如何進(jìn)行柯西不等式的教學(xué)

1、怎樣進(jìn)行柯西不等式的授課柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他好多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用，教科書(shū)第一介紹二維形式的柯西不等式，再?gòu)南蛄康慕嵌葋?lái)認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特別種類(lèi)的函數(shù)極值中的應(yīng)用.在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，依照兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式接著借助二維形式的柯西不等式證了然三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)安排了個(gè)研究欄目，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)研究得出一般形式的三角不等式.由上可見(jiàn)，教材編寫(xiě)者對(duì)這

2、部分內(nèi)容的要求以便讓學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)，但這部分教與學(xué)的難度是不問(wèn)可知的.nnn柯西不等式222是柯西在1931年研究數(shù)學(xué)解析中的“留數(shù)”aibi(aibi)i1i1i1問(wèn)題時(shí)獲取的.表面上看，這一不等式其實(shí)不難理解，也很簡(jiǎn)單考據(jù)它的正確性，特別是它的二階形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，幾乎是不證自明的.但是，我們能看出這一平凡無(wú)奇的不等式成立，是由于早先已經(jīng)知道兩邊是什么式子，而最先發(fā)現(xiàn)這樣的不等關(guān)系，則是一個(gè)創(chuàng)立的過(guò)程，其實(shí)不是那么簡(jiǎn)單的.柯西不等式不失為至善至美的重要不等式,以它的對(duì)稱(chēng)友善的構(gòu)造,簡(jiǎn)潔明快的解題方法等特點(diǎn),深受人們的喜愛(ài).而且和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)

3、學(xué)中的內(nèi)積空間等內(nèi)在地聯(lián)系在一起.柯西不等式的幾種形式都有較為深刻的背景和廣泛的應(yīng)用，向量形式不但直觀地反響了這一不等式的實(shí)質(zhì)，一般形式nnnai2bi2(aibi)2有一個(gè)實(shí)行形式：i1i1i111(a1pa2panp)p(b1qb2qbnq)qa1b1a2b2anbn.其中111.該不等式稱(chēng)為赫爾德（Holder）不等式，當(dāng)pq2時(shí)，即為pq柯西不等式，是數(shù)學(xué)解析中最適用的不等式之一.其他，平面三角不等式是柯西不等式的等價(jià)形式，它的實(shí)行形式nnnxi2yi2(xiyi)2i1i1i1（閔可夫斯基不等式）也是數(shù)學(xué)解析中的經(jīng)典不等式.這就是在新課程標(biāo)準(zhǔn)中作為選學(xué)內(nèi)容出現(xiàn)的原因，也是多年數(shù)學(xué)奧賽

4、的重點(diǎn)內(nèi)容的原因.但由于中學(xué)生的認(rèn)知水平，要達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求“認(rèn)識(shí)柯西不等式、會(huì)求一些特定函數(shù)的極值”對(duì)好多同學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).那么，怎樣達(dá)到學(xué)習(xí)目的呢1第一熟悉“”的含義有好多同學(xué)十分“惱恨”這個(gè)符號(hào)，總是看不懂，從而就避開(kāi)這個(gè)符號(hào)，如93年高考題理科（24）使用了連加號(hào)“”，好多考生不懂，其實(shí)這個(gè)符號(hào)在課本多次出現(xiàn)過(guò)，由于長(zhǎng)遠(yuǎn)不用，他們忘記了.這個(gè)符號(hào)是絕對(duì)好用的，而且今后會(huì)常常遇到，在大學(xué)課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習(xí)慣了.Ai下方寫(xiě)i1，上方寫(xiě)n，這里i是下標(biāo)變量，1是i初步的值，n是i停止的值，這nAn.時(shí)AiA1A2i12柯西不等式有著豐富的幾何背景，能夠經(jīng)過(guò)幾何講解加深對(duì)其實(shí)

5、質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)與理解對(duì)于一個(gè)代數(shù)結(jié)果作簡(jiǎn)單的講解，常常需要借助于幾何背景，只有人們知道了問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有著豐富的幾何背景，運(yùn)用向量的數(shù)量積在不等式和幾何之間架起一座橋梁，就可以用幾何的背景講解不等式：設(shè)a1,a2,an，b1,b2,bn，由，可得nnnai2bi2(aibi)2.i1i1i13認(rèn)清柯西不等式的構(gòu)造形式以便發(fā)生聯(lián)想20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家馮諾依曼（Neumann）指出“大多數(shù)最好的數(shù)學(xué)靈感本源于經(jīng)驗(yàn)”，從形式構(gòu)造上看，柯西不等式大的一邊是兩個(gè)向量的模的積的形式，小的一邊是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的平方形式，只要簡(jiǎn)記為“方和積大于積和方”.等號(hào)成立條件比較

