光波模式與光子態(tài)

1、光波模式按照經(jīng)典的電磁理論， 電磁波的運(yùn)動(dòng)規(guī)律由麥克斯韋方程組決定， 單色平面波是該方程的一個(gè)特解， 它的通解可表示為一系列的單色平面波的線性疊加。 在自由空間里 ,具有任意波矢的單色平面波都可以存在，但在一個(gè)有邊界條件限制的空間如激光器的光學(xué)諧振腔內(nèi)， 只可能存在一系列獨(dú)立的具有特定光波矢的單色平面駐波。這種可以存在于諧振腔內(nèi)， 并以波矢為標(biāo)志的單色平面駐波稱(chēng)為光波模式。不同波矢的單色平面駐波為不同的光波模式。 考慮到每一個(gè)電磁波有兩種獨(dú)立的偏振狀態(tài)， 故每一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)兩個(gè)具有不同偏振方向的光波模式。 下邊我們來(lái)求解一個(gè)體積為 V x y z 的立方體空腔中可以獨(dú)立存在的光波模式數(shù)。圖立體空

2、腔該空腔示意圖如圖所示，由駐波條件可知，存在于此立方體空腔內(nèi)的光波模式的波矢量必須滿足下列條件：kxxm(1.2.1)k yynkzzq式中， m、n、q 都為正整數(shù)。每一組不同的m、 n、 q 數(shù)值的組合便對(duì)應(yīng)了一個(gè)光波矢，或兩個(gè)不同偏振態(tài)的光波模式。在以kx、 ky、 k x為坐標(biāo)軸的波矢量空間坐標(biāo)系的第一卦限內(nèi)，每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)允許存在的光波矢，如圖所示。圖波矢空間由式可知，在波矢空間中，相鄰兩個(gè)光波矢對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的間隔3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量分別為kxxkyy(1.2.2)kzz因此，每個(gè)光波矢在波矢空間中所占有的體積元為33kx ky kzxyz V(1.2.3)在波矢空間中，數(shù)值大小處

3、在范圍內(nèi)的波矢量K 對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在以原點(diǎn)為球心、以 k 為徑、以 dk 為厚度的薄球殼內(nèi)?？紤]到波矢量駐波條件決定了它的3 個(gè)分量只能取正值，因此，可以存在于體積為V 的空腔內(nèi)的光波矢在波矢空間中所占體積是該球殼體積的1/8，即。用它除以每個(gè)光波矢在波矢空間的體積元 （1.2.3）式，可得出在體積為V 的空腔內(nèi)、波矢量數(shù)值處于k k dk 范圍內(nèi)的光波矢量數(shù)為：Hk 2dk2V(1.2.4)2由于知 k 2 /2 / c, dk2/ c ,可以算出在 V 體積空腔內(nèi)、頻率處于d 范圍內(nèi)的光波矢量數(shù)為H42dV(1.2.5)c3因?yàn)楣獠Ｊ綌?shù)是光波矢量數(shù)的2 倍，故最后得到存在于體積為V 的空腔內(nèi)、

4、頻率為 d 如范圍內(nèi)的光波模式數(shù)為 :M82dV(1.2.6)c3定義單色模密度為腔內(nèi)單位體積、頻率為的單位頻率間隔中的光波模式數(shù)，即mdM(1.2.7)dVd利用式，得到單色模密度計(jì)算公式為82m(1.2.8)c3光子態(tài)按照光的量子學(xué)說(shuō)， 光是一種以光速c 運(yùn)動(dòng)的光子流。 光子具有以下基本性質(zhì)：光子與其它基本粒子一樣，具有能量、動(dòng)量與質(zhì)量。光子的這些粒子屬性與光的波動(dòng)屬性緊密相連， 這可以由光子的能量、 動(dòng)量、質(zhì)量的計(jì)箅公式反映出來(lái)：EhPh(1.2.9)k2mhc2式中 ,為光頻率；k 為光波矢； h 為普郎克常數(shù)。光子具有兩種可能的獨(dú)立偏振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于光波場(chǎng)的兩個(gè)獨(dú)立偏振方向。光子服從玻

