高考圓錐曲線中的定點及定值問題題型總結(jié)超全

1、.專題08 解鎖圓錐曲線中的定點與定值問題一、解答題1XX省XX市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中已知橢圓的左右焦點分別為,離心率為；圓過橢圓的三個頂點.過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點.求橢圓的標準方程；證明：在軸上存在定點,使得為定值；并求出該定點的坐標.答案12解析試題分析：設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個頂點,可求得,再根據(jù)橢圓的離心率求得,可得橢圓的方程；設(shè)直線的方程為,將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點的坐標,計算得。設(shè)x軸上的定點為,可得,由定值可得需滿足,解得可得定點坐標。解得。橢圓的標準方程為.證明：由題意設(shè)直線的方程為,由消去y整理得,設(shè),要使其為定值,需滿足,解得.故定點的坐標為

2、.點睛：解析幾何中定點問題的常見解法假設(shè)定點坐標,根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組,以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；從特殊位置入手,找出定點,再證明該點符合題意2XX省XX市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知斜率為的直線經(jīng)過點與拋物線為常數(shù)交于不同的兩點,當時,弦的長為.1求拋物線的標準方程；2過點的直線交拋物線于另一點,且直線經(jīng)過點,判斷直線是否過定點？若過定點,求出該點坐標；若不過定點,請說明理由.答案1;2直線過定點解析試題分析：1根據(jù)弦長公式即可求出答案；2由1可設(shè),則,則；同理：.由在直線上1；由在

3、直線上將1代入2將2代入方程,即可得出直線過定點2設(shè),則,則即；同理：；.由在直線上,即1；由在直線上將1代入2將2代入方程,易得直線過定點3XX省XX市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知拋物線過點,是上一點,斜率為的直線交于不同兩點不過點,且的重心的縱坐標為.1求拋物線的方程,并求其焦點坐標；2記直線的斜率分別為,求的值.答案1方程為;其焦點坐標為2解析試題分析;1將代入,得,可得拋物線的方程及其焦點坐標；2設(shè)直線的方程為,將它代入得,利用韋達定理,結(jié)合斜率公式以及的重心的縱坐標,化簡可的值；因為的重心的縱坐標為,所以,所以,所以,所以,又.所以.4已知橢圓的短軸端點到右焦點

4、的距離為2求橢圓的方程；過點的直線交橢圓于兩點,交直線于點,若,求證：為定值答案;詳見解析.解析試題分析：利用橢圓的幾何要素間的關(guān)系進行求解；聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于或的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的線性運算進行證明. 由題意直線過點,且斜率存在,設(shè)方程為,將代人得點坐標為,由,消元得,設(shè),則且,方法一：因為,所以. 同理,且與異號, 所以. 所以,為定值.當時,同理可得. 所以,為定值.同理,且與異號, 所以. 又當直線與軸重合時,所以,為定值.點睛本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程,整理成關(guān)于或的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解,因為

5、直線過點,在設(shè)方程時,往往設(shè)為,可減少討論該直線是否存在斜率.5XX省XX南山中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中考設(shè)拋物線：,為的焦點,過的直線與相交于兩點.1設(shè)的斜率為1,求；2求證：是一個定值.答案 2見解析解析試題分析：1把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、弦長公式即可得出；2把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積即可得出；2證明：設(shè)直線的方程為,由得,是一個定值.點睛：熟練掌握直線與拋物線的相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、過焦點的弦長公式、向量的數(shù)量積是解題的關(guān)鍵,考查計算能力,直線方程設(shè)成也給解題帶來了方

6、便.6XXXX市第三十三中2016-2017學(xué)年高一下學(xué)期期末已知橢圓C:的離心率為,右焦點為.求橢圓C的方程;若過原點作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點,求證:點O到直線AB的距離為定值.答案 ,O到直線 的距離為定值.解析試題分析：1根據(jù)焦點和離心率列方程解出a,b,c；2對于AB有無斜率進行討論,設(shè)出A,B坐標和直線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計算；有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+ =x1x2+km=0 代入,得4m2=3k2+3原點到直線AB的距離 , 當AB的斜率不存在時,可得, 依然成立.所以點O到直線的距離為定值 . 點睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與圓

