第章差分方程精選課件

1、什么是時(shí)間序列？時(shí)間序列的研究?jī)?nèi)容和方法模型？時(shí)間序列分析的應(yīng)用？序 言什么是時(shí)間序列？序 言第 1 章 差分方程1.1 時(shí)間序列模型一般原理：時(shí)間序列通?？梢苑纸鉃橼厔?shì)性、季節(jié)性、循環(huán)或周期性、和無(wú)規(guī)律性這四項(xiàng)。前三項(xiàng)具有可預(yù)測(cè)性，第四項(xiàng)對(duì)前三項(xiàng)有干擾性。如果其干擾或波動(dòng)大小可以被估計(jì)，那么，時(shí)間序列的預(yù)測(cè)是可以進(jìn)行的。 例（圖1.1）：50個(gè)時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)的分解和預(yù)測(cè)（選自Walter Enders的書(shū)“Applied Econometric Time Series”）第 1 章 差分方程1.1 時(shí)間序列模型（選自Walte第章差分方程精選課件該例子的數(shù)學(xué)模型：趨勢(shì)項(xiàng)方程周期性方程無(wú)規(guī)律

2、性方程其中，Tt 為 t 期的趨勢(shì)性成分； St 為 t 期的周期性成分； It 為 t 期的無(wú)規(guī)律性成分； et 為 t 期的純隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。 t 期總的時(shí)間序列：該例子的數(shù)學(xué)模型：趨勢(shì)項(xiàng)方程周期性方程無(wú)規(guī)律性方程其中，Tt差分方程所謂差分方程，是將變量表示為該變量滯后值、時(shí)間和其它變量的函數(shù)，它可以表示為按照這個(gè)定義，前面例子的三個(gè)成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的這個(gè)定義依賴(lài)于兩條：1、差分的定義或含義；2、方程的定義及含義。這兩條將在1.2節(jié)的I和II中解釋。三個(gè)差分方程或時(shí)間序列的例子差分方程所謂差分方程，是將變量表示為該變量滯后值、時(shí)間和其它隨機(jī)游走（或游動(dòng)）或例：股價(jià)模型。

3、 yt 為股價(jià)，et +1的期望值為0。 即在知道第 t 期股價(jià) yt 情況下，第 t +1期股價(jià) yt+1 的期望值就等于yt ，即更廣泛的隨機(jī)差分方程這表示市場(chǎng)的變化是均衡的。隨機(jī)游走（或游動(dòng)）或例：股價(jià)模型。 yt 為股價(jià)，et +1結(jié)構(gòu)方程和誘導(dǎo)方程將差分方程拆分成獨(dú)立的單方程模型是很有用的。例：隨機(jī)形式的薩繆爾森（1939）經(jīng)典模型：其中，yt , ct和 it分別表示 t 期的實(shí)際GDP, 消費(fèi)和投資。 ect , eit 分別是消費(fèi)和投資的隨機(jī)干擾項(xiàng)，均值都為零。a, b 為待估參數(shù)。第三個(gè)方程表示加速原理，即在消費(fèi)增長(zhǎng)必定帶來(lái)新的投資支出前提下，投資支出等于消費(fèi)變動(dòng)的一定倍數(shù)。

4、這是一個(gè)結(jié)構(gòu)方程，因?yàn)樗砻髁藘蓚€(gè)當(dāng)期內(nèi)生變量it和ct之間滿(mǎn)足某個(gè)約束條件或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。（1.1）（1.2）（1.3）結(jié)構(gòu)方程和誘導(dǎo)方程將差分方程拆分成獨(dú)立的單方程模型是很有用的誘導(dǎo)方程是將當(dāng)期變量值表示成該變量滯后值、其它內(nèi)生變量的滯后值、外生變量的當(dāng)期值和過(guò)去值、以及擾動(dòng)項(xiàng)的函數(shù)。式（1.2）或消費(fèi)是一個(gè)誘導(dǎo)方程，但式（1.3）或投資還不是誘導(dǎo)方程。為了得到投資的誘導(dǎo)方程，將式（1.2）代入（1.3）得到誘導(dǎo)方程并不唯一。例如投資的誘導(dǎo)方程進(jìn)一步可以寫(xiě)為將式（1.2）和（1.4）代入（1.1）得到GDP的誘導(dǎo)方程（1.4）（1.5）誘導(dǎo)方程是將當(dāng)期變量值表示成該變量滯后值、其它內(nèi)生變量的滯

