基于相似拋物線和插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定方法研究

1、基于相似拋物線和插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定方法研究我國水資源時空分布不均，與人口、生態(tài)、經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)布局不相匹配，隨著經(jīng)濟社會的高速發(fā)展，水資源供需矛盾日益突出，進入21世紀以來，各地建設大型調(diào)水工程的速度明顯加快。珠江三角洲水資源配置工程是國務院要求加快建設的全國172項節(jié)水供水重大水利工程之一，其首級取水泵站鯉魚洲泵站流量與揚程變化幅度極大，因此在設計中采用機組并聯(lián)加變頻調(diào)速的運行方式1。目前，我國已建的南水北調(diào)中線工程中的惠南莊泵站、牛欄江-滇池補水工程干河泵站、山西萬家寨引黃工程三級提水泵站、引漢濟渭工程黃金峽泵站以及正在建設的滇中引水工程石鼓水源泵站等，均存在水泵運行工況變化復雜的特點，因此泵

2、站采用了變速調(diào)節(jié)的運行方式2-6。大容量變頻調(diào)速技術的日益成熟，使得單機大功率且運行工況復雜的水泵變頻調(diào)速成為可能，這既方便了機組的啟停，又可使機組在各種復雜工況下高效運行。在泵站設計和水泵選型階段，主要關注水泵的最佳轉(zhuǎn)速7；而在泵站建成投入運行后，則要求水泵在滿足用戶需水量要求的情況下運行，此時所需流量已知，且進、出水池水位和管路阻力特性已經(jīng)確定，需要確定的是水泵的實際轉(zhuǎn)速。1 水泵最佳轉(zhuǎn)速的確定對于揚程較高的泵站，當進、出水池水位變幅較大（即揚程變化較大），且多年平均揚程與水泵的設計揚程相差較大時，或當用戶的需水量變化較大時，常常采用變速調(diào)節(jié)的方法，使得水泵以最高的效率運行。水泵在不同工況

3、下工作時，對應最高效率點的轉(zhuǎn)速稱為最佳轉(zhuǎn)速nopt。如圖1所示，過水泵額定轉(zhuǎn)速n0的流量-揚程（Q-H）曲線上對應最高效率工況點A0(QA0,HA0)作相似工況拋物線，該拋物線上的點所對應的轉(zhuǎn)速即為水泵的最佳轉(zhuǎn)速，相似工況拋物線方程如下式所示：H=HA0Q2A0Q2(1)式中：H為與流量相對應的揚程；HA0為最高效率工況點所對應的揚程；QA0為最高效率工況點所對應的流量；Q為流量。圖1最佳轉(zhuǎn)速確定Fig. 1Determination of the optimum speed根據(jù)進、出水池水位變幅得到裝置靜揚程Hst，然后作裝置需要揚程曲線，其與相似工況拋物線的交點為A1、A2等，交點所對應的

4、轉(zhuǎn)速即不同靜揚程下的最佳轉(zhuǎn)速，裝置需要揚程方程如下式所示：H=Hst+SQ2(2)式中：Hst為裝置靜揚程；S為管路系統(tǒng)阻力系數(shù)。聯(lián)立式（1）和（2）可得Q=QA0HstHA0SQ2A0(3)H=HA0HstHA0SQ2A0(4)將所得的Q和H值代入比例律公式即可用解析法求得水泵的最佳轉(zhuǎn)速：nopt=n0A0=n0HstHA0SQ2A0(5)式中：nopt為最佳轉(zhuǎn)速；n0為額定轉(zhuǎn)速。水泵最佳轉(zhuǎn)速的確定對泵站設計以及水泵選型具有一定的參考價值。而對于建成投入運行泵站，則需要根據(jù)用戶的需水量（即流量）來進行調(diào)速。本文提出了基于相似拋物線和變斜率線性插值的方法，對調(diào)速運行中的水泵進行轉(zhuǎn)速確定。當水泵

