初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽講座第18講-乘法公式

1、第十八講乘法公式乘法公式是在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，將多項(xiàng)式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，得出的既有特殊性、又有實(shí)用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：1熟悉每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式；2根據(jù)待求式的特點(diǎn)，模仿套用公式；3對(duì)公式中字母的全面理解，靈活運(yùn)用公式；4既能正用、又可逆用且能適當(dāng)變形或重新組合，綜合運(yùn)用公式例題【例1】（1）已知兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000，則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)可以.（江蘇省競(jìng)賽題）（2）已知（2000a）（1998一a）=1999，那么（2000a）

2、2+（1998a）2=.（重慶市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥（1）建立兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的方程組；（2）視（2000一a）（1998a）為整體，由平方和想到完全平方公式及其變形注：公式是怎樣得出來的?一種是由已知的公式，通過推導(dǎo)，得到一些新的公式；另一種是從大量的特殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來揭示一類數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律一公式從特殊到一般的過程是人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，而觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律最常用的方法乘法公式常用的變形有：（1）a2+b2二（a土b）22ab,ab二（a+b）2一（a2+b2）二（a2+b2）一（ab）222（2）（a+b）2+（a一b）2=2a2+2b2；（3）（a+b）2一（

3、a一b）2=4ab；（4）ab二（a+b）2一（a一b）2,a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+be+ac）4【例2】若x是不為0的有理數(shù)，已知M=（x2+2x+1）（x22x+1）,N=（x2+x+1）（x2x+1）,則M與N的大小是（）A.MNB.MvNC.M=ND.無法確定思路點(diǎn)撥運(yùn)用乘法公式，在化簡(jiǎn)M、N的基礎(chǔ)上，作差比較它們的大小.【例3】計(jì)算：（1）6（7十1）（72十1）（74十1）（78十1）+1；（天津市競(jìng)賽題）1.345X0.345X2.691.34521.345X0.3452.（江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥若按部就班計(jì)算，顯然較繁.能否用乘法公式，簡(jiǎn)化計(jì)算，關(guān)鍵是對(duì)待

4、求式恰當(dāng)變形，使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于（2），由于數(shù)字之間有聯(lián)系，可用字母表示數(shù)（稱為換元），將數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為式的計(jì)算，更能反映問題的本質(zhì)特征.5xy【例4】（1）已知x、y滿足X2十y2十=2x十y,求代數(shù)式的值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4x+y（2）整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+10,bo），丙商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為b,第二次提價(jià)的百分率為a,則哪個(gè)商場(chǎng)提價(jià)最多?說明理由.（河北省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)拔對(duì)于（1），（2）兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)等式或不等式，須運(yùn)用特殊方法與手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用,解題的關(guān)鍵是拆項(xiàng)與重組；對(duì)于（3）把三個(gè)商場(chǎng)經(jīng)兩次提價(jià)后的價(jià)格

5、用代數(shù)式表示，作差比較它們的大小.注：有些問題常常不能直接使用公式，而需要?jiǎng)?chuàng)造條件，使之符合乘法公式的特點(diǎn)，才能使用公式.常見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項(xiàng)、字母化等.完全平方公式逆用可得到兩個(gè)應(yīng)用廣泛的結(jié)論：（1）a2土lab+b2二（a土b）20；揭示式子的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)解題.（2）a2+b22ab應(yīng)用于代數(shù)式的最值問題代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：（1）由繁到簡(jiǎn)，從一邊推向另一邊；（2）相向而行，尋找代換的等量【例5】已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，又a為質(zhì)數(shù).證明：（1）b與c兩數(shù)必為一奇一偶;（2）2（a+b+l）是完全平方數(shù).思路點(diǎn)撥從a2+b2=c

6、2的變形入手；a2=c2-b2，運(yùn)用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明.學(xué)力訓(xùn)練觀察下列各式：（X1）（X+1）=X21;（X1）（X2+X+1）=X3一1;（x一1）（X3十X2+X+1）=X4一1.根據(jù)前面的規(guī)律可得（X1）（Xn+Xn-1+X+1）=.（武漢市中考題）已知a2+b2+4a一2b+5=0，貝y=.（杭州市中考題）a-b3計(jì)算：（1）1.23452+0.76552+2.469X0.7655：；（2）1949219502+19512一19522+-+19972一19982+19992=；199919982一丿199919972+199919992-2如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利

7、用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、b的恒等式.（大原市中考題）1如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、b的恒等式.（大原市中考題）1廠a4+a2+1已知a+=5，貝yaa2（荷澤市中考題）已知ab=3,b+c=5，則代數(shù)式acbc+a2ab的值為（）.A.一15B.一2C.一6D.6（揚(yáng)州市中考題）乘積（1丄）（1-）（11122322001B.-20007.19992）（1一20002）等于（力19992001C.D.-400040008.若x一y二2,x2+y2二4，則x2002+y2002的值是（）.A.4B.2002

8、2C.22002D.420029.若x213x+1=0，則x4+丄的個(gè)位數(shù)字是（）.x4（重慶市競(jìng)賽題）10.如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）.A.A.a2一b2二（a+b）（a一b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2（陜西省中考題）C.（a一b）2=a2一2ab+b2d.（a+2b）（a一b）=a2+ab一（陜西省中考題）11.(1)設(shè)x+2z=3z，判斷x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請(qǐng)說明理由.(2)已知x2一2x

