高中數學對數的概念教學設計

1、對數的概念教學設計一、內容與內容解析.內容：對數的定義、表示法、性質，以及指、對數之間的關系.內容解析：16、17世紀之交，蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中發(fā)明了對數， 為數學家們在運算中贏得了時間與精力.對數發(fā)明 20多年后法國數學家笛卡爾 開始使用指數符號，數學家們開始關注指、對數之間的關系.直到 18世紀，瑞 士數學家歐拉才發(fā)現了指數與對數的互逆關系，他首先使用y=必來定義工=!黑.至此，人們徹底揭示了對數本質，完善了指、對數的知識體系和數學 運算體系.對數的發(fā)明先于指數，也成為數學史上的珍聞.事實上，對數的本質是一種運算.隨著人們對指數的認識的不斷深入， 總會 遇到諸如在方程I1

2、=2中求解x”的問題，即“已知底數和幕的值，求指數”.在 數學運算體系的建立過程中，人們也經歷了多次類似的情況，例如在加法運算中 已知一個加數與和，求另一個加數時引入了 “差”的概念；在乘法運算中已知一 個因數與積，求另一個因數時引入了 “商”的概念；在乘方運算中已知指數與幕， 求底數時引入了 “數的n次方根”的概念.在計算機發(fā)明以前，以10為底的對數在復雜的數值計算中是常用的工具， 故有“常用對數”之名，常用對數是納皮爾和他的朋友布里格斯一起商定得出 的.另外，在科技、經濟以及社會生活中經常使用以無理數e=2.71828為底 的對數，以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以

3、稱之 為“自然對數”.歐拉指出：”對數源出于指數”，也就是說對數與指數之間存在必然的聯系： 當a0 ,且awl時，戶NOI嗨叫利用這一關系，我們可以實現對數式 與指數式之間的互化.代數學的根源在于運算，“運算中的不變性、規(guī)律性”是發(fā)現“代數性質”的引路人，通過這種互化運算，我們可以得出對數的下列性質:(1)負數和0沒有對數.當對數中的真數N為負數或者0時，對數沒有意義.這是由于在實數范圍 內，正數的任何次幕都是正數.因而 =N中的N總是正數.(2) kgglR,(a0 , al).指數式中存在著諸如三L及加二的性質，將這兩個指數式化為對數式即 可得到對數的上述性質.從對數的發(fā)明過程可以看到，社

4、會生產、科學技術的需要是數學發(fā)展的主要 動力.建立對數與指數之間聯系的過程表明， 使用較好的符號體系和運算規(guī)則不 僅對數學的發(fā)展至關重要，而且可以大大減輕人們的思維負擔.因此，本節(jié)課的教學重點是：以“指數與對數的關系”為指引，發(fā)現和應用 對數的概念.二、目標與目標解析.目標：(1) 了解對數產生的歷史及背景，體會對數概念提出的必要性，發(fā)展數學 人文素養(yǎng)；(2)經歷概念的形成過程，理解對數的概念，發(fā)展數學抽象核心素養(yǎng)；(3)理解指、對數的關系，掌握指、對數式的互化，發(fā)展數學運算核心素 養(yǎng).目標解析(1)學生知道對數發(fā)明的歷史，能在求解諸如1=2的方程中體會到對 數概念提出的必要性；(2)學生能將

5、所求方程中的x準確表示出來，能認識和表示常用對數和自 然對數；(3)學生能清楚指出指、對數之間所具有的關系，在指、對數式中指明各 個字母的意義，能熟練地進行指、對數的互化.通過兩式的互化，能夠得出和證 明對數的性質.三、教學問題診斷分析本節(jié)課第一個學習難點是對數概念，雖然學生可以根據以往經驗提出新概念 建立的必要性，但是就像差、商、數的 n次方根等概念的提出一樣，每一次新 概念的提出都與學生以前的認知產生矛盾，因此需要適應和熟悉，而這樣的過程在對數這一概念上顯得尤為漫長.在以往的學習過程中，涉及“差”的概念的減 法是加法的逆運算，涉及“商”的概念的除法是乘法的逆運算，涉及“數的 n 次方根”的

