均值不等式柯西不等式

1、武漢龍文教育學(xué)科指導(dǎo)講義授課對(duì)象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時(shí)間5-5授課題目不等式（二）課型復(fù)習(xí)使用教具講義、白紙授課目的靈便的運(yùn)用均值不等式和柯西不等式求最值授課重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何用有效的方法去解決最值問題參照教材網(wǎng)資授課流程及授課詳案一、柯西不等式和均值不等式時(shí)間分配及備注1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2)(b12b22.bn2)(a1b1a2b2.

2、anbn)2.2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若a1,a2,anR，則a1a2anna1a2an(nN)n（1）a1,a2,an是正數(shù)；（2）和（a1a2an）或（a1?a2?an）為定值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，取等號(hào)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí)，必定滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能夠直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性轉(zhuǎn)變、變形，才能求得正確的最值。二例題：1、柯西不等式向量求最值1、設(shè)x,y,zR,x2y2z225，試求x2y2z的最大值與最小值。答：依照柯西不等式(1x2y2z)212(2)222(x2y2z2)即(x2y2z)2925而有15x2y2z15故

3、x2y2z的最大值為15，最小值為15。2、設(shè)x,y,zR,2xy2z6，試求x2y2z2之最小值。答案：考慮以下兩組向量v1,2)v=(x,y,z)依照柯西不等式u=(2,v(uv)2u22v，就有2x(1)y(2)z222(1)2(2)2(x2y2z2)即(2xy2)29(222)將2xy2z6代入其中，得zxyz369(x2y2z2)而有x2y2z24故x2y2z2之最小值為4。3、設(shè)x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此時(shí)x、y、z之值。Ans：m4;(x,y,z)(4,2,4)3334設(shè)x，y，zR，2x2yz80，則(x1)2(y2)2(z3)2之最小值為解：

4、2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考慮以下兩組向量v,)v,)(uv)22v2u=(，v=(,u2(x1)2(y2)(z3)2(x1)2(y2)2(z222123)(22)(x1)2(y2)2(z3)2(9)2995設(shè)x,y,zR，若2x3yz3，則x2(y1)2z2之最小值為_，又此時(shí)y_。解：2x3yz32x3(y1)z()，考慮以下兩組向量v,)v,)u=(,，v=(解析：x2(y1)2z222(3)212(2x3y3z)2x2(y1)2z23614最小值187xy1zQ2x3yz3,2(2t)3(3t1)t323t,1t3y2776設(shè)a，b，c均為正數(shù)且abc9，則4916

5、之最小值為abc解：考慮以下兩組向量v,)v,)u=(，v=(uv)2uv(2a3b4c)2(4916)(a22abcabcbc)(4916)9(234)281abc4916819abc97、設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a2b3c2，則123之最小值為_，此abc時(shí)a_。解：考慮以下兩組向量v,)v,)u=(，v=(uv)222uv(a)2(2b)2(3c)2(1)2(2)2(3)2(123)2abc(123)18，最小值為18等號(hào)發(fā)生于u/v故a2b3cabc123abcabc又a2b3c2a132、均值不等式幾種常有的方法一、湊正當(dāng)例1設(shè)x0，y0，且191，求xy的最小值。xy2.若a0，b

6、0，且abab3，求ab的最小值。3.求ysinxcos2x，x(0，)的最大值。2答案與提示：1.由191(x1)(y9)9（定值），又知x1，y9，故當(dāng)且xy僅當(dāng)x1=y9=3，即x=4，y=12時(shí)，(xy)min16。2.由ab2ab，得abab32ab3ab2ab30(ab)min93.sinx0，cosx0，y2sin2xcos4x2sin2xcos2xcos2x21(2sin2xcos2xcos2x)34，y4232327279此時(shí)，22223cosxcotx2，故當(dāng)時(shí)，。xarccot2ymax，9一、配湊湊系數(shù)例1.當(dāng)0 x4時(shí)，求yx(82x)的最大值。2.湊項(xiàng)例2.已知x5

7、，求函數(shù)f(x)4x21的最大值。44x5分別例3.求yx27x10(x1)的值域。x1二、整體代換例4.已知a0，b0，a2b1，求t11的最小值。ab三、換元例5.求函數(shù)yx2的最大值。2x5四、取平方例6.求函數(shù)y2x152x(1x5)的最大值。22練一練1.若0 x2，求yx(63x)的最大值。2.求函數(shù)y1xx(3)的最小值。x3x283.求函數(shù)y(x1)的最小值。x14.已知x0，y0，且119，求xy的最小值。xy5設(shè)x,y是滿足2xy20的正數(shù)，則lgxlgy的最大值是()6若a,x,yR，且xyaxy恒成立，則a的最小值是()7122x,(0 x0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍9已知x,yR10設(shè)xR且x211求yx212、設(shè)x，y，z最小值。，且x4y1，則xy的最大值為_x2y21，求x1y2的最大值2(xR)的最小值。4R且(x1)2(y2)2(z3)21，求xyz之最大值，165411113