函數(shù)性質(zhì)專題 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性

1、函數(shù)性質(zhì)專題 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性第一部分 函數(shù)的奇偶性一、奇偶函數(shù)的定義偶函數(shù)奇函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果xI，都有xI且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的奇偶性常用結(jié)論奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式fxfxfxfx0eq f(fx,fx)1fx為偶函數(shù)；fxfxfxfx0eq f(fx,fx)1fx為奇函數(shù). 2、如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則一定有f(0)0.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|).3、在公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，

2、奇偶奇函數(shù)的奇偶性常見(jiàn)題型函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x3 eq f(1,x) ；(2)f(x) eq r(x21) eq r(1x2) ；(3)f(x) eq blc(avs4alco1(x22x1，x0，,x22x1，x0.) 跟蹤練習(xí)1、下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()Af(x)2x1 Bf(x)x3xCf(x) eq f(1,x2) Df(x)x eq f(1,x) 2、函數(shù)f(x)eq f(1,x)x的圖像()A關(guān)于y軸對(duì)稱 B關(guān)于直線yx對(duì)稱C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于直線yx對(duì)稱3、已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間

3、是(，0)Bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,1)Df(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)4、設(shè)函數(shù)f(x)eq f(1x,1x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()Af(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)15、設(shè)函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)有定義，下列函數(shù)必為奇函數(shù)的是()Ay|f(x)| Byxf(x2)Cyf(x)Dyf(x)f(x)6、已知函數(shù)f(x)eq f(r(9x2),|6x|6)，則函數(shù)f(x)()A既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) B既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù) D是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)7、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x

4、1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，則()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)1是偶函數(shù) Df(x)1是奇函數(shù)8、(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()Ay2x23 Byx3Cyx2，x0，1 Dyx9、(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是奇函數(shù)B圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)yx2在x(0，)上是偶函數(shù)D若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)010、(多選)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()Ayf(|x|) Byf(x)Cyxf(x) Dyf(x)x11、(多選)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(

5、x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是偶函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)12、(多選)如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為具有奇偶性的函數(shù)的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)13、(多選)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)與f(x1)都為奇函數(shù)，則()Af(x1)為奇函數(shù)Bf(x)為周期函數(shù)Cf(x3)為奇函數(shù)Df(x2)為偶函數(shù)14、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)eq r(3x2)eq r(x23)；(2)f(x)eq blc

6、rc (avs4alco1(x2x，x0；)15、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)eq f(x3x2,x1)；(2)f(x)x2x3；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)x2eq f(a,x)(x0，aR).16、(1)已知函數(shù)f(x)，xR，若a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)已知函數(shù)f(x)，xR，若x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求證：f(x)為偶函數(shù)；(3)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(l，l)上，證明：f(x)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)是奇函數(shù)17、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，設(shè)g(x)eq

7、f(f（x）f（x）,2)，h(x)eq f(f（x）f（x）,2).(1)試判斷g(x)與h(x)的奇偶性；(2)試判斷g(x)，h(x)與f(x)的關(guān)系；(3)由此你能猜想出什么樣的結(jié)論？根據(jù)奇偶性求函數(shù)值例2(2022重慶模擬)已知函數(shù)f(x)ax5bx32，若f(2)7，求f(2)的值.跟蹤練習(xí)1、(2022青島模擬)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常數(shù))，且f(3)5，則f(3)()A21B21C26D262、如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖像，則f(2)f(1)的值為()A.2 B2 C1 D03、已知f(x)為奇函數(shù)，在區(qū)間3，6上是增函數(shù)，且在此區(qū)間上的最大值為8，最小

8、值為1，則2f(6)f(3)()A15 B13C5 D54、已知f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2019)k，則f(2019)()Ak Bk C1k D2k5、已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2xm，則f(2)()3 B eq f(5,4) C eq f(5,4) D36、已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(x)0，f(0) eq r(3) ，則f(10)_7、已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2ax，且f(3)6，則a的值為_(kāi)8、若函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(gx，x0)為奇函數(shù)，則f(g(1)_.9、已知函數(shù)f(x)是

9、定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則f(1)_10、已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，則f(1)的值是_11、若f(x)(m1)x26mx2是偶函數(shù)，則f(0)，f(1)，f(2)從小到大的排列是_根據(jù)奇偶性求函數(shù)的解析式例3(1)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(x2)，則當(dāng)x0時(shí)，求f(x)的表達(dá)式.(2)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，求f(x)的表達(dá)式跟蹤練習(xí)1、(2022廣東模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)x2x1，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)_2、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

10、當(dāng)x0，f(x)2x2xa，則a_；當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x.(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像5、已知函數(shù)f(x)x2mx(m0)在區(qū)間0，2上的最小值為g(m)求函數(shù)g(m)的解析式；6、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式7、已知函數(shù)f(x)eq f(axb,1x2)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f