5、后誤差糾正：遠(yuǎn)期和即期價(jià)格在即期市場(chǎng)可以買(mǎi)賣(mài)一定的商品和金融產(chǎn)品進(jìn)行即期交割，或在規(guī)定的未來(lái)某一日期完成交割。例：外匯（或期貨）設(shè)某外匯的即期（或賣(mài)出）價(jià)格為 st 美元，未來(lái)一期的遠(yuǎn)期交割（或買(mǎi)入）價(jià)格為 ft 美元。假設(shè)一投機(jī)者以每單位 ft 美元的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)該遠(yuǎn)期外匯，即在 t 期，該投機(jī)者獲得外匯，并按每單位 ft 美元進(jìn)行支付。于是，每交易單位在t+1期的盈利（或虧損）為 st+1ft 。無(wú)偏遠(yuǎn)期利率假設(shè)認(rèn)為投機(jī)行為的期望收益為零，即成立當(dāng)該假設(shè)不成立，即 st+1與 ft 不一致時(shí)，后期就會(huì)進(jìn)行某種調(diào)整以恢復(fù)均衡?？紤]調(diào)整過(guò)程的誤差糾正模型：誤差糾正：遠(yuǎn)期和即期價(jià)格在即期市場(chǎng)可以買(mǎi)賣(mài)

6、一定的商品和金融產(chǎn)即變量在任何一期的變動(dòng)都和變量前一期值與長(zhǎng)期均衡的離差有關(guān)。當(dāng)即期匯率st+1與遠(yuǎn)期匯率ft相等時(shí)， 則即期匯率和遠(yuǎn)期匯率就傾向于保持不變。當(dāng)即期匯率st+1大于遠(yuǎn)期匯率ft時(shí)， 則即期匯率將會(huì)下降，遠(yuǎn)期匯率將會(huì)上升；當(dāng)即期匯率st+1小于遠(yuǎn)期匯率ft時(shí)， 則遠(yuǎn)期匯率將會(huì)下降，即期匯率將會(huì)上升。即變量在任何一期的變動(dòng)都和變量前一期值與長(zhǎng)期均衡的離差有關(guān)。1.2 差分方程及解法差分的定義函數(shù) y = f (t)在變量 t 的特定值 t* 處變化 h時(shí)的一階差分定義為將單位標(biāo)準(zhǔn)化，以 h代表時(shí)期 t 處的一個(gè)單位變化，即h=1，并考慮自變量均勻分布的序列。不失一般性，去掉 t*

7、上的星號(hào)，則得到一階差分同樣，可從一階差分的變化中得到二階差分1.2 差分方程及解法差分的定義函數(shù) y = f (t)在類(lèi)似地，可以定義 n 階差分 。記號(hào)：為了方便，通常將整個(gè)序列 表示成 。類(lèi)似地，可以定義 n 階差分 。記號(hào)：差分方程的形式 考慮 n 階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程，其一般形式可以表示為其中，xt 項(xiàng)稱(chēng)為推動(dòng)過(guò)程，其形式非常廣泛，可以是時(shí)間、其它變量的當(dāng)期值或滯后值，和（或）隨機(jī)干擾項(xiàng)的任一函數(shù)。 的一個(gè)重要特例是其中，bt 為常數(shù)（某些可取零），序列 et 不是 yt 的函數(shù)。于是，可以認(rèn)為 只不過(guò)是一個(gè)未取定外生變量的序列。（1.10）差分方程的形式 考慮 n 階常系數(shù)線(xiàn)性差分