9、=2，將下式先化簡(jiǎn)，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1).(上海市中考題)12.一個(gè)自然數(shù)減去45后是一個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)自然數(shù)加上44后仍是一個(gè)完全平方數(shù)，試求這個(gè)自然數(shù).13.觀察：1-2-3-4+1=52-3-4-5+1=112-4-5-6+1=192請(qǐng)寫出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；(黃岡市競(jìng)賽題)根據(jù)(1),計(jì)算2000X2001X2002X2003+1的結(jié)果(黃岡市競(jìng)賽題)14.你能很快算出19952嗎?為了解決這個(gè)問題，我們考察個(gè)位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析

10、n=1，n=2,n=3這些簡(jiǎn)單情形，從中探索其規(guī)律,并歸納猜想出結(jié)論.(1)通過計(jì)算，探索規(guī)律.152225可寫成100X1X(1+1)+25；252=625可寫成100X2X(2+1)+25；TOC o 1-5 h z352=1225可寫成100X3X(3+1)+25；452=2025可寫成100X4X(4+1)+25；752=5625可寫成；852=7225可寫成.從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2=.(3)根據(jù)上面的歸納猜想，請(qǐng)算出19952=.(福建省三明市中者題)已知x2+y2+z22x+4y6z+14=0，則x+y+z=.（天津市選拔賽試題）（1）若x+y=10，x3

11、+y3=100，則x2+y2=.（2）若a-b=3，則a3-b3-9ab=.1，2，3，98共98個(gè)自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個(gè)數(shù).（初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）.已知a-b=4，ab+c2+4=0，則a+b=（）.A.4B.0C.2D.一2.方程x2-y2=1991,共有（）組整數(shù)解.A.6B.7C.8D.9.已知a、b滿足等式x二a2+b2+20,y二4（2b-a），則x、y的大小關(guān)系是（）.A.xWyB.xyC.xy（大原市競(jìng)賽題）.已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，則多項(xiàng)式a2+b2+c2一abbc-ac的值為（）.A0B1C2D3（全國(guó)初中

12、數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2222.設(shè)a+b=l,a2+b2=2，求a7+b7的值.(西安市競(jìng)賽題)(河北省競(jìng)賽題)23.已知a滿足等式a2-a-1=0,求代數(shù)式a8+7a-(河北省競(jìng)賽題)(北京市競(jìng)賽題)24.若x+y=a+b，且x2+y2=a2+b2，求證：x1997+y1997=a1997+b(北京市競(jìng)賽題)25.有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)扇碎g均賽一場(chǎng))，用xl,y順次表示第一號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù);用x2,y2順次表示第二號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)；用x10、y10順次表示十號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù).求證：x2+x2+Fx2=y2+y2+Fy2.1210121026.(1)請(qǐng)觀察：25二52,1225二35

13、2,112225二3352,1122225二33352寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明.(2)26=52+12，53=72+22，26X53=1378，1378=372+32.任意挑選另外兩個(gè)類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和，把這兩個(gè)數(shù)相乘，乘積仍然是兩個(gè)平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎?注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”.數(shù)學(xué)中有許多美妙的數(shù)，通過分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾對(duì)26(2)的性質(zhì)作了更進(jìn)一步的推廣.他指出：可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和.即(a2+b2+C2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2

14、+C2+D2.這就是著名的歐拉恒等式.甲憶質(zhì)二亍商場(chǎng)兩次抿價(jià)后甘略分別卸十心門十如=1甲憶質(zhì)二亍商場(chǎng)兩次抿價(jià)后甘略分別卸十心門十如=1十卄汨血山亠生尹八門*-T)=一J十冊(cè)+(屮八“十觸1+小1卄_Hi為因號(hào)F祐A所加略細(xì)：訕故乙商場(chǎng)廚慶攝析后，價(jià)格JB亀型$ci)+fr)(扒故fH-a1兩式tfl膜，陽路7_1*于是2嚴(yán)則彳_2得.=+=1C00成上+$=-10(1(1*斛褐(_r,y=49餌同t或f-50U-499.(24002提示tt2CKIO-flV十門99E亠越於=|?劉叩一町一帕一a*+E(酣加一(199&一(?*4lXr+lj+l-?11t?)汝L345=j,則原成=應(yīng)上1叮*-

15、xCj-!=-r=-1.345例!提眾：田已知得一“得5=4壓式=+原不尊式可此衣b-lN+f了一1戶冬1+耳上*為幣散N工-l)!DTCj-l)!OfJPftt可能有的詰黑是或y10?.D桅示：逆用罕方羣公式.并解柏均8.C捉示1由已知條件伺jry=09.D提示4由援杵得卄占=13上十+=(.*+)J=(j十+)1吃10.A1L,(】)定値為0提示2由親件.T-.lj=Zt,I式=4亠3即j+3j)+lii+4w-氏(t”3，)b4ri-4r=4/斗Zth&*=玄干+2z=Qw-)=Xl5山翳対自坯SO故r=iS14-=.13仇對(duì)于自搟數(shù)m有(+1)(11+):-還明略.也)由門得原式=鹽0

16、0護(hù)+MX游0Q+1F=腳0制肌士J4DiqriX7X(?MJ-25;100XaxB+l)+25LflOw+S=0+1I25j:2)27.17.7$1J=-ffl-i-m)lt-ttt)14.m)=1X199=nxi?l=(.-1)X=(-11)X(-l&L-)B提麗yy=3十2F十“一4尸鼻J21-C提示；原式二*5腦+芯一丄心一“2Z.辛提示2由A-也=./十呼=得利用口十曠|+c(機(jī)十曠J可井別求碼4卅-y川十卅-4+WL-l=7a卜70一1=7(n+-1=49.M操示，設(shè)f喇由（D2-.得上刊=?血翠Ijt2+y4-ft-一.得（忑一W=5亠Wlx-y|=k-AI則或JTy士4分別與aH丫=d*由聯(lián)立解得IXa或IJby=by=a25.提示：