11、(x)在(1，1)上是增函數(shù)；(3)解關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式f(t1)f(t)0.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例4已知定義在(1，1)上的函數(shù)f(x)eq f(x,x21).(1)試判斷f(x)的奇偶性及在(1，1)上的單調(diào)性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0時(shí)，f(x)x(x1)C函數(shù)f(x)有最小值 eq f(1,4) D不等式f(x)0的解集是(1，1)2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，且f(x2)為偶函數(shù)，則f(1)，f(4)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) 的大小關(guān)系為()Af(4)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,

12、2) Bf(1)f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) Cf eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) f(4)f(1) Df(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) 0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)5、(2022白銀模擬)已知f(x)ax2x(a2)為奇函數(shù)，則“m0”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件6、設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則f(2)，f()，f(3)的大小順序是()Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()

13、Df(3)f()f(2)7、如果奇函數(shù)f(x)在3,7上單調(diào)遞增且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間7，3上()A單調(diào)遞增且最小值為5B單調(diào)遞減且最小值為5C單調(diào)遞增且最大值為5D單調(diào)遞減且最大值為58、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的xR都有f(x2)f(x)，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)x2axb，則ab等于()A0 B1 C2 D29、已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x211、已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足在0，)上單調(diào)遞增，f(3)0，則關(guān)于x的不等式eq f(fx2fx2,x)0的解集為()A(5，2)(0，)B

14、(，5)(0,1)C(3,0)(3，)D(5,0)(1，)12、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)內(nèi)是增函數(shù)，f(2)0，則xf(x)0的解集為_(kāi)21、已知實(shí)數(shù)a，b滿足(a1)5(b3)52 020(1a)32 020(3b)3，則ab_22、函數(shù)f(x)在(，)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是_23、(2022福建質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱以下關(guān)于f(x)的結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；f(x)滿足f(x)f(4x)；其中正確的結(jié)論是_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))24、設(shè)f(x)是(，

15、)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x.(1)求f()；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積25、已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,0，x0，,x2mx，x0).(2)若f(xa) eq f(1,f（x）) ，則T2a(a0).(3)若f(xa) eq f(1,f（x）) ，則T2a(a0).三、函數(shù)周期性的應(yīng)用例1定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2，當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x，則f(1)f(2)f(3)f(2 023)等于()A336 B338C337 D339跟蹤練習(xí)(

16、2022重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f(x2)f(x2)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)x2，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(13,2)等于()Aeq f(9,4) Beq f(1,4) C.eq f(1,4) D.eq f(9,4)2、在R上函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且f(x) eq blc(avs4alco1(xa，1x0，,|2x|，0 x1，f(7)a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，3)B(3，)C(，1) D(1，)4、(2022宿州市模擬(一)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x)f(2x)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(

17、x)4x1，則在(1，3)上，f(x)1的解集是()A eq blc(rc(avs4alco1(1，f(3,2) B eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，f(5,2) C eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，3) D2，3)5、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，則f(2 025)()A3 B0 C1 D36、已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(2x)f(x)0，當(dāng)x2，0時(shí)，f(x)x22x，則當(dāng)x4，6時(shí)，yf(x)的最小值為()A8 B1 C0 D17、已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4，f(3

18、)2，則f(2 021)等于()A2 B0 C2 D48、已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)0，)則f(2 023)_.14、函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(2 021)f(2 022)_.15、已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0 x2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)16、已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x4)f(x)，若函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，f(6)0，則f(2 022)_17、已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x4)f(

19、x)，若函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，f(2)2，則f(2 026)_18、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2).若當(dāng)x3，0時(shí)，f(x)6x，則f(919)_19、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式第三部分 函數(shù)的對(duì)稱性一、函數(shù)對(duì)稱性常用結(jié)論(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(2)f(ax)f(bx)f(x)的圖象關(guān)于直線xeq f(ab,2)對(duì)稱f(ax)f(bx)

20、f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)，0)對(duì)稱f(2ax)f(x)2bf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱二、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用例已知函數(shù)yf(x)2為奇函數(shù)，g(x)eq f(2x1,x)，且f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)，則y1y2y6_.跟蹤練習(xí)1、(2022山東師大附中第二次月考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，當(dāng)x0，3時(shí)，f(x)x23x，則以下關(guān)于f(x)的結(jié)論錯(cuò)誤的是()A周期為6 B圖象關(guān)于 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0) 對(duì)稱Cf(2 021)2 D圖象關(guān)于x eq f(3,2) 對(duì)稱2、已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4，f(3)2，則f(2 021)等于()A2 B0 C2 D43、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的xR都有f(x2)f(x)，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)x2axb，則ab等于()A0 B1 C2 D24、(多選)(2022湖北新高考9N聯(lián)盟模擬)已知f(x)為R上的偶函數(shù)，且f(x2)是奇函數(shù)，則()Af(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱Bf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱Cf(x)的周期為4Df(x)的周期為85、(2022承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定