5、調(diào)速范圍不大時、水泵變速后揚程和效率不需要修正8，9，可根據(jù)比例律和相似拋物線借助計算機程序來求解水泵實際運行轉(zhuǎn)速（簡稱相似拋物線法）；當水泵調(diào)速范圍較大、水泵變速后用比例律公式換算產(chǎn)生的誤差較大時，揚程和效率均需要修正10，11，則借助計算機的插值程序來求解水泵轉(zhuǎn)速（簡稱插值法）比較合適。2 基于相似工況拋物線的水泵轉(zhuǎn)速確定當調(diào)速范圍較小時，可以認為變速前后水泵的效率不變，相似工況點的流量、揚程等參數(shù)滿足比例律且相似工況點位于同一條相似拋物線上。為了便于計算，往往需要根據(jù)水泵性能試驗實測的數(shù)據(jù)求出水泵擬合性能曲線的數(shù)學表達式12，13。2.1基本性能曲線的數(shù)學表達式水泵的基本性能曲線可用1組

6、n次多項式來表示，以Q-H性能曲線為例，對于水泵性能試驗實測的數(shù)據(jù)點(Qi,Hi)，1iN（N為工況點最大個數(shù)），可用下面的n次多項式進行擬合：H=f(Q)=a0+a1Q+a2Q2+anQn=k=0nakQk(6)式中：i為試驗實測工況點編號；Qi、Hi分別為第i個工況點水泵流量和揚程；ak（k=0,1,n）為多項式的系數(shù)。為了使擬合出的近似曲線盡可能地反映所給數(shù)據(jù)的變化趨勢，要求在所有數(shù)據(jù)點上的殘差|i|=|f(Qi)Hi|為較小值。為此可以令上述偏差的平方和i=1N(i)2=i=1Nf(Qi)Hi2為最小值。這種方法稱為最小二乘原則，利用這一原則確定擬合多項式f(x)的方法即為最小二乘法多

7、項式擬合。確定上述多項式的過程也就是確定f(Q)中的系數(shù)ak（k=0,1,n）的過程，根據(jù)最小二乘原則，偏差平方和應為系數(shù)ak的函數(shù)，即S(a0,a1,an)=i=1N(i)2=i=1Nf(Qi)Hi2(7)為了使上式取值最小，則其關于ak（k=0,1,n）的1階導數(shù)應為0，即Sa0=i=1N2f(Qi)Hi=0i=1Nf(Qi)=i=1NHiSa1=i=1N2Qif(Qi)Hi=0i=1NQif(Qi)=i=1NQiHiSak=i=1N2kQkif(Qi)Hi=0i=1NQkif(Qi)=i=1NQkiHiSan=i=1N2nQnif(Qi)Hi=0i=1NQnif(Qi)=i=1NQniH

8、i（8）將上面各等式寫成方程組的形式，則有i=1Nf(Qi)=i=1NHia0N+a1i=1NQi+a2i=1NQ2i+ani=1NQni=i=1NHii=1NQif(Qi)=i=1NQiHia0i=1NQi+a1i=1NQ2i+a2i=1NQ3i+ani=1NQn+1i=i=1NQiHii=1NQkif(Qi)=i=1NQkiHia0i=1NQki+a1i=1NQk+1i+a2i=1NQk+2i+ani=1NQn+ki=i=1NQkiHii=1NQnif(Qi)=i=1NQniHia0i=1NQni+a1i=1NQn+1i+a2i=1NQn+2i+ani=1NQ2ni=i=1NQniHi（9

9、）寫成矩陣形式，則有Ni=1NQii=1NQkii=1NQnii=1NQii=1NQ2ii=1NQk+1ii=1NQn+1ii=1NQkii=1NQk+1ii=1NQ2kii=1NQn+kii=1NQnii=1NQn+1ii=1NQn+kii=1NQ2nia0a1akan=i=1NHii=1NQiHii=1NQkiHii=1NQniHi(10)解此方程組，即可求得Q-H曲線數(shù)學表達式的系數(shù)ak(k=0,1,n)。為了提高計算速度和精度，還應考慮相關系數(shù)R和標準殘差s，其表達式分別為R=i=1N(QiQ)(HiH)i=1N(QiQ)2(HiH)2(11)s=1Ni=1Nk=0nakQkiHi2(

