1.3條件概率與全公式

1、1.3 條件概率 例如 在10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品,3個(gè)次品,按不放回抽樣,每次一個(gè),抽取兩次,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解 設(shè)第一次取到次品為事件A,第二次又取到次品為事件B,記所求概率為P(B|A),則條件概率與乘法公式1.3定義 設(shè)A、B為兩事件, P ( A ) 0 , 則在計(jì)算條件概率時(shí),一般有兩種方法: (1) 由條件概率的公式; (2) 由P(B|A)的實(shí)際意義,按古典概型計(jì)算.稱 為事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率，記為條件概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)： 非負(fù)性 歸一性 可列可加性 例1 ：擲兩顆均勻骰子, 已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和

2、不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10， B=第一顆擲出6點(diǎn)。應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算例2: 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4。問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解:設(shè)A=能活20年以上, B=能活25年以，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，所求為P(B|A) 。利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式解:例 3: 一批燈泡共100只,其中10只是次品,其余為正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。 設(shè)Ai =第i次取到正品,

3、i=1,2,3。 A=第三次才取到正品。 則:解:例4: 某人忘記電話號碼最后一位，因而任意的按最后一個(gè)數(shù)，求（1）不超過4次能打通電話的概率；（2）若最后一位是偶數(shù)，則不超過三次能撥通的概率是多少？設(shè)Ai=第i次能撥通電話, i=1,2,3,4，（1）設(shè)A=不超過4次能撥通電話, 則:（2）設(shè)B=最后一位是偶數(shù)，不超過3次能撥通電話, 則:解:例5: 袋內(nèi)有n個(gè)球，其中n-1個(gè)白球，1個(gè)紅球，n個(gè)人依次從袋中各隨機(jī)的取一球，取后不放回，求第i個(gè)人取到紅球的概率。設(shè)Ai=第i個(gè)人取到紅球,i=1,2,n，則:例3 盒中裝有5個(gè)產(chǎn)品, 其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品, 每次1個(gè)

4、, 求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.解 令 Ai 為第 i 次取到一等品（1）例3(3)提問：第三次才取得一等品的概率, 是（2）直接解更簡單（2）(4)條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系若一般地條件概率無條件概率例4 為了防止意外,礦井內(nèi)同時(shí)裝有A 與B兩兩種報(bào)警設(shè)備, 已知設(shè)備 A 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.92, 設(shè)備 B 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.93, 在設(shè)備 A 失效的條件下, 設(shè)備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時(shí)

5、至少有一個(gè)報(bào)警設(shè)備有效的概率.設(shè)事件 A, B 分別表示設(shè)備A, B 有效 已知求解例4解由即故解法二 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 全概率公式和貝葉斯公式例5 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從 中不放回取兩次，每次一件，求第二件為不合格品的概 率為多少？解 設(shè)A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品, =(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9)=6/15例6: 有三個(gè)箱子，分別編號為1,2,3，1號箱

6、裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。解：記 Ai=球取自i號箱, i=1,2,3; B =取得紅球。即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得123將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15。 設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事

7、件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 稱滿足上述條件的A1,A2,An為完備事件組。則對任一事件B，有全概率公式:在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(B)不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai ，使B伴隨著某個(gè)Ai的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè) 容易計(jì)算?？捎盟?之和計(jì)算P(B)。由上式不難看出:“全部”概率P(B)可分成許多“部分”概率 之和。它的理論和實(shí)用意義在于: 某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概

8、率公式。我們還可以從另一個(gè)角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系 。A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果證明 例 7: 甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率。 設(shè)B=飛機(jī)被擊落， Ai=飛機(jī)被i人擊中, i=1,2,3。 由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |

9、A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)則 B=A1B+A2B+A3B，解:依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1?？汕蟮?為求P(Ai ) , 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3。 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3)=0.458， =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458。練習(xí) 市場上某種商品由三個(gè)廠同時(shí)供貨,其供應(yīng)量為:甲

10、廠是乙廠的2倍,乙、丙兩個(gè)廠相等,且各廠產(chǎn)品的次品率分別為2%,2%,4%,求市場上該種商品的次品率. 設(shè)Ai表示取到第i 個(gè)工廠產(chǎn)品,i=1,2,3,B表示取到次品, 由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:=0.025即市場上該種商品的次品率為 2.5%.解該球取自哪號箱的可能性大些?實(shí)際中還有下面一類問題已知結(jié)果求原因 這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。 某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自1

11、號箱的概率。1231紅4白或者問:接下來我們介紹解決這類問題的貝葉斯公式 有三個(gè)箱子，編號分別為1,2,3，1號箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率 。1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率。 記 Ai=球取自i號箱, i=1,2,3; B =取得紅球。求P(A1|B)。運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白? 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)

12、生的每個(gè)原因的概率。貝葉斯公式： 設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它總是與A1,A2,An 之一同時(shí)發(fā)生，則 貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因. 例 8: 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則 表示“抽查的人不患癌癥”. 求解如下:設(shè) C=抽查的人患有癌癥， A=試驗(yàn)結(jié)果是陽性，求P(C|A)。已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95

13、, 現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義由貝葉斯公式，得 代入數(shù)據(jù)， 計(jì)算得 P(CA)= 0.1066。 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無意義？如果不做試驗(yàn), 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為 P(CA)= 0.1066 。 說明這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義。從0.005增加到0.1066, 將近增加約21倍。1. 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無意義？2. 檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P

14、(CA)=0.1066。 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn)。 貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下, 人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識。 當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生), 人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai | B)有了新的估計(jì)。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。 8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過,3支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.8

15、;用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.3。現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊,結(jié)果中靶。 求:所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。 設(shè)A=射擊時(shí)中靶,B1=使用的槍校準(zhǔn)過, B2=使用的槍未校準(zhǔn),則B1,B2是一個(gè)劃分,由貝葉斯公式解:例9解:例 10: 一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 25%。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I, II, III號機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少? 設(shè)A=螺釘是次品, B1=螺釘由1號機(jī)器生產(chǎn), B2=螺釘由2號機(jī)器生產(chǎn),B3=螺釘由3號機(jī)器生產(chǎn)。則:由貝葉斯公式，得同理,P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。例11 由于隨機(jī)干擾, 在無線電通訊中發(fā)出信號“ ”