6、特別，要牢記.其他應(yīng)注意在這個(gè)式子里不要求各項(xiàng)均是正數(shù).有了這一經(jīng)驗(yàn)，就簡(jiǎn)單在解題時(shí)發(fā)生聯(lián)想.如：例1設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：a2b2c2abc.bca解析：若是要運(yùn)用cauchy不等式，就要聯(lián)想到小的一邊是“積和方”形式就自然解析出只要證在不等式兩邊同乘以abc，即(abc)(a2b2c2)(abc)2，bca而另一邊要看作“方和積”，只要變形222222(c)2(a)2(b)2，abcabc，abcbcaabc應(yīng)用柯西不等式，得(a)2(b)2(c)2(c)2(a)2(b)2(acbacb)2abcabc即a2b2c2abc.bca4含有常數(shù)的不等式辦理方法在不等式中含有常數(shù)n，這個(gè)常數(shù)

7、一般與cauchy不等式中向量的維數(shù)有關(guān)，平時(shí)把n寫(xiě)成12121212的形式或111的形式,又如：例2證明：a3b3c3d324a6b6c6d6.解析：常數(shù)4恰好就是每個(gè)括號(hào)中加數(shù)的個(gè)數(shù)，此時(shí)平時(shí)把4寫(xiě)成“12121212”，用柯西不等式：a3b3c3d3212121212a6b6c6d6即可.例3設(shè)是實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z恒有x2y222x4y44成立，試求的取值范圍zz解析：與柯西不等式的一般形式比較，“積和方”已經(jīng)具備，而另一邊只要再構(gòu)造一個(gè)“方和積”即可，由于x2y2z2212x4y4z4，1212因此，3.例4求三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z，使得它們同時(shí)滿(mǎn)足以下方程2x3yz13.4x29

8、y2z22x15y3z82解析：將兩方程左右兩邊分別相加，變形，得2222x3y3z2108由第1個(gè)方程變形，得2x3y3z218于是由柯西不等式，得18212x13y31z221212122x2223y3z2182.從而由等號(hào)成立的條件可得2x3y3z26，故原方程的解為x3,y1,z4提示：由柯西不等式解方程時(shí)必然要注意運(yùn)用cauchy不等式等號(hào)成立的條件.5在應(yīng)用cauchy不等式求最值時(shí)，要善于構(gòu)造例5（2001年全國(guó)初中聯(lián)賽題）求實(shí)數(shù)x、y的值，使得y12xy322xy62達(dá)到最小值解析：就需要把y12xy322xy62看作是不等式中向量模的平方，構(gòu)造另一模的平方，構(gòu)造的序次為把最繁

9、的式子2xy6對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為1，考慮xy3乘以2就可以把x抵消，因此2就是xy3對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，最后看12xy62xy3y,因此y1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為1，從而就有cauchy不等式：1222y122212xy32xy61y12xy312xy62y1xy32xy621.226例6若5a6b7c4d1,求3a22b25c2d2的最小值,并指出等號(hào)成立的條件.解析：由于a,b,c,d各項(xiàng)系數(shù)不相同，而且既有1次項(xiàng)，又有2次項(xiàng)，明重要用柯西不等式，由于是求3a22b25c2d2的最小值，必然要把3a22b25c2d2看成“方和積”的一部分，而條件5a6b7c4d是常數(shù)，它必然是“積和方”的一部分.而且使用柯西不等式

10、不受-7c這項(xiàng)的影響.使用時(shí)，注意寫(xiě)明等號(hào)成立條件，檢驗(yàn)最小值能否取到.知識(shí)小結(jié)1二維形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則a2b2c2d2acbd2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.2柯西不等式的向量形式：設(shè),是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立.3二維形式的三角不等式：設(shè)x1,y1,x2,y2R，則x12y12x22y22x1x22y1y22.4.三維形式的柯西不等式：設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3是實(shí)數(shù)，則a12a22a32b12b22b32a1b1a2b2a3b3當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2,3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbii1,2,3時(shí)等號(hào)成立.一