10、12)式中：Q=1Ni=1NQi，H=1Ni=1NHi。相關系數(shù)表示1組數(shù)據(jù)的離散程度，通過計算RR值，可確定擬合多項式的方次，以達到減少不必要的計算，提高計算速度的目的。RR值越小，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度越大。標準殘差ss表示曲線方程對各點擬合的程度，ss值越小，說明擬合程度越高。在實際計算過程中，為了防止運算溢出，QiQi常用QiQQi-Q代替，則擬合多項式為H=a0+a1(QQ)+a2(QQ)2+an(QQ)n=k=0nak(QQ)k(13)利用上述方法即可求出適當精度的Q-H、Q-P（軸功率）、Q-NPSH（空化余量）和Q-（水泵效率）曲線的數(shù)學表達式。2.2滿足需水量要求的水泵實際運

11、行轉(zhuǎn)速水泵的性能曲線與水泵的轉(zhuǎn)速有關。改變水泵的轉(zhuǎn)速，可使水泵的性能曲線發(fā)生改變，從而達到調(diào)節(jié)水泵工作點的目的。變速調(diào)節(jié)只改變了水泵的性能曲線，裝置需要揚程曲線并未改變，如圖2所示。圖中曲線0、1分別為水泵轉(zhuǎn)速為n0n0和n1n1時的QQ-HH曲線，方程Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2對應的曲線為裝置需要揚程（HrHr）曲線。由圖2可知，當水泵在轉(zhuǎn)速n0n0下運行時，其工作點為A0A0，對應的流量為QA0QA0；轉(zhuǎn)速減小為n1n1后，工作點變?yōu)锳1A1，流量、功率和效率也分別從原來的QA0QA0、PA0PA0和A0A0變?yōu)镼A1QA1、PA1PA1和A1A1。圖2變速調(diào)節(jié)Fig. 2S

12、peed regulation通常遇到的情況如圖3所示，已知水泵在額定轉(zhuǎn)速為n0n0的Q-H曲線和裝置需要揚程曲線Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2，此時水泵的工作點為A0(QA0,HA0)A0(QA0,HA0)，對應的流量為QA0QA0，但實際用戶所需流量為QA1QA1，由進、出水池水位和管路阻力特性計算出需要揚程為HA1HA1，對應的水泵工作點A1(QA1,HA1)A1(QA1,HA1)不在轉(zhuǎn)速為n0n0時的Q-H曲線上。為了使水泵能在新的工作點A1A1工作，需要求出轉(zhuǎn)速n1n1。圖3變速調(diào)節(jié)的轉(zhuǎn)速確定Fig. 3Speed determination of variable spe

13、ed regulation假定變速后的轉(zhuǎn)速n1n1和水泵額定轉(zhuǎn)速n0n0相差不大，變速前后各效率可以認為是相等的，由比例律可知，水泵的流量、揚程與轉(zhuǎn)速的關系為QA2QA1=n0n1(14)HA2HA1=n20n21(15)只有相似工況拋物線上的工況點才能應用比例律來進行性能的換算，為此，將所需流量QA1QA1值與揚程HA1HA1值代入相似工況拋物線方程H=KQ2=Q2HA1/Q2A1H=KQ2=Q2HA1/QA12，求出K=HA1/Q2A1K=HA1/QA12的值，相似工況拋物線通過點A1A1并與原有的QQ-HH曲線相交于A2A2點，由此求出A2A2點的坐標（QA2QA2，HA2HA2），如圖

14、3所示，用下式可求出n1n1：n1=n0QA1QA2(16)由以上可得，采用相似拋物線法數(shù)值求解所需流量QA1QA1所對應水泵轉(zhuǎn)速n1n1的計算步驟如下：1）將用戶實際需流量QA1QA1代入裝置需要揚程方程Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2，計算得到變速后工作點A1A1的揚程HA1HA1。2）計算過點A1A1的相似工況拋物線的KK值，K=HA1/Q2A1K=HA1/QA12。3）聯(lián)立求解相似工況拋物線方程和水泵在轉(zhuǎn)速為n0n0時的QQ-HH曲線方程，如下式所示：H=KQ2H=a0+a1(QQ)+a2(QQ)2+an(QQ)n(17)求解得到的交點坐標（QA2QA2，HA2HA2）即為工況

