大學物理力學-運動的質(zhì)量

1、大學物理 力學第四篇：運動的質(zhì)量清華大學電子工程系 無13班 蔡楊導論：做功和能能量是力學研研究中的一個個永恒的主題題。從功能原原理，到動能能定理，到機機械能守恒，到到能量守恒，似似乎已經(jīng)成為為了我們我學學習力學的一一貫路徑。但但是本文畢竟竟不是正版教教材，因此不不會按常規(guī)套套路出牌。我我們將從不同同于上述套路路的幾個方面面來討論功和和能量。由于我們以前主主要是以地作作為參考系，而而且只研究單單個質(zhì)點，對對于非慣性系系和質(zhì)點系統(tǒng)統(tǒng)的認識還不不夠。本文將將主要從這幾幾個方面展開開。首先介紹幾個定定義：保守力和耗散力力（或稱非保保守力）：保守力：做功和和路徑無關，只只與始末位置置有關的力叫叫做保守

2、力。保保守力都有其其對應的勢能能。如：重力力，靜電場力力等。耗散力：做功和和路徑有關，而而且通常伴隨隨的是系統(tǒng)能能量的減少（耗耗散）的力稱稱為耗散力。耗耗散力無所謂謂勢能。如：摩擦力。質(zhì)心系：與一個個質(zhì)點系統(tǒng)的的質(zhì)心固連的的參考系叫做做質(zhì)心系。質(zhì)質(zhì)心系威力之之巨大，令人人發(fā)指。許多多力學問題在在地面系中無無從下手，但但在質(zhì)心系中中，只在彈指指一笑之間。（它它是個零動量量參考系，即即在此參考系系中觀測到的的系統(tǒng)的總動動量為）內(nèi)力和外力：內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部部的成員之間間的相互作用用稱為內(nèi)力。外力：系統(tǒng)內(nèi)部部成員以外的的質(zhì)元對系統(tǒng)統(tǒng)內(nèi)部成員的的作用力稱為為外力。（4）恢復系數(shù)數(shù)：實際物體體都不是完美美的

3、剛體。兩兩物體碰撞后后的相對速度度一般都比碰碰前要小。碰碰后速度同碰碰前速度的比比值稱為恢復復系數(shù)。其次給出幾個基基本定理：非慣性系的功能能原理：地參考系中的功功能原理：一個質(zhì)點系，以以地為參考系系：外界對系系統(tǒng)所做的功功=系統(tǒng)能量量的變化。非慣性系中的功功能原理：由于我們研究范范圍暫不涉及及其他能量，因因此右側(cè)的特特指機械能。*質(zhì)點系的動能能定理（和教教程不一樣樣）：假設一個質(zhì)點系系有個質(zhì)點，對對其中的第個個質(zhì)點用動能能定理：將系統(tǒng)內(nèi)的所有有質(zhì)點的方程程加起來，得得到：即：在某個過程程中，外力對對系統(tǒng)所做的的功和內(nèi)力所所做的功的和和=質(zhì)點系統(tǒng)統(tǒng)總的動能的的變化。（這個討論和教教程不一樣樣，僅

4、作參考考，如有謬誤誤，請付之一一笑）非慣性系中的動動能定理：加個慣性力以后后就和我們經(jīng)經(jīng)常說的動能能定理一樣了了。（真實力+慣性性力）對質(zhì)點點所做的功=質(zhì)點動能的的變化質(zhì)點系的柯尼希希定理（描述質(zhì)點系在在地參考系中中的動能和在在質(zhì)心系中的的動能的關系系）：注：下式中表示示對地動能，表示對質(zhì)心系動能。表示對地速度，表示對質(zhì)心系速度，表示質(zhì)心的速度。為第個質(zhì)點的質(zhì)量，為整個系統(tǒng)的總質(zhì)量。表示質(zhì)心系的質(zhì)元個數(shù)。上式利用了一個個結論 ： 質(zhì)心系是零動量量參考系，即得到：瞬時的巨大作用用（碰撞和爆爆炸）：通常認為此過程程動量守恒，能能量不守恒（但但是有個恢復復系數(shù)）。大大家通常習慣慣于列兩個方方程：動量

5、守守恒+能量關關系。實際上上這里面蘊含含了一個重大大的秘密：上上面那個二次次方程組，不不好解，我們們可以寫作一一個格式，但但不用去解它它。上面的方方程組在物理理意義上等價價于： = 1 * GB4 * MERGEFORMAT 動量守恒恒 = 2 * GB4 * MERGEFORMAT 遠離速度度=接近速度度很多人不禁會問問，二次方程程組應該有兩兩組解，怎么么會等價于兩兩個線性方程程呢。我想反反問一句，每每次做這種題題解出來倆解解，你的答案案一般是一個個呢？還是兩兩個呢？那就讓我們進入入魔幻的能量量題海吧：(每次都能看到到這一題)兩兩個等高的小小定滑輪相距距為m，物塊塊A和B的質(zhì)質(zhì)量都是1kkg