11、般形式的柯西不等式：設(shè)a,a,a,a,b,b,b,b是實(shí)數(shù)，則123n123na12a22an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2.當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2,n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbii1,2,n時(shí)等號(hào)成立.應(yīng)用舉例例1已知3x22y26，求證：2xy11.證明：由柯西不等式得2xy23x2y2222y24161111213x2232326因此2xy.11例2設(shè)a,b,c,d是4個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求證：ab2bccd21.a2b2c2d22證明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)2abcd2bcad2b2a2c2d22a2c2b2d2a2b2c2d22a2c2

12、b2d2a2b2c2d221a2b2c2d2222因此ab2bccd21.a2b2c2d22例3若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點(diǎn).解：由柯西不等式得x2y2324223x4y，得25x2y24，因此x2y24.25當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，343x4y26x為求最小值點(diǎn)，需解方程組xy25834y25即當(dāng)x6,y8時(shí)，x2y2的最小值為4，最小值點(diǎn)為6,8.2525252525例4已知a,bR且ab1,求證：axby2ax2by2證明：設(shè)m(ax,by),na,b，則axbymnmnax2222byabax2by2abax2by2，axby2ax2by2.例5若x0,，試求函數(shù)f(x

13、)3cosx41sin2x的最大值，并求出2相應(yīng)的x的值.解：設(shè)m(3,4),ncosx,1sin2x，則f(x)3cosx41sin2xmnmn3242cos2x1sin2x52當(dāng)且僅當(dāng)m/n時(shí)，上式取“=”，此時(shí)31sin2x4cosx，解得sinx7,cosx32,xarcsin7555當(dāng)xarcsin7時(shí)，函數(shù)f(x)3cosx41sin2x取最大值52.5例6設(shè)x,y,z是正數(shù)，證明：1yzzx1zxxy1xyyz.2221xy1yz1zx1證明：由柯西不等式得zxy1xy1xy1.2z因此1yzzxz.1x2xyyz同理1zxxyx，1xyyzy.2xy2xy1yzz1xzz將三個(gè)

14、不等式相加，得1yzzx1zxxy1xyyz1.1x21y21z2yzx說(shuō)明：對(duì)于好多分式不等式分母太多，也很復(fù)雜，我們可局部利用柯西不等式將分母化為一致的式子，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.例7解方程4x3212x15.解：原方程變形為1522x3212x2222x3215.222232x12x其中等號(hào)成立的重要條件是22.2解得x1.3說(shuō)明：注意方程與不等式間的相互轉(zhuǎn)變，當(dāng)不等式中的等號(hào)建馬上，不等式就成為方程了.例8m個(gè)互不相同的正偶數(shù)與n個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和為1987，對(duì)于所有這樣的m、n，問(wèn)3m4n的最大值是多少試證明你的結(jié)論.解：設(shè)ai(i1,2,m)為互不相同的正偶數(shù)，bj(j1,2,n)

15、，則a1a2am242m，b1b2bn132n1，a1a2amb1b2bm1987，121.由上述三式可得mm1n21987，即mn21987241212由柯西不等式得，3m4nmn23242.22321即3m4n198752.2413222.3m4n221.3m4n5198724又當(dāng)m27,n35時(shí)，3m4n221且滿(mǎn)足mm1n21987.故所求最大值為221.說(shuō)明：本題反響了一種重要解題方式，那就是第一減小所研究目標(biāo)的范圍，再運(yùn)用柯西不等式作進(jìn)一步縮短，步步逼近，最后又經(jīng)過(guò)構(gòu)造實(shí)例使目標(biāo)獲取確認(rèn).例9設(shè)a1,a2,an為實(shí)數(shù)，運(yùn)用柯西不等式證明：a12an2a1ann.nn11a1an證明

16、：由柯西不等式得1n111n.a2a211aan個(gè)于是a12an2na1a2an即得a12an2a1an.nn再由柯西不等式得1111112a1a2ana1a2ann2.a1a2ana1a2an于是a1ann.n11a1an綜合知原不等式成立.例10已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足abcd3，且a22b23c26d25，試求a的最大值與最小值.解：由柯西不等式得，2b23c26d2111bcd2.2362即2b23c26d2bcd.綜合得5a23a2，1a2當(dāng)且僅當(dāng)2b3c6d，即2b3c6d時(shí)等號(hào)成立.111236由abcd3和2b3c6d知，當(dāng)b1,c2,d1時(shí)，amin133當(dāng)b1,c1,d1