15、點A2A2的流量QA2QA2和揚程HA2HA2。4）采用比例律公式，計算水泵對應于工況點A1A1時的轉(zhuǎn)速n1n1：n1=n0QA1QA2或n1=n0HA1HA2(18)3 基于插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定當水泵調(diào)速范圍較大時，變速前后水泵的流動效率不相等，雖然相似工況點的流量、揚程等參數(shù)仍滿足相似律，相似工況點仍位于同一條相似曲線上，但該曲線不再為拋物線，無法如前所述推導出相似拋物線方程，基于相似工況拋物線的方法無法實現(xiàn)對水泵轉(zhuǎn)速的確定，針對這種情況，提出了插值法。3.1變速通用性能曲線基本性能曲線反映了水泵在額定轉(zhuǎn)速下的性能。然而，在實際運行中常常采用改變轉(zhuǎn)速的方法來適應工況變化對水泵性能的要求。為

16、此，需要知道水泵在各種不同轉(zhuǎn)速時的性能。同一直角坐標中繪制的一臺水泵在不同轉(zhuǎn)速時的一簇性能曲線稱為變速通用性能曲線。通過對水泵的性能試驗，可以得到某一轉(zhuǎn)速下水泵的基本性能曲線，如果在試驗中改變水泵轉(zhuǎn)速并重復試驗，可以得到不同轉(zhuǎn)速下水泵相應的基本性能曲線。但該曲線使用不方便，且轉(zhuǎn)速變化檔次越多，線條越密集。為便于使用，通常將性能曲線變換為僅在圖中反映不同轉(zhuǎn)速下的QQ-HH曲線，且用等效率線代替不同轉(zhuǎn)速時的效率曲線，如圖4所示。圖4不同轉(zhuǎn)速下的通用性能曲線Fig. 4General performance curves at different rotating speeds水泵在不同轉(zhuǎn)速下的基本

17、性能曲線還可以通過理論公式換算得到。按照葉片泵的相似理論，同一臺水泵的轉(zhuǎn)速變化時，其變化前后的性能是相似的。因此，可以利用相似律換算變速后的性能，即可根據(jù)已知轉(zhuǎn)速的性能曲線換算出另一轉(zhuǎn)速的性能曲線。但相似律只適用于2個相似的工況，即只有同一條相似工況曲線上的點才能應用相似律公式進行相似性能換算。水泵變轉(zhuǎn)速下的流量、揚程和流動效率按下式換算：Q0Q1=n0n1q0q1H0H1=n20n21h0h11h1h0=(n0n1)(19)式中：qq、hh分別為容積效率、水力效率；下標0代表額定轉(zhuǎn)速n0n0下的相應參數(shù)；下標1代表其他任意轉(zhuǎn)速n1n1下的相應參數(shù)；由試驗確定，不同的文獻所給出的值有所不同，=

18、0.160.514-19，本文按IEC 60193的規(guī)定取=0.169；一般認為，水泵改變轉(zhuǎn)速時其機械效率mm和容積效率qq不變9，即有q0=q1q0=q1。可以看出，通過實測得到的不同轉(zhuǎn)速下通用性能曲線來發(fā)現(xiàn)不同轉(zhuǎn)速下相似工況點之間的關系是困難的，并且即便使用相似換算，但變速前后效率不相等時，無法如前所述導出相似工況拋物線方程進而求出水泵變速運行時的轉(zhuǎn)速，此時，采用插值法確定水泵變速調(diào)節(jié)運行時的轉(zhuǎn)速更為合適。3.2插值法確定水泵變速調(diào)節(jié)運行時的轉(zhuǎn)速泵站建成投入運行后，水泵機組一般按用戶需水量要求來運行。假定根據(jù)用戶需要的流量確定水泵流量為QAQA，由于水泵的工作點須落在裝置需要揚程曲線上，根