6、，物塊CC的質(zhì)量為11.9kg。初初始時兩滑輪輪間的細繩水水平，系統(tǒng)靜靜止。假設繩繩和滑輪的質(zhì)質(zhì)量均不計，且且不計滑輪軸軸上的摩擦。當當C下降0.75m時，試試問：（1）A、B、CC的速度分別別是多少。（2）A、B、CC的加速度分分別是多少。解答：本題很多多輔導材料上上都有，但有有很多都是解解錯的。錯誤誤的原因一般般都在于：他他們認為第二二小問答案是是0。下面將將證明這是不不對的。在題文中研究的的時刻，易得得以下幾何關關系：思路：一個機械械能守恒就解解決問題了。注注意二者的速速度關系即可可。中間物塊塊沿繩方向的的分速度等于于旁邊物塊的的速度。然后后就是勢能減少量 = 動能增加加量所求A、B、C

7、C的速度分別別記作，有機機械能守恒：還有個速度牽連連：代入有關數(shù)據(jù)，解解得：設繩中張力為TT，左右的小小物塊的加速速度為，中間間的小物塊的的速度為。則則有動力學方方程：下面便是比較容容易錯的一步步：有平面極坐標方方程下的加速速度表達式：徑向加速度：整理后得到：從這個結果我們們驚奇地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：速度最大的點還還不在這里，那那個位置應該該在更下方的的位置。至于于具體位置，還還有待筆者的的進一步計算算。如下圖所示，假假設地面光滑滑。三個半徑徑均為r，質(zhì)質(zhì)量分別為mm、的球疊放在在一起，他們們之間的摩擦擦力忽略不計計。試求解當當小球A落地地時它的速度度為多少？解答：如下圖所所示為角位置置為時的情況況，假設

8、此時時A、B兩球球即將分離，則則根據(jù)機械能能守恒定律得得到：沿直線方向速度度相等：由于即將分離，二二者之間沒有有相互作用力力：取B做參考系，則則此系為一慣慣性系。A相對于它作圓圓周運動，相相對速度：列出A的動力學學方程：解得：此后A與另外兩兩個球分道揚揚鑣，不再接接觸。對系統(tǒng)從靜止到到A落地使用用機械能守恒恒：A落地時時：輕松加愉快地解解得：做完這一題的感感覺：分析清清楚了受力和和運動，這個個題看起來爆爆2B。不過過計算真的很很煩人。而且且多了一項、少少了一項都會會是致命的錯錯誤。所以，如如果做錯了，借借用司馬懿那那句話安慰你你下：下次次注意點兒！如圖，質(zhì)量為的的小環(huán)套在水水平光滑的固固定細桿

9、上，并并用長為地輕輕線與質(zhì)量為為的小球連接接。初始時輕輕線位于水平平位置且處于于拉直狀態(tài)，問問輕線與桿夾夾角為時線中中的張力。解答：角方位為為時運動狀態(tài)態(tài)已經(jīng)在圖中中給出（畫了了好久哦親）。有由此可以解出：因此小球相對于于環(huán)的速度下面進行動力學學分析：以小環(huán)作為參考考系，此系為為一非慣性系系，其加速度度：小球在此系中的的動力學方程程（沿法向）：聯(lián)立上述兩式，可可以解得：小球從水平地面面上以初速度度斜拋出去，小小球落地時在在豎直方向上上發(fā)生的非彈彈性碰撞恢復復系數(shù)為，小小球與地面間間的摩擦因數(shù)數(shù)為。若要求求小球第一次次與地面碰撞撞后豎直彈起起，試求小球球可能達到的的最大水平射射程。解答：小球的水

10、水平、豎直初初速度分別為為：水平射程為：豎直方向上用動動量：合理近似得到：水平方向上用動動量：上式中：整理得到：代入的數(shù)值后得得到：討論：（1）若若，則可以取，則有有：=若，則拋射角的的取值范圍：此時當取最小時，拋拋射距離最大大：本題精華在于摩摩擦力沖量和和支持力沖量量的關系！在水平桌面上，質(zhì)質(zhì)量分別為和和（）的兩個物物體A、B，由由一個倔強系系數(shù)為的輕彈彈簧連接，兩兩物體與桌面面的摩擦系數(shù)數(shù)都是。開始始時，A靜止止而B以初速速度的初速度度拉伸彈簧，求求彈簧的最大大伸長量的值值。解答：這道題從從慣性系來解解，生還的可可能性非常之之小。但是從從質(zhì)心系中來來看這個問題題，卻顯得十十分的簡單。我們將

11、問題分作作兩部分來研研究：A尚未運動前：A運動的條條件：而此過程中：代入，得到：A運動起來后，在在質(zhì)心系里面面看：功能原理告之：由于在質(zhì)心系中中，慣性力對對系統(tǒng)不做功功，即（慣性性力對系統(tǒng)的的作用等效作作用于質(zhì)心，而而在質(zhì)心系中中質(zhì)心的位置置不變）而摩擦力做功：式中，故得到：解之：注：折合質(zhì)量，上上式中我們十十分輕松的寫寫出了質(zhì)心系系中二質(zhì)點系系統(tǒng)的動能，這這是因為我們們有利器在手手。質(zhì)心系中中二質(zhì)點系統(tǒng)統(tǒng)的動能：上式中，為二質(zhì)質(zhì)點系統(tǒng)的折折合質(zhì)量。是是兩質(zhì)點的相相對速度，在在牛頓的世界界觀里，這個個速度和參考考系的選取無無關。解題中之所以不不寫出，是怕怕和摩擦系數(shù)數(shù)弄混。特此此聲明。（折合質(zhì)量各類類教材中都會會給出十分詳詳細討論。這這兒就打打醬醬油，從略了了。個人觀