6、概念的開方運算是乘方的逆運算， 對于對數這一概念，可以類比以往 的互逆運算的關系進行認識.即使這樣，減法、除法、開方等運算還是比較直觀、 容易理解的，但是由于對數所處運算級別較高，因此在教學中需要反復訓練，使 得學生盡快熟悉.第二個學習難點是在對指、對數的關系的認識上，學生往往只在表面上認識 了對數概念，沒有緊扣定義，充分發(fā)掘定義中指、對數之間的關系.為此可以借 助圖表、式中連線等簡單直觀的方式對指、 對數式進行對照，在此過程中學生可 以進一步理解對數概念，揭示指、對數之間的關系，特別是在對字母x的認識中 可以明確“對數即指數”這一本質；也可以借助已有知識進行突破，例如借助指 數函數中的變量對

7、應關系揭示指、對數之間的關系.四、教學支持條件本節(jié)課的教學用到了 Geogebra 數學軟件，可以幫助學生對相關問題形成 直觀感受.五、教學過程設計（一）概念的引入問題1:在4. 2. 1的問題中，通過指數運算，我們能從 y=1-1?中求出 經過x年后B地景區(qū)的游客人次為2001年的倍數y.反之，如果要求經過多少 年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，,那么該如何解決？師生活動：學生利用指數函數寫出2=11。、3=1/1、4=14L的方程， 但是不會求解方程.追問1 :若I,宜=2 ,這里的x存在嗎？唯一嗎？能否借助已有知識解釋？ 你能表示它嗎？師生活動：學生借助指數函數圖象可以感受到 x

8、的存在，但不會對其表示.由指數函數圖象可知x唯一存在，但利用已有知識不能解釋.技術支持：利用Geogebra數學軟件畫出函數圖象，通過對點的標記感受 對數的真實存在. M *工百彳追問2:回顧為什么要學習減法、除法、開方運算？并類比思考如何解決上面這個問題？師生活動：學生回顧運算學習軌跡，得出答案.回顧一下同學們對于運算的學習軌跡： 在加法運算a+x=N中求解x時定義 了減法及它的運算結果“差”的概念；在乘法運算 ax=N中求解x時定義了除 法及它的運算結果“商”的概念；在乘方運算 r,=N中求解x時定義了開方及 它的運算結果“數的n次方根”的概念?，F在我們想從W1=N中求解x,也需要 定義一

9、種新的概念.追問3:請同學們閱讀教科書對數概念部分，并回答下列問題：(1)在上面的問題中，如果4=ir ,則x如何表示？是什么含義？(2)什么是常用對數和自然對數，它們如何表示？師生活動：學生結合閱讀內容回答問題.定義：一般地，如果,;?J=N (a0 ,且awl),那么數x叫做以a為底N的 對數，記作壬=9型，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.(1) x可以表示為：L咱叫 含義是：以i.ii為底4的對數；(2)以10為底的對數稱為常用對數，我們把1!?且吧記為lgN ,以無理數 e=2.71828為底的對數稱為自然對數，我們把 爐段場記為lnN .設計意圖：通過情境設置使學生感受對數概念引入

10、的必要性，并獲得定義， 初步理解，會利用定義進行表示.(二)概念的精致問題2:歐拉指出：”對數源出于指數”，結合定義，你是如何理解這句話的？利用這種關系，你可以得出對數的哪些性質？師生活動：學生可以用自己的語言，根據定義說明指、對數的關系，但是解 釋并不徹底.追問1:能否利用較為簡潔的形式表達出指數、對數之間的這種關系？師生活動：教師給出基本形式，比如表格形式，或者圖的形式，讓學生找出 它們的關系.當a0 , awl時，1To 曰兩者在形式上有所不同，同時在字 母名稱上也有差別.由圖可知，對數即指數.式子名稱axN指數式ax=N底數指數哥對數式x=log aN底數對數真數追問2：利用這一關系，