7、錐曲線的位置關(guān)系,分類討論思想,對于這類題目要掌握解題方法設(shè)而不求,套用公式解決7XX省XX市石室中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考已知雙曲線漸近線方程為,為坐標原點,點在雙曲線上求雙曲線的方程；已知為雙曲線上不同兩點,點在以為直徑的圓上,求的值答案；.解析試題分析：1根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標準方程,代入點M的坐標求得參數(shù)即可；2由條件可得,可設(shè)出直線的方程,代入雙曲線方程求得點的坐標可求得。由題意知。設(shè)直線方程為,由 ,解得,。由直線方程為.以代替上式中的,可得。 8XX省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考已知橢圓E:經(jīng)過點P,且離心率為求橢圓的標

8、準方程；設(shè)O為坐標原點,在橢圓短軸上有兩點M,N滿足,直線PM、PN分別交橢圓于A,B探求直線AB是否過定點,如果經(jīng)過定點請求出定點的坐標,如果不經(jīng)過定點,請說明理由答案1；2直線AB過定點Q0,2.解析試題分析：1根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；2先由特殊情況得到結(jié)果,再考慮一般情況,聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù),根據(jù)韋達定理,和向量坐標化的方法,得到結(jié)果。x1+x2=,x1x2=, 又直線PA的方程為y1=x2,即y1=x2,因此M點坐標為0,同理可知：N0,當且僅當t=2時,對任意的k都成立,直線AB過定點Q0,2.9廣西XX市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考已知橢圓的左,右焦點分

9、別為.過原點的直線與橢圓交于兩點,點是橢圓上的點,若,且的周長為.1求橢圓的方程；2 設(shè)橢圓在點處的切線記為直線,點在上的射影分別為,過作的垂線交軸于點,試問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.答案;1.解析試題分析;1設(shè),則,設(shè), ,以及, ,由,由橢圓的定義可得,結(jié)合,綜合可得：,可得橢圓的方程；2由1知,直線的方程為：,由此可得.,又,的方程為,可得則可得,又,.,故.當直線平行于軸時,易知,結(jié)論顯然成立.綜上,可知為定值1.有,則,綜合可得：橢圓的方程為：.2由1知,直線的方程為：即：,所以.,的方程為,令,可得,則又點到直線的距離為,.當直線平行于軸時,易知,結(jié)論顯然成

10、立.綜上,.點睛本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程,直線與圓的位置關(guān)系,是解析幾何的綜合應(yīng)用,難度較大10XX省XX第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考在平面直角坐標系xOy中,直線與拋物線y24x相交于不同的A,B兩點,O為坐標原點 如果直線過拋物線的焦點且斜率為1,求的值；2如果,證明：直線必過一定點,并求出該定點.答案18；2證明見解析解析試題分析：根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標,設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程,是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求出弦長；設(shè)出直線的方程,同拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)

11、根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積,根據(jù)數(shù)量積等于4,做出數(shù)量積表示式中的b的值,即得到定點的坐標令b24b4,b24b40,b2,直線l過定點若4,則直線l必過一定點點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定定點是什么、定值是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似,在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù),運用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點、定值顯現(xiàn).11XX省XX市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓,且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為,最小距離為.1求橢圓的方程；2過點的動直線交橢圓于兩點,試

12、問：在坐標平面上是否存在一個定點,使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標：若不存在,請說明理由.答案 橢圓方程為; 以線段為直徑的圓恒過點.當與軸平行時,以線段為直徑的圓的方程為.故若存在定點,則的坐標只可能為.下面證明為所求：若直線的斜率不存在,上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在,設(shè)直線,即以線段為直徑的圓恒過點.點睛：這個題是圓錐曲線中的典型題目,證明定值定點問題。第一問考查幾何意義,第二問是常見的將圖的垂直關(guān)系,轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,將垂直轉(zhuǎn)化為向量點積為0 ,再者就是向量坐標化的意識。還有就是這種證明直線過定點問題,可以先通過特殊位置猜出結(jié)果,再證明。12XX省XX市新津中學(xué)2018

13、屆高三11月月考已知橢圓的離心率為,且過點.1求橢圓的方程；2設(shè)是橢圓長軸上的一個動點,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,求證：為定值.答案1；2證明見解析.解析試題分析：1由橢圓的離心率,求得,由,得,將點代入,即可求得和的值,求得橢圓方程；2設(shè),直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達,根據(jù)兩點間的距離公式將用表示,化簡后消去即可得結(jié)果.定值,為定值.方法點睛本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標準方程、韋達定理的應(yīng)用以及圓錐曲線的定值問題,屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量