8、方程式（1.10）可以寫(xiě)為差分算子形式（）。由（1.10）得令 ，則得到自回歸方程令 ，則得到隨機(jī)游走模型令 ，則得到（1.11）式（1.11）與通過(guò)給定導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的形式有類(lèi)似之處。式（1.10）可以寫(xiě)為差分算子形式（）。由（1.10）得令進(jìn)一步，式（1.11）又可以寫(xiě)成易知，式（1.10）可以寫(xiě)成關(guān)于的一個(gè)方程，其中 項(xiàng)的系數(shù)都為1。因此，差分方程是時(shí)間序列的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和表示，是研究時(shí)間序列的一個(gè)重要方法。進(jìn)一步，式（1.11）又可以寫(xiě)成的一個(gè)方程，其中 差分方程的解差分方程的解是將未知項(xiàng) yt 表示為序列 中的元素和t （也可以和序列 的一些給定值，即初始條件）的一個(gè)已知函數(shù)，使得代入

9、到差分方程之中，滿(mǎn)足方程式。例1： 或 易知， 是該差分方程的解。這里，c為任意常數(shù)。因此，其解有很多或不唯一。例2：考慮無(wú)規(guī)律性方程 的解。則可以驗(yàn)證，該一階差分方程的解為這個(gè)解實(shí)際上可以從誘導(dǎo)方程的迭代推導(dǎo)出來(lái)（略）。注意誘導(dǎo)方程和解的區(qū)別。差分方程的解差分方程的解是將未知項(xiàng) yt 表示為序列 1.3 差分方程及解法通過(guò)對(duì)y的誘導(dǎo)方程進(jìn)行迭代，有可能得到整個(gè)y序列的解。初始條件已知的迭代考慮初始條件 y0已知的一階差分方程a. 向前迭代（1.17）1.3 差分方程及解法通過(guò)對(duì)y的誘導(dǎo)方程進(jìn)行迭代，有可能得（1.18）（1.18）b. 向后迭代也得到與式（1.18）相同的結(jié)果。b. 向后迭代

10、也得到與式（1.18）相同的結(jié)果。初始條件未知的迭代初始條件 y0未知時(shí)，式（1.18）也未知，即不是一階差分方程（1.17）的解。對(duì)式（1.18）繼續(xù)向后迭代，得到（1.20）初始條件未知的迭代初始條件 y0未知時(shí)，式（1.18）也未知若 ，則當(dāng) 時(shí)，得到一階差分方程（1.17）的一個(gè)解（1.21）而且，容易驗(yàn)證，對(duì)于任意常數(shù) A，（1.22）也是一階差分方程（1.17）的解。 注：解（1.21）或（1.22）的收斂性意味著序列et的過(guò)去 值對(duì)yt的當(dāng)期值的影響越來(lái)越小。若 ，則當(dāng) 非收斂序列（或收斂性）當(dāng) ，式（1.20）收斂到解（1.21）。當(dāng) ，式（1.20）不收斂或發(fā)散，但只要給出初

11、始條件 y0，則可使用解（1.18）。當(dāng) ，一階差分方程（1.17）可寫(xiě)為使用迭代法，可得到當(dāng)初始條件 y0 給定時(shí)，（1.26）是（1.17*）的一個(gè)解。若沒(méi)有初始條件，式（1.26）可能是不收斂或發(fā)散的， 又未知，因此不是一個(gè)解。（1.17*）（1.26）非收斂序列（或收斂性）當(dāng) ，式（1.2收斂性圖示右圖為一個(gè)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的解（1.18）的表現(xiàn)性質(zhì)。其中，細(xì)線(xiàn)為解的序列，實(shí)線(xiàn)為解的確定性部分的序列。收斂性圖示右圖為一個(gè)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的解（1.18）的表現(xiàn)性質(zhì)1.4 備選解法對(duì)于一般的差分方程（1.10）齊次方程差分方程（1.10）中常數(shù)項(xiàng)a0和推動(dòng)過(guò)程項(xiàng)xt都不出現(xiàn)時(shí)，就得到了齊次（差