5、色一愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)分布，也就是說(shuō)，處于同一狀態(tài)的光子數(shù)沒(méi)有限制。經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由空間坐標(biāo)（ x、y、z）量（ px、py、pz）確定，光子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)則遵守量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：x y z Px Py Pzh3這說(shuō)明，在由x、 y、z、px、 py、pz 六個(gè)坐標(biāo)所支撐的六維相空間中，相同狀態(tài)的光子都處在同一個(gè)六維體積元x y z PxPyPz 中，稱(chēng)之為相格，它的大小就等于 h3 。光子的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只能定域在一個(gè)相格中，而不能確定它在相格內(nèi)部的對(duì)應(yīng)位置。 也就是說(shuō)，同一相格中的光子是無(wú)法區(qū)分的，它們屬于同一光子態(tài)。現(xiàn)在，我們來(lái)證明光波模式與光子態(tài)兩個(gè)概念之間的等價(jià)性。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們

6、先不考慮光波模式與光子態(tài)的偏振狀態(tài)。由光子動(dòng)量與光波矢量的關(guān)系式（）知，每個(gè)波矢量在相空間中沿px、py、 pz 軸方向的線度為：Pxhkx2Pyh(1.2.11)k y2Pzhkz2因?yàn)槊總€(gè)光波模式都是由兩個(gè)沿反方向傳播的行波組成的駐波，這兩個(gè)行波的波矢量大小相等、方向相反。因此，每個(gè)光波模式在px、py、pz 軸上的線度是（）式的 2 倍，故PxhkxPyh(1.2.12)kyPzhkz由上式有h3(1.2.13)Px Py Pz3kx ky kz將式（）代入（）中，可得到PxPyh3Pz(1.2.14)V再把 Vx yz代入上式，并將它乘到等式的左邊，便可得出每個(gè)光波模式在六維相空間中所

7、占的體積也等于 h3。這說(shuō)明，一個(gè)光波模式在相空間中也占有一個(gè)相格，故每個(gè)光波模式等價(jià)于一個(gè)光子態(tài)。3.光波模式與光子態(tài)的相干性為了說(shuō)明光波模式、 光子態(tài)與光的相干性之間的關(guān)系， 我們?cè)購(gòu)墓庾拥挠^點(diǎn)來(lái)分析楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)。圖楊氏雙逢實(shí)驗(yàn)的光子觀點(diǎn)解釋如圖所示，從光源中心所發(fā)出的限于立體角燦內(nèi)的光子可產(chǎn)生相干，這些光子的動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)量分別為：PxPyPh(1.2.15)chpz(1.2.16)Pc式中 ,在很小的情況下，可用下式表示：Ac(1.2.17)D式中： Ac 為距光源為 D 處的相干面積。將式（ 1-2-17）代入式 （ 1-2-15）中，并與（ 1-2-16）式相乘，可得到：h3 2 APxPyPzc(1.2.18)c3 D2另外，由式 (1.2.10) 可知，每個(gè)相格的空間坐標(biāo)體積為：xyzh3(1.2.19)px pypz因?yàn)橄喔傻墓庾涌梢哉J(rèn)為是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同、處于同一光子態(tài)的光子， 它們是處在同一個(gè)相格內(nèi)的。所以，可以把（ 1-2-18）式代入式（ 1-2-19）中，得到每個(gè)相格的空間坐標(biāo)體積為：x y zc3D22 Ac(1.2.20)綜上所述，關(guān)于光波模式與光子態(tài)的相干性，可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。同一光波模式的光波以及同一光子態(tài)的光子是相干的， 不同光波模式之間以及不同光子態(tài)的光子之間是不相干的；同一光波模式以及同一光子態(tài)的光子在三維的