

8、.設(shè)O的半徑為r,點(diǎn)O到直線l的距離為d,則直線l和O相交dr.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五名師解讀:直線和圓的位置關(guān)系,還可用下表表示: 判定一條直線與圓的位置關(guān)系時(shí),既可以用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定它們的位置關(guān)系,也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判定它們的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五例1如圖,ABC中,C=90,B=60,AO=x,O在AB上,且O的半徑為1.問(wèn)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)AC與O相離、相切、相交?分析:由三角形的內(nèi)角和定理可求出A的大小,根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)即可得到OD和AO的關(guān)系,(1)若圓O與AC相離,則有OD大于r

9、,列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍;(2)若圓O與AC相切,則有OD=r,求出x的值即可;(3)若圓O與AC相交,則有OD小于r,列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),可以先畫(huà)出草圖,利用直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)二切線的判定經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.名師解讀:切線的判定方法可以歸納為兩種:(1)定義法:和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線或到圓心的距離等于

10、圓的半徑的直線是圓的切線;(2)切線的判定定理.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五例2如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB長(zhǎng)為半徑的圓交BC于D,DEAC交AC于E.求證:DE是O的切線.分析:連接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到ODB=C,即ODAC,而DEAC,即可得到ODDE,從而得到DE是O的切線.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五證明:如圖所示,連接OD,則OB=OD,OBD=ODB.又AB=AC,OBD=C.ODB=C.ODAC.又DEAC,ODDE.DE是O的切線.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五當(dāng)已知直線過(guò)圓上一點(diǎn),

11、要證明它是圓的切線,則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn),證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)三切線的性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.名師解讀:切線的性質(zhì)定理與判定定理互為逆定理,切線的判定定理是由“垂直得切線”;而性質(zhì)定理是由“切線得垂直”.當(dāng)已知條件中有切線,而圖形中沒(méi)有經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)時(shí),通常作出經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑,這是解答這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)輔助線.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五例3如圖,P是O外一點(diǎn),PA是O的切線,A為切點(diǎn),PO與O相交于B點(diǎn),已知P=28,C為O上一點(diǎn),連接CA,CB,則C的度數(shù)為()A.28B.62C.31D.56知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)

12、二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五當(dāng)題目中有圓的切點(diǎn),而過(guò)切點(diǎn)的半徑又沒(méi)有時(shí),一般作出這條半徑,再利用切線的性質(zhì)定理結(jié)合圓周角等其他知識(shí)來(lái)求解.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)四切線長(zhǎng)及其定理切線長(zhǎng):經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.名師解讀:理解“切線長(zhǎng)”時(shí)可以類(lèi)比“兩點(diǎn)間的距離”,切線長(zhǎng)是數(shù)量,而不是圖形.運(yùn)用切線長(zhǎng)定理可以得出角相等和線段相等,因此,在解答與兩條切線有關(guān)的問(wèn)題時(shí),常常運(yùn)用此定理找相等的角或線段.知識(shí)

13、點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五例4如圖,PA,PB分別切O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧 上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA,PB于點(diǎn)E,F.則PEF的周長(zhǎng)為()A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五解析:由于PEF的三邊都是變化的,而圖形中有三條圓的切線,故易考慮到使用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.PA,PB分別切O于A,B,PB=PA=10 cm.EA與EC為O的切線,EA=EC,同理得到FC=FB,PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm)

14、.答案:C知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五解答本題關(guān)鍵是運(yùn)用切線長(zhǎng)定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成兩條切線長(zhǎng)的和.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五內(nèi)切圓及內(nèi)心內(nèi)切圓:與三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)心:內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心.名師解讀:(1)一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓,而一個(gè)圓的外切三角形有無(wú)數(shù)多個(gè).(2)三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn),這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等,一定在三角形的內(nèi)部.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五例5如圖,O是RtABC的內(nèi)切圓,D,E,F分別為切點(diǎn),ACB

15、=90,則EDF的度數(shù)為()A.25B.30C.45D.60知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五解析:由于EDF是圓周角,所以考慮構(gòu)造出所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角,又有切點(diǎn),所以想到連接OE,OF.O是RtABC的內(nèi)切圓,D,E,F分別為切點(diǎn),OEBC,OFAC.OEC=OFC=90.C=90,由四邊形的內(nèi)角和得EOF=90.EDF= EOF=45.答案:C知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)五解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造出EDF所對(duì)應(yīng)的圓心角. 拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用例1如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為4,O的半徑為1,正方形中心O1與圓心O在直線l上,O與CD邊相切,O以

16、1 cm/s的速度向左邊運(yùn)動(dòng).(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t在何數(shù)值范圍時(shí)O與CD相交?(2)當(dāng)t為何值時(shí),O與AB相切?拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二分析:(1)由t=0或t=2時(shí),O與CD邊相切,得出當(dāng)0t2時(shí),O與CD相交;(2)由t=4或6時(shí),O到AB的距離d=1,得出O與AB相切.解:(1)根據(jù)題意得,當(dāng)t=0或t=2時(shí),O與CD邊相切,故當(dāng)0t2時(shí),O到CD的距離d1,O與CD相交.(2)根據(jù)題意得,當(dāng)t=4時(shí),O到AB的距離d=1,O與AB相切;當(dāng)t=6時(shí),O到AB的距離d=1,O與AB相切.綜上所述,當(dāng)t=4或6時(shí),O與AB相切.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二解答這類(lèi)問(wèn)題,仔細(xì)觀察圖形,由題意得出圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二證明圓的切線的常用方法例2如圖,已知AB為O的直徑,過(guò)點(diǎn)B作O的切線BC,連接OC,弦ADOC.求證:CD是O的切線.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二分析:本題中既有圓的切線是已知條件,又證明另一條直線是圓的切線.