12、分）方程齊次方程（1.30）解的一個(gè)性質(zhì)是：若 為（1.30）的解，則對(duì)于任意常數(shù) A， 也是（1.30）的解。當(dāng)階數(shù)n較高時(shí)，迭代法就顯得非常復(fù)雜和困難，此時(shí)可使用其它的備選解法。（1.10）（1.30）1.4 備選解法對(duì)于一般的差分方程（1.10）齊次方程差分一階差分方程的備選解法考慮一般的一階差分方程則得到一階齊次方程（1.27）顯然，恒零序列 是齊次方程（1.27）的一個(gè)解。另外，當(dāng)初始條件 y0已知且非零時(shí)， 也是它的一個(gè)解。兩者都包含在（1.27）的齊次通解之中， A為任意常數(shù)（此時(shí)，上式右端y0可以省略）。（1.10*）若 為（1.10*）的一個(gè)特解，則（1.10*）的通解為參數(shù)

13、 A對(duì)應(yīng)于非零的初始條件y0，即 。一階差分方程的備選解法考慮一般的一階差分方程則得到一階齊次方一般差分方程的解法對(duì)于一般差分方程（1.10），其求解方法通常為第1步：建立齊次方程（1.30），求出它的n個(gè)齊次解第2步：求出（1.10）的一個(gè)特解 ；第3步：通解為所有齊次解的線(xiàn)性組合與特解之和，即第4步：將初始條件代入通解中，確定線(xiàn)性組合的系數(shù)。一般差分方程的解法對(duì)于一般差分方程（1.10），其求解方法通1.6 解齊次差分方程解一階齊次差分方程在第4節(jié)“備選解法”里已經(jīng)介紹了一階齊次差分方程解的形式為（1.27）其中，A為任意常數(shù)。一般的 n 階（線(xiàn)性）差分方程為（1.10）1.6 解齊次差分

14、方程解一階齊次差分方程在第4節(jié)“備選解法解二階齊次差分方程考慮一般的二階齊次方程a 待定，A為任意常數(shù)。把它代入到（1.45），得到（1.45）的解。猜想其齊次解也如一階一樣有相同的形式消去 A和 a t-2之后，得到關(guān)于 a 的一元二次方程（1.46）(1.47)又稱(chēng)它為特征方程，其解稱(chēng)為特征根。解二階齊次差分方程考慮一般的二階齊次方程a 待定，A為任意常運(yùn)用一元二次的求根公式，得個(gè)兩個(gè)特征根為(1.48)其中，為判別式。于是，都是（1.45）的解，其中A1和 A2為任意常數(shù)，且它們之和也是（1.45）的解，即為二階差分方程的齊次解。但是，解的性質(zhì)則取決于這兩個(gè)特征根 a1, a2和判別式

15、d。(1.48*)運(yùn)用一元二次的求根公式，得個(gè)兩個(gè)特征根為(1.48)其中，為情形1：判別式此時(shí)，a1和a2為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)特征根。當(dāng)a1或a2的絕對(duì)值大于1時(shí)，則二階差分方程的齊次解(1.48*) 就趨于發(fā)散。例1：則齊次解為其解的軌跡如右圖所示，隨著時(shí)間t增大，它趨于零。情形1：判別式此時(shí)，a1和a2為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)特征根。當(dāng)a1則齊次解為其解的軌跡如右圖所示，隨著時(shí)間t增大，它發(fā)散。例2：則齊次解為其解的軌跡如右圖所示，隨著時(shí)間t增大，它發(fā)散。例2情形2：判別式此時(shí)，a1和a2為兩個(gè)重根，即其中，A1和A2為任意常數(shù)。顯然，當(dāng) |a1|2時(shí)，解就發(fā)散；當(dāng) |a1| 2時(shí)，解就收斂。除了