17、時(shí)，amax2236例11已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足xyzxyz，且不等式111恒成xyyzzx立，求的取值范圍.解111111xyyzzx2xy2yz2zx1z1x1y1xyxyzyz2zx11121212zxy2zxz2xyyzxy因此的取值范圍是3,.232例12求出所有實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,x5，適合以下關(guān)系式：1x12x23x34x45x5a13x123x233x343x453x5a215x125x235x345x455x5a3解：設(shè)有非負(fù)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,x5滿(mǎn)足題設(shè)要求，那么由柯西不等式得a413x123x253x521515152212x112x

18、12x222x252x552x51x12x25x515x125x255x5a4152xk0k1,2,3,4,5這樣一來(lái)，上式中唯有等號(hào)成立，于是kxkk2若是x1,x2,x3,x4,x5中有兩個(gè)或兩個(gè)以上不為零，上式不能能成立，因此只能有上述兩種狀況：x1x2x3x4x50,此時(shí)a0.xii1,2,3,4,5中有且僅有一個(gè)不為零，不如設(shè)xk0，依題設(shè)kxka,k3xka2,k5xka3解得xkk,k2ak1,2,3,4,5綜上知，當(dāng)a0,1,4,9,16,25時(shí)，存在非負(fù)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,x5滿(mǎn)足題設(shè)要求.例13P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，x,y,z是P到三邊a,b,c的距離，R是ABC外接圓

19、的半徑，證明：xyz1a2b2c2.2Rabc證明：記S是ABC的面積，則axbycz2S2Rxyzax1by1cz1abcaxbycz111abc111abc2Rabc1abbcca1a2b2c22R2R因此xyz1a2b2c22R說(shuō)明：本題中給出ABC三邊的長(zhǎng)，又給出了ABC內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離及外接圓的半徑，可聯(lián)想到ABC的面積能夠把這些量聯(lián)系起來(lái)：S1axbycz，又aa22R,sinAsinA2RS1bcsinA1bcaabc222R4R練習(xí)1一、選擇題1若直線xy1經(jīng)過(guò)點(diǎn)Mcos,sin，則（D）abAa2b21Ba2b21C111D111a2b2a2b22已知a0,b0，且ab2，

20、則（C）Aab1Bab1Ca2b22Da2b23223若m,n,x,y滿(mǎn)足m2n2a,x2y2b,其中a,b為常數(shù)，那么mxny的最大值為（B）AabBabCa2b2Da2b22224.若a,b,c,d都為實(shí)數(shù),則不等式22222）取等號(hào)的條件是abcdacbdD5.已知a,bR且ab1,則11與4的關(guān)系為（）abBA.114B.114C.114D.114abababab6.設(shè)a,bR，則a12的最小值為（）2bbDaA.5B.6C.8D.97.若a,b是非零實(shí)數(shù)且ab1,x,x2R，Maxbx2bxax2，Nxx，11112則M與N的大小關(guān)系為（A）A.MNB.MNC.MND.MN8.若實(shí)數(shù)

21、x,y滿(mǎn)足x222，則x2y2的最小值為（）5y1214DA.2B.1C.3D.29.函數(shù)yx22x3x26x14的最小值為（）CA10B10C101D10110不等式a9b2b9a29等號(hào)成立的條件為（D）Aab3Bab9Ca2b23Da2b29二、填空題11設(shè)m,n,x,y0，且mn1，則uxy的最小值為.答案：xy2mn12設(shè)a,b為正數(shù)，則a12b1的最小值為.答案：9b2a213.函數(shù)U3x549x的最大值為.答案：1014.設(shè)x,y0,1，則x1yy1x的最大值為.答案：115.設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實(shí)數(shù)，Pabcd，Qamncbd，mn則P與Q的大小關(guān)系為.答案：PQ16

22、.若2x3y122的最小值為，最小值點(diǎn)為.答案：，則xy,2,3131313三、解答題17.求證：25a4a35.證明：由柯西不等式得45415a4a25a24a354a25a當(dāng)且僅當(dāng)5a4a即x11時(shí)等號(hào)成立.21518.設(shè)ab1，求證：a4b41.8證明：由柯西不等式得11a2b22121ab221ab.2再由柯西不等式得11a4b4a2b221124441ab.19已知p,qR且p3q32，求證：pq2.3311證明：設(shè)m(p2,q2),np2,q2，則3131p2q2p2p2q2q2mnmnp3q3pq2pq又pqpq222q22p2p2q22pqpq48pqpq38pq220求函數(shù)y