11、結合指數函數的性質，請你談談是否所有的實數都 有對數呢？例如，S 或者y=0 ,那么-3或0的對數分別是多少？據此你能 得到什么結論呢？師生活動：學生通過對指數函數性質進行分析，得出猜想.因為不存在x,使得2x=-3以及2x=0 ,所以對數中的真數 N0 ,即負數 與零沒有對數.追問3:指數具有如下兩個性質：占1及加飛根據它們你能得到對數的 什么性質？師生活動：學生自主完成，交流展示.io生mi缶:。n仃hi)；匕1(0。用門，1).-=1 (a0 且 aw1)； loga1=0 (a0 且 awl).設計意圖：根據指數、對數的關系，探索發(fā)現對數的本質，培養(yǎng)學生會用簡潔直觀的形式發(fā)現事物之間的

12、聯系， 鞏固對新、舊概念的認識，加強對新概念的 應用，體會轉化思想在對數計算中的作用.(三)概念的應用例1.將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(1 54=625 ；(2) 2-；(3) g 尸5尸3；loe116=-4;(5 lg0+01=2； hil0=2303.追問：轉化的依據是什么？師生活動：依據對數的定義.解解：二(1) loe625=4； ( 2) 1。&=6； (3) loe 5.73=m；643)4=16；(5)(6) 9期=10例2.求下列各式中x的值：(1) loeux=- : (2) lo8=6; (3) lelOO=r: (4) - Liie2. 亭 3后,解：(

13、I) =64i- =-jC2)x=8- =/2 ; (3) .r=2; (4) &=2.問題3:根據例2的解題過程，結合例1 ,請你談談你是如何求解其中的未 知數的？依據是什么？師生活動：學生結合做題經驗回答問題.對于方程中的求解對象，即未知數 x,可以依據對數的概念通過將對數式化 為指數式，將對數問題轉化為我們熟悉的指數問題，利用指數運算性質求解.設計意圖：使學生通過實例進一步熟悉對數式與指數式的互化， 加深對式中 各字母意義的理解.引導學生經歷數學運算的處理過程， 使其在明晰運算對象的 基礎上，借助有效運算方法，依據運算法則解決運算問題，養(yǎng)成程序化思考問題 的習慣.(四)拓展延伸問題4:閱

14、讀教科書“閱讀與思考”部分的材料對數的發(fā)明，了解對數 的發(fā)明史，請你談談為何“對數的思想方法在今天仍然具有生命力”？師生活動：學生討論，交流成果.對數的思想方法，即將高級別運算轉化為低級別運算， 表現在把乘方、乘法 運算分別轉化為乘法、加法運算，體現了化歸的數學思想.追問：對數是如何把乘方和乘法運算分別轉化為乘法和加法運算的？計算 8388608 X128,你是否有好的計算方案呢？師生活動：部分學生開始進行乘法運算，教師引導學生通過觀察表格中的數 字的對應關系，利用指數運算快速求解.2喳心幽對區(qū)皇x123456789102x2481632641282565121024x111213141516

15、171819202x2048409681921638432768655361310722621445242881048576x212223242526272829302x209715241943048388608167772163355443267108864134217728268435456536870912107374182483 S8608 X 128=1073741824 f 8388608 X 12= X 丁=2 泮5$073741824.觀察上面的式子，我們原本進行的是乘法運算，發(fā)展到后面成為了加法運算，這樣的運算方式幫我們把較大數字的乘法運算轉化為較小數字的加法運算，這一思想恰恰是當年數學家發(fā)明對數的指導思想. 由于對數的引入，使得乘除法運算 降級為加減法運算，乘方運算降級為乘法運算，這一特征同學們可以在下節(jié)課一 一對數的運算性質中感受到.設計意圖：介紹數學史的內容，使得學生初步感受對數發(fā)明的思想， 為下一 節(jié)課對數的運算做好鋪墊.（五）歸納小結問題5:回顧本節(jié)課的內容，回答下列問題：（1）對數概念是如何提出來的？它對發(fā)現和提出問題有什么啟示？（2）指、對數之間有何關系？利用這種關系可以幫助我們解決什么問題？師生活動：由學生根據學