16、是一個(gè)解之外，可以驗(yàn)證 是另一個(gè)解。于是，得到了齊次解情形2：判別式此時(shí)，a1和a2為兩個(gè)重根，即其中，A1和A2第章差分方程精選課件情形3：判別式此時(shí) ，a1和a2為兩個(gè)共軛的虛數(shù)特征根，即這里， 。則注意齊次解的表達(dá)式為(1.48*)令 ，選擇 ，使得滿(mǎn)足由de Moivre定理知因 是實(shí)數(shù)， 是復(fù)數(shù)，所以 必為復(fù)數(shù)，假設(shè)情形3：判別式此時(shí) 第章差分方程精選課件其中， 均為任意實(shí)數(shù)。于是，可以計(jì)算出從齊次解的表達(dá)式(1.48*) ，可得由于 是任意常數(shù)，所以可以將齊次解寫(xiě)成其中， 均為任意實(shí)數(shù)。（1.49）三角函數(shù)表達(dá)式說(shuō)明了齊次解（1.49）在時(shí)間路徑上像波浪一樣，其波動(dòng)頻率取決于 的大

17、小。 而解的穩(wěn)定性則由 的值是否小于 1 或 是否大于 1 所決定。其中， 均為任意實(shí)數(shù)。從齊次解的表達(dá)式(1例：其判別式所以，其齊次解為其中， 均為任意實(shí)數(shù)。于是，對(duì)于二階差分方程 可得齊次解（1.49）當(dāng) ，即 ，則波動(dòng)的增幅不變；當(dāng) ，即 ，則波動(dòng)呈遞減趨勢(shì)；當(dāng) ，即 ，則波動(dòng)呈發(fā)散趨勢(shì)；由于 ，所以例：其判別式所以，其齊次解為其中， 均為任取的齊次解的齊次解隨著 的值增大，波動(dòng)的頻率加快。取的齊次解的齊次解隨著 的值增大，波動(dòng)的頻率加快。穩(wěn)定性條件及其圖示情形2的穩(wěn)定性條件為弧線(xiàn) AOB，即情形1的穩(wěn)定性條件在AOB的上面，即它等價(jià)于且情形3的穩(wěn)定性條件在AOB的下面，即 ，且，且即

18、等號(hào)成立等價(jià)于1是一個(gè)特征根或常數(shù)解 的情形。穩(wěn)定性條件及其圖示情形2的穩(wěn)定性條件為弧線(xiàn) AOB，即情形1高階方程假設(shè)每一個(gè)齊次解具有形式 ，其中A為任意常數(shù)。代入（1.55），得到（1.56）考慮 n 階齊次方程（1.55）兩邊除以 ，得到特征方程（1.57） n 階多項(xiàng)式有n個(gè)根，記這n個(gè)特征根分別為 。 可以為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)根則成對(duì)出現(xiàn)，相互共軛。穩(wěn)定性條件要求除了為1的單特征根（對(duì)應(yīng)常數(shù)解），其它特征根的絕對(duì)值都小于1或在單位園之內(nèi)；否則解將發(fā)散。高階方程假設(shè)每一個(gè)齊次解具有形式 所有特征根都是相異實(shí)根，此時(shí)，解的表達(dá)式為其中， 為任意常數(shù)。給定n個(gè)初始條件，則可以確定它們的具體取值

19、。（1.57*）齊次解的表達(dá)式所有特征根都是實(shí)根，但有 個(gè)重根。不妨設(shè)其中， 為任意常數(shù)。特別地， 或 。假設(shè)互不相同的特征根有s個(gè)，則齊次方程的通解就等于這 s 個(gè)不同特征根所產(chǎn)生的解之和，其中含有n個(gè)參數(shù)。給定n個(gè)初始條件，就可以確定這 n個(gè)參數(shù)的具體取值。于是，這m個(gè)重根所產(chǎn)生的解可以寫(xiě)為所有特征根都是相異實(shí)根，此時(shí)，解的表達(dá)式為其中， 一些特征根為復(fù)根，此時(shí)它們共軛出現(xiàn)，記一對(duì)共軛根為其中， 為任意常數(shù)。轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)，則可以寫(xiě)成于是，齊次差分方程的通解就等于所有不同實(shí)或復(fù)特征根所產(chǎn)生的解之和；其中含有n個(gè)參數(shù)。給定n個(gè)初始條件，就可以確定這 n個(gè)參數(shù)的具體取值。，則由這對(duì)共軛根所產(chǎn)生的