14、,從而得到定值.13北京XX日壇中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓的離心率為,半焦距為,且,經(jīng)過橢圓的左焦點,斜率為的直線與橢圓交于, 兩點,為坐標原點I求橢圓的標準方程II設(shè),延長, 分別與橢圓交于, 兩點,直線的斜率為,求證：為定值答案I；II見解析.解析試題分析：I依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標準方程;II設(shè), 可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達定理可求得,進一步可求, 同理,從而可得,化簡運算即可.試題解析：I由題意,得解得,故橢圓的方程為點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點,屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方

15、程,求出即可,注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時,未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出,再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用1420172018學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修11 課時跟蹤訓(xùn)練已知平面內(nèi)的動點P到定直線l：x的距離與點P到定點F之比為.求動點P的軌跡C的方程；若點N為軌跡C上任意一點,過原點O作直線AB,交中軌跡C于點A、B,且直線AN、BN的斜率都存在,分別為k1、k2,問k1k2是否為定值？答案 k1k2解析試題分析：1設(shè)出點P,利用兩點間的距

16、離公式分別表示出P到定直線的距離和到點F的距離的比,建立方程求得x和y的關(guān)系式,即P的軌跡方程2設(shè)出N,A,則B的坐標可知,代入圓錐曲線的方程相減后,可求得k1k2證明原式試題解析：設(shè)點P,依題意,有.整理,得1.所以動點P的軌跡C的方程為1.由題意,設(shè)N,A,則B,1,1.k1k2,為定值15XX省雞澤縣第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考如圖,已知橢圓的左焦點為,過點F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點,且求橢圓C的標準方程：若M,N為橢圓上異于點A的兩點,且直線的傾斜角互補,問直線MN的斜率是否為定值?若是,求出這個定值；若不是,請說明理由答案; .試題解析:1由題意可知,令,代入橢

17、圓可得,所以,又,兩式聯(lián)立解得：, . 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),在上式中以代替,可得,所以直線的斜率,即直線的斜率為定值,其值為. 點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一,尤其是弦中點問題,弦長問題,可用韋達定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用16北京市西城魯迅中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中過點且與直線相切,設(shè)圓心的軌跡為曲線,在軸的右側(cè)為曲線上的兩點,點,且滿足求曲線的

18、方程若,直線的斜率為,過,兩點的圓與拋物線在點處共同的切線,求圓的方程分別過,作曲線的切線,兩條切線交于點,若點恰好在直線上,求證：與均為定值答案 見解析解析試題分析：1由拋物線定義得曲線為拋物線,根據(jù)基本量可得其標準方程2先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點坐標,再利用導(dǎo)數(shù)求出在點處的切線的斜率,則得圓心與A連線的直線方程,設(shè)圓一般式方程,利用三個條件解方程組得圓的方程3設(shè),則利用導(dǎo)數(shù)求出在點處的切線的斜率,利用點斜式寫出切線方程,同理可得,即得兩根為,利用韋達定理化簡直線AB斜率得,即得AB方程為,因此,再根據(jù)向量數(shù)量積可計算得=0由,得,即,拋物線在點處切線的斜率圓的方程為,整理

19、得設(shè),過點的切線方程為,即,同理得,又,整理得,與均為定值點睛：1.求定值問題常見的方法有兩種從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值2定點的探索與證明問題探索直線過定點時,可設(shè)出直線方程為,然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元,借助于直線系的思想找出定點從特殊情況入手,先探求定點,再證明與變量無關(guān)17XX市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考已知拋物線上一點到焦點的距離為.l求拋物線的方程；2拋物線上一點的縱坐標為1,過點的直線與拋物線交于兩個不同的點均與點不重合,設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.答案；證明見解析.解析試題分析：1由焦半徑定

20、義和點在拋物線上建立兩個方程,兩個未知數(shù),可求得拋物線方程。2由1知拋物線的方程,及,設(shè)過點的直線的方程為,代入得,由韋達定理可求得為定值上。2點在拋物線上,且.,設(shè)過點的直線的方程為,即,代入得,設(shè),則,所以.18如圖,橢圓經(jīng)過點,且離心率為求橢圓的方程經(jīng)過點,且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點,均異于點,判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值,求出改定值；若不是定值,請說明理由答案1斜率之和為定值解析1根據(jù)題意知：,結(jié)合,解得：,橢圓的方程為：從而直線,的斜率之和：故直線、斜率之和為定值點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點,屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時,未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出,再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約