19、據(jù)裝置需要揚程方程確定水泵揚程為HAHA。如圖5所示，裝置需要揚程HrHr可表示為Hr=ZdZs+pdpsg+2d2s2g+hs+hd(20)Hst=Htpdpsg(21)hw=hs+hd=SQ2(22)式中：Ht=ZdZsHt=Zd-Zs，為出水池與進水池的水位差，ZdZd為出水池的水位，ZsZs為進水池的水位；(pdps)/g(pd-ps)/g為出水池與進水池的水面壓頭差，pdpd為出水池的壓力，psps為進水池的壓力，為水的密度，gg為重力加速度；(2d2s)/2g(d2-s2)/2g為出水池與進水池的流速水頭差，一般可忽略，dd為出水池的流速，ss為進水池的流速；hshs為進水池的水力

20、損失；hdhd為出水池的水力損失；HstHst為裝置的凈揚程；hwhw為管路系統(tǒng)中的總水力損失，與阻力系數(shù)和管中流量之間的關系為hw=SQ2hw=SQ2。因此，裝置的需要揚程可寫為Hr=Hst+SQ2(23)由上式可得用戶需水量QAQA所對應的水泵揚程HAHA，則問題即為已知水泵流量QAQA和揚程HAHA，求水泵轉(zhuǎn)速nAnA。以某水泵為例說明插值法求水泵實際運行轉(zhuǎn)速的過程。假設已知的工況點為A(QA,HA)A(QA,HA)，如圖6所示，QAQA=10.0 m3/s，HAHA=12.3 m。圖5水泵裝置示意圖Fig. 5Schematic diagram of water pump device

21、圖6某水泵變速運行區(qū)域Fig. 6Variable speed operation zone of a water pump1）確定運行區(qū)域。假定水泵各不同轉(zhuǎn)速下的性能由試驗實測得到。插值區(qū)域的上邊界為水泵在最高轉(zhuǎn)速nmaxnmax下的QQ-HH曲線，下邊界為最低轉(zhuǎn)速nminnmin下的QQ-HH曲線，不同轉(zhuǎn)速下的性能曲線采用式（13）的擬合多項式來表達。插值區(qū)域的左邊界線采用過2點B1(x1,y1)B1(x1,y1)、B2(x2,y2)B2(x2,y2)的直線，B1B1位于下邊界曲線的左側(cè)，B2B2位于上邊界曲線的左側(cè)，B1B1和B2B2為等效率點或相似工況點（兩工況點對應的水泵效率較接近即

22、可，無需完全相等）。插值區(qū)域的右邊界線采用過2點B3(x3,y3)B3(x3,y3)、B4(x4,y4)B4(x4,y4)的直線，B3B3位于下邊界曲線的右側(cè)，B4B4位于上邊界曲線的右側(cè)，B3B3和B4B4為等效率點或相似工況點。如圖6所示。2）左、右邊界兩直線求交點。過2點B1(x1,y1)B1(x1,y1)、B2(x2,y2)B2(x2,y2)的直線方程為(yy1)(x2x1)=(y2y1)(xx1)(24)過2點B3(x3,y3)B3(x3,y3)、B4(x4,y4)B4(x4,y4)的直線方程為(yy3)(x4x3)=(y4y3)(xx3)(25)若兩直線不平行且交點設為B0(xx,

23、yy)B0(xx,yy)，則B0B0點的坐標值可計算為xx=(y4y3)(x2x1)x3(y2y1)(x4x3)x1(x4x3)(x2x1)(y3y1)(y4y3)(x2x1)(y2y1)(x4x3)yy=(x4x3)(y2y1)y3(x2x1)(y4y3)y1(y4y3)(y2y1)(x3x1)(x4x3)(y2y1)(x2x1)(y4y3)(26)3）求直線B0B0A與各不同轉(zhuǎn)速對應的QQ-HH曲線的交點。4）用插值法求解對應于流量QAQA時的轉(zhuǎn)速nAnA。由以上過程可以看出，當用戶需要的流量和揚程變化時，則水泵QAQA和HAHA也隨之變化。水泵運行工作點A(QA,HA)A(QA,HA)變化時，直線B0B0A的斜率會隨工作點的變化而變化，從而避免了直線B0B0A與QQ-HH曲線無交點，導致求解失敗的可能。3.3算例為了便于與相似拋物線法比較，假定在式（19）中=0=0，即變速后相似工況的各效率不變，用戶需要水泵在流量QAQA=10.0 m3/s和揚程HAHA=12.3 m下運行，水泵運行區(qū)域