2010+數(shù)學(xué)奧林匹克解答

1、5/52010中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克解答1、如圖，兩圓1,2 相交于,兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B的一條直線(xiàn)分別交圓1，2 于點(diǎn)，D，過(guò)點(diǎn)B的另一條直線(xiàn)分別交圓1， 2于點(diǎn)，F(xiàn)，直線(xiàn)CF分別交圓1,2 于點(diǎn)P，Q設(shè)M， 分別是弧PB,弧的中點(diǎn)。求證：若CD EF ,則C,F，N四點(diǎn)共圓(熊斌提供)證明連接AC，AD,AE，AF，DF則由ADB AF，CBF及題設(shè)C F知ADAF，所以D AFAC AE,故DAFD.從而ABC AFD ADAF即B是CB 的角平分線(xiàn)。連接,N ，由于是弧B的中點(diǎn)，所以CM是DCF的角平分線(xiàn)同樣FN是C的角平分線(xiàn),于是,M,三線(xiàn)共點(diǎn).設(shè)它們的交點(diǎn)為I 圓1和2 中，由圓冪定理得CIIM

2、 AIIB ,AIB NII ，所以NIF CIM 從而C,F,，N 四點(diǎn)共圓.2、設(shè)整數(shù)k，數(shù)列a滿(mǎn)足a 2 ，且對(duì)所有nk，有證明：數(shù)列nan中有無(wú)窮多項(xiàng)是素?cái)?shù)（朱華偉提供）證明:假設(shè)al l，lk.再設(shè)為l1的最小素因子3設(shè)復(fù)數(shù)a,b，c滿(mǎn)足:對(duì)任意模不超過(guò)1的復(fù)數(shù)z,都有最大值.（李偉固提供）解：令取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)，使得有 第二天。設(shè),n是給定的大于1的整數(shù),都是整數(shù).證明:存在整數(shù)集的一個(gè)子集T，其元素個(gè)數(shù)5我們對(duì)放置點(diǎn)A，A2,，An及點(diǎn)O處的卡片進(jìn)行操作(n3）.所謂一次操作是指（1)若某個(gè)點(diǎn)Ai處的卡片數(shù)目不少于，則可從中取出3張，在點(diǎn)i-1，i 及處各放一張（這里0 ，1 ；或者

3、（)若點(diǎn)處的卡片數(shù)目不少于n,則可從中取出張，在點(diǎn)1,2，”，n處各放一張證明:只要放置于這1個(gè)點(diǎn)處的卡片總數(shù)不少于n2 n1，則總能通過(guò)若干次操作,使每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)目均不小于n(瞿振華提供）證明：只需考慮卡片總數(shù)等于n2 n1的情況我們采取如下策略:如果有某個(gè)點(diǎn)Ai處的卡片數(shù)不少于3，則對(duì)點(diǎn)i處的卡片進(jìn)行操作（1）這樣的一次操作使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加1于是經(jīng)過(guò)有限次操作(1后將不能再進(jìn)行操作（1)這時(shí)每個(gè)點(diǎn)i 處的卡片數(shù)不超過(guò)2點(diǎn)O處的卡片數(shù)不少于n2 n1然后對(duì)點(diǎn)O處的卡片進(jìn)行n1次操作（2)這樣每個(gè)點(diǎn)A處的卡片數(shù)不少于n1下面我們?cè)诒３置總€(gè)點(diǎn)i 處的卡片數(shù)不少于n1的情況下使點(diǎn)O處的卡片

4、數(shù)增加至少n設(shè)想1,2,n 順次排列在以為圓心的圓周上連續(xù)相鄰的若干個(gè)點(diǎn)的集合G i ，i1,，l11inl稱(chēng)為一個(gè)團(tuán),這里若有下標(biāo)j n，則A Ajn一個(gè)團(tuán)稱(chēng)為好團(tuán)如果對(duì)中每點(diǎn)處的卡片都做一次操作(）后中每點(diǎn)處的卡片數(shù)仍然不少 于.設(shè)，a，,an 分別為點(diǎn)1，2，n 處的卡片數(shù)，i n， ,，n.好團(tuán)需滿(mǎn) 足如下的充要條件一個(gè)點(diǎn)的團(tuán) i是好團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)ai n4兩個(gè)點(diǎn)的團(tuán) i，i 是好團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)ai ,a1 n3;l個(gè)點(diǎn)的團(tuán)(l n1)G i，1， ,l1是好團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)ai ，ai13且an2jl2最后全部n個(gè)點(diǎn)的團(tuán)G ，2,是 好團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)ajn，1j n下面證明當(dāng)點(diǎn)O處的卡片數(shù)少于n1時(shí)，

5、或等價(jià)地,aaann1時(shí)，必存在好團(tuán)。假設(shè)不存在好團(tuán)，于是每個(gè)an，n,n，否則會(huì)有某個(gè)點(diǎn)i 處的卡片數(shù)in,Gi是一個(gè)好團(tuán).設(shè)1,a2,，n 中有x個(gè)n,y個(gè)n2,z個(gè)3.下面說(shuō)明一定有x z由于n22n (n)故1若z 1則有x1否則所有ai,iG 1,2，n是一個(gè)好團(tuán)若z2有3張卡片的個(gè)點(diǎn)將圓周分成 段圓弧由于不存在好團(tuán)，這z 個(gè)點(diǎn)沒(méi)有兩點(diǎn)相鄰,且每段圓弧上都存在一個(gè)點(diǎn)只有n1張卡片故xz.這樣點(diǎn)1，2，n 處的卡片總數(shù)為x（n) y(n） (n)（x yz)（n） n() n2 2n1。 矛盾這樣我們證明了當(dāng)點(diǎn)O處的卡片數(shù)少于1時(shí)點(diǎn)，,n 中總存在好團(tuán)于是每 次對(duì)一個(gè)好團(tuán)中的每個(gè)點(diǎn)做操作（1），直至點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于，而點(diǎn)1,2，,n處的卡片數(shù)也不少于n結(jié)論證畢6設(shè)為互不相同的正整數(shù)，滿(mǎn)足 對(duì)任何正整數(shù)n成立求證:存在正整數(shù)，使得i ki ，i ,(陳永高提供）證明：設(shè)r為任意正整數(shù)。由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，故存在素?cái)?shù)p,使得（1)由于為素?cái)?shù)及（)，故（p，1 2 a3） 1。又與p1互素，由中國(guó)剩余定理知存在正整數(shù)n，使 （2） (3)由（2),(3）及Fma小定理知 ()由題設(shè)，得下面先證一個(gè)引理