20、解為其中， 為任意常數(shù)。一些特征根為復(fù)根，此時(shí)它們共軛出現(xiàn)，記一對(duì)共軛根為其中， 所有特征根都位于單位圓內(nèi)的必要條件為穩(wěn)定性判別條件所有特征根都位于單位圓內(nèi)的充分條件為若 ，則至少有一個(gè)特征根等于1。包含一個(gè)或多個(gè)等于1的特征根序列稱(chēng)為單位根序列。此時(shí)，n 階差分方程（1.10）的解可能發(fā)散或不穩(wěn)定。對(duì)于三階方程，穩(wěn)定性條件可以寫(xiě)為后兩個(gè)式子中的任何一個(gè)可由其它四個(gè)式子導(dǎo)出。由特征方程，可得所有特征根都位于單位圓內(nèi)的必要條件為穩(wěn)定性判別條件所有特征根1.7* 求確定性過(guò)程的特解情形1： xt = 0此時(shí)，差分方程的形式為令解的形式為常數(shù)，即（1.58）代入到（1.58）之中，得到尋找特解需要技

21、巧，跟推動(dòng)過(guò)程xt的具體形式有關(guān)。本節(jié)介紹推動(dòng)過(guò)程xt為確定性項(xiàng)的求特解方法。所以（1.59）只要，則得到（1.58）一個(gè)特解1.7* 求確定性過(guò)程的特解情形1： xt = 0此時(shí)，差如果，則yt是一個(gè)單位根序列，其齊次解已包含常數(shù)解，此時(shí)，除非a0= 0；否則常數(shù)解就無(wú)效，而應(yīng)該考慮線(xiàn)性特解 ，于是，線(xiàn)性解將出現(xiàn)在單位根過(guò)程中。把 代入到（1.58）之中，得到注意到，所以若，則繼續(xù)嘗試使用作為解。對(duì)于n階方程，這些解中總會(huì)有一個(gè)會(huì)是特解。如果，則yt是一個(gè)單位根序列，其齊次解已包含常數(shù)解，此時(shí)情形2：此時(shí)，差分方程的形式為考慮一階方程（1.58*）令解的形式為其中，（1. 60）把上式代入（

22、1.60），得為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為情形2：此時(shí)，差分方程的形式為考慮一階方程（1.58*）令解如果 當(dāng)，嘗試使用為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為則可以運(yùn)用情形1中的技巧。把它代入（1.60），得作為解。當(dāng)，該特解將收斂于 。如果 當(dāng)，嘗試使用為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為則可以 當(dāng)，嘗試使用為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為把它代入（1.60），得作為解。 當(dāng)，嘗試使用為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為把它代入（ 當(dāng)式（1.60）化為為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為把它代入（1.60），得此時(shí) 。 對(duì)于高階方程，同樣可以使用這類(lèi)方法。 此時(shí)(a1=1)，高階方

23、程就等價(jià)于推動(dòng)過(guò)程 xt=0，常數(shù)項(xiàng)為 a0+b，其求解即化為情形1。則嘗試使用 當(dāng)式（1.60）化為為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，取因此，特解就為把情形3：此時(shí)，差分方程的形式為其特解形式一般為（1. 62）把它解的形式 代入上式，得到其中， 為待定常數(shù)?？紤] d =1 時(shí)的二階方程為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，可解得（1. 62*）情形3：此時(shí)，差分方程的形式為其特解形式一般為（1. 62）代入式（1.62*)，得到為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，可解得若，則令解的形式為即代入式（1.62*)，得到為使得兩邊對(duì)應(yīng)相等，可解得若，則令1.8* 求隨機(jī)性過(guò)程的待定系數(shù)法簡(jiǎn)單情形 I：考慮只帶一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)的一階差分方程（1.64