23、4x713x2的最大值.解：定義域?yàn)?3,13，由柯西不等式得1649131649x213x224x713x24x713x26513135當(dāng)且僅當(dāng)x13x2即x45時(shí)等號(hào)成立.475當(dāng)x45時(shí)，函數(shù)y4x713x2的最大值為135.521.試用柯西不等式求點(diǎn)P3,4到直線:2x3y50的距離.解：直線上的任意一點(diǎn)Q(x,y)到定點(diǎn)P3,4的距離為22x3y4由柯西不等式得22249x3y41822x33y4即x32y42132x3y1825132x32y4213當(dāng)且僅當(dāng)x3y4且2x3y5即xy1時(shí)等號(hào)成立.2322當(dāng)xy1時(shí)，x3y4取最小值13即為所求的距離.練習(xí)2一、選擇題1.設(shè)a,b,

24、c為正數(shù)，且abc1，則（D）A.1113B.1113C.1119D.abcabcabc1119abc2.設(shè)x,y,z為正數(shù)，且xyz1，則(A)A.x2y2z21B.x2y2z21C.x2y2z21D.339x2y2z2193.求使y12xy322xy62達(dá)到最小值的實(shí)數(shù)x,y的值（）A555515Ax,yBx,yCx3,y5Dx,y2634264.設(shè)a,b,c為正數(shù)，且abcA，則（D）A.1113B.1113C.1119D.1119abcAabcAabcAabcA5.設(shè)，則2x3yz的最小值為（）xyz1222BA3B6C3D7101111106.式子a2b2c2111的最小值為（）ab

25、cAA9B10C12D187.設(shè)x222y1z11，則函數(shù)W2xyz16的取值范圍為（D）4916A1040W1040B1041W1041C1840W1040D1841W18418.設(shè)a,b,c為正數(shù)且不全相等，判斷M9與N222的大?。―）abcabbccaAMNBMNCMNDMN9.設(shè)x1,x2,xn為正數(shù)，Wx1x2xn，U111，則下式成立的是（）x1x2BxnAWUn2BWUn2CWUn2DWUn210.設(shè)a,b,cR，則abac的最小值為（C）bccabA3B2C3D34211.已知,為銳角，且cos4sin41，則（A）22sincosA2B3CD5441212.若5162734

26、41，則函數(shù)1234的最小值為（）xxxxBM3x2x5xxA782B15C3D25157823二、填空題13.設(shè)n2,3,則123n與nn1的大小關(guān)系為.2答案：123nnn1214.若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a2b2c21，則函數(shù)Uabbcca的取值范圍為.1答案：U1215.設(shè)x,y,zR且1231，則xyz的最小值為.答案：9xyz2316.若0a,b,c1且abc2，則函數(shù)Ua2b2c2的取值范圍為.答案：4,2317.實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足2x3y5z29，則函數(shù)U2x13y45z6的最大值為.答案：23018.已知數(shù)據(jù)x1,x2,x10的平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)x1,x2,x5的平

27、均數(shù)的取值范圍為.答案：62,62三、解答題19.已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足xyz1，求證：14936xyzx3y3z3x2y2z23證明：由柯西不等式得1492(x12336yzx因此14936xyz由柯西不等式得3131312x2y2z22x2x2y2y2z2z2x3y3z3xyz由均值不等式得xyzx2y2z2332y2z2即xyz3x2將兩式相乘獲取：x2y2z2xyz3x3y3z3又xyz1因此x3y3z3x2y2z23220.設(shè)a1,a2,an為實(shí)數(shù)，b1,b2,bn為正數(shù)，求證：a12a22an2a1a2anb1b2bnb1b2bn證明：由柯西不等式得a12a22an2b1b2bnb

28、1b2bn2a1b1a2b2anbnb1b2bna1a2an2由于b1,b2,bn為正數(shù)，因此b1b2bn0故a122a22an2a1a2anb1b2bnb1b2bn21.設(shè)a,b,c,d為正實(shí)數(shù)，且abcd4，證明：a2b2c2d24ab2bcda證明：由于abcd4，要證原不等式成立，等價(jià)于證明a2b2c2d224abbcdabcdabcda事實(shí)上，a2b2c2d2cd)bcd(abaa22ab2c2bbcbc2d22ca2ddad1ab21bc21c212bcddada由柯西不等式得a2b2c22bcddabcdabcdaabbccdd2a又由bccddaba知22abbccdda4ab由可知式成立，從而原不等式成立.22.設(shè)a,b,c是