24、）這一節(jié)介紹推動(dòng)過(guò)程為隨機(jī)性項(xiàng)的求特解的待定系數(shù)法。因這種待定系數(shù)法可能無(wú)解，所以稱(chēng)它為挑戰(zhàn)解。令挑戰(zhàn)解為其中，（1.17）將式（1.64）代入到式（1.17），得到1.8* 求隨機(jī)性過(guò)程的待定系數(shù)法簡(jiǎn)單情形 I：考慮只帶一合并同類(lèi)項(xiàng)，得到（1.65）式（1.65）對(duì) t 的所有值和序列 的所有可能值都成立。因此，必須滿(mǎn)足求解過(guò)程可以分為獨(dú)立的兩組來(lái)求解，即后兩個(gè)方程可以解出b0和b1，余下前面的方程組可以解出a0, a1, a2, ，即合并同類(lèi)項(xiàng)，得到（1.65）式（1.65）對(duì) t 的所有值和由前面的方程組可解得第二組方程的求解可分兩種情況。當(dāng)|a1|1時(shí)，此時(shí)特解為這個(gè)結(jié)果與用迭代法求得

25、的式（1.21）的結(jié)果完全相同。由前面的方程組可解得第二組方程的求解可分兩種情況。當(dāng)|a1此時(shí)特解為這個(gè)解的形式是不規(guī)則的，即求和有可能發(fā)散。施加初始條件則得到解因齊次解為 ，所以，當(dāng)|a1|1時(shí)，就得到通解給定一個(gè)初始條件，就可以確定常數(shù)A的值。這個(gè)結(jié)果與用迭代法求得的式（1.26）的結(jié)果完全相同。此時(shí)特解為這個(gè)解的形式是不規(guī)則的，即求和有可能發(fā)散。施加初簡(jiǎn)單情形 II：考慮帶二個(gè)隨機(jī)項(xiàng)的一階差分方程令挑戰(zhàn)解仍為（1.67）代入到式（1.67），得到因此（1.64）簡(jiǎn)單情形 II：考慮帶二個(gè)隨機(jī)項(xiàng)的一階差分方程令挑戰(zhàn)解仍為（另外，比較常數(shù)項(xiàng)和截距項(xiàng)的系數(shù)，可得其求解仍要可分兩種情況：，此時(shí)當(dāng)

26、|a1|1時(shí)，特解為加上齊次解之后可得通解（略）。此時(shí)特解為這個(gè)解的形式是不規(guī)則的，即求和有可能發(fā)散。施加初始條件（與前一節(jié)同理）后可得到另外，比較常數(shù)項(xiàng)和截距項(xiàng)的系數(shù)，可得其求解仍要可分兩種情況：高階方程考慮帶一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)的二階差分方程令挑戰(zhàn)解仍為（1.68）代入到式（1.68），得到對(duì)兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別施加相等，得到(B)高階方程考慮帶一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)的二階差分方程令挑戰(zhàn)解仍為（1.68當(dāng) 時(shí)，系數(shù) 的解滿(mǎn)足二階差分方程(C)(C*)滿(mǎn)足初始條件解得其中方程（C*）的收斂性條件與式（1.68）的齊次方程的收斂性條件完全相同，都取決于系數(shù)a1和a2。當(dāng) 時(shí)，系數(shù) 的解滿(mǎn)足二階差分再來(lái)考察式（B）中參數(shù)b0, b1, b2的求解，分兩種情況： ，則由式（B）可知又可以分為兩種情況：i) 。則解為 ，則式（B）等價(jià)于ii) a2 = -1, a1=2。則解為注1：由前面討論（或參見(jiàn)圖1.5）可知，收斂性條件為注2：挑戰(zhàn)解也是由確定性部分和隨機(jī)性部分所組成，它們實(shí)際上是獨(dú)立進(jìn)行的，可以分別來(lái)確定。再