空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(附規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2理解兩異面直線的定義，會(huì)求兩異面直線所成的角.3能用公理4解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題.戸知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一空間中兩條直線的位置關(guān)系1異面直線(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.要點(diǎn)分析：異面直線的定義表明：異面直線不具備確定平面的條件異面直線既不相交,也不平行.不能誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線如圖中，雖然有aUa,bup,即a,b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍Hb=O,所以a與b不是異面直線.(2)畫(huà)法：畫(huà)異面直線時(shí)，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點(diǎn)，常常需要畫(huà)一個(gè)或

2、兩個(gè)輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性、立體感如圖所示，a與b為異面直線.(3)判斷方法方法內(nèi)容定義法依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)定理法過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)反證法假設(shè)這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設(shè)兩條直線相交或平行)，結(jié)合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而判定假設(shè)“兩條直線不是異面直線”是錯(cuò)誤的，進(jìn)而得出結(jié)論：這兩條直線是異面直線2空間中兩條直線位置關(guān)系的分類(1)按兩條直線是否共面分類廠相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)丿共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線：不同在任何一個(gè)平

3、面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)(2)按兩條直線是否有公共點(diǎn)分類有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線無(wú)公共點(diǎn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線無(wú)公共點(diǎn)平行直線異面直線思考(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？(2)兩條垂直的直線必相交嗎？答(1)不一定.可能相交、平行或異面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直.知識(shí)點(diǎn)二公理4(平行公理)文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性符號(hào)語(yǔ)言allcbileQab圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)三空間等角定理1.定理文字語(yǔ)言空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).符號(hào)語(yǔ)言O(shè)AHOA,OBHOBZAOB=ZAOB或ZAOB+ZAOB

4、=180。圖形語(yǔ)言川erv/AB0上AO-A作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面知識(shí)點(diǎn)四異面直線所成的角1.概念：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aHa,bb，我們把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2異面直線所成的角0的取值范圍：OV0W9O.3如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直兩條互相垂直的異面直線a，b,記作a丄b.4異面直線所成的角的兩種求

5、法（1）在空間任取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O分別作aa,bb,則a與b所成的銳角（或直角）為異面直線a與b所成的角，然后通過(guò)解三角形等方法求角.（2）在其中一條直線上任取一點(diǎn)（如在b上任取一點(diǎn)）O,過(guò)點(diǎn)O作另一條直線的平行線（如過(guò)點(diǎn)O作aa），則兩條直線相交所成的銳角（或直角）為異面直線所成的角（如b與a所成的角），然后通過(guò)解三角形等方法求角（如圖）.題型探究題型一空間兩條直線的位置關(guān)系的判定例1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面答案D解析可借助長(zhǎng)方體來(lái)判斷.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AD所在直線為a,AB所在直線為b,已知a

6、和b是異面直線,b和c是異面直線，則c可以是長(zhǎng)方體ABCDABCD中的BC,CC,DD.故a和c可以平行、相交或異面.DfADfAbB跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCDABCD中，判斷下列直線的位置關(guān)系：（1）直線AB與直線D1C的位置關(guān)系是；（2）直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是；直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是.答案(1)平行(2)異面(2)相交(4)異面解析序號(hào)結(jié)論理由(1)平行因?yàn)锳D綊BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以ABDC(2)異面AB與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(3)相交D1DHD1C=D1(4)異面AB與BC不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

7、題型二公理4、等角定理的應(yīng)用例2E,F分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A/,C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.DCl證明設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ,QC1.DCl因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以EQ/AD.11又因?yàn)樵诰匦蜛BCD.中，AD/BC,1111iiii所以EQ/BC.ii所以四邊形EQC1B1為平行四邊形所以BE/CQ.又因?yàn)镼,F分別是矩形DD1C1C兩邊D1D,C1C的中點(diǎn)，所以QD/CF.所以四邊形DQC1F為平行四邊形.所以CQ/FD.1又因?yàn)锽E/CQ，所以BE/FD.所以四邊形BEDF為平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知E,F,G,H分別是空間四邊形

8、ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面；若四邊形EFGH是矩形，求證：AC丄BD.證明(1)在AABD中，TE,H分別是AB，AD的中點(diǎn)，:、EH/BD.同理FGBD,則EH/FG.故E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)由(1)知EH/BD,同理AC/GH.又J四邊形EFGH是矩形，.：EH1GH.故ACLBD.題型三異面直線所成的角A例3如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=CD,AB丄CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角.A解如圖，取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG.因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，AB=CD,所以EG/CD,GF/AB,且EG

9、=2CD,gf=1ab.所以ZGFE就是EF與AB所成的角或其補(bǔ)角，EG=GF.因?yàn)锳B丄CD,所以EG丄GF.所以ZEGF=90.所以4EFG為等腰直角三角形.所以ZGFE=45,即EF與AB所成的角為45.跟蹤訓(xùn)練3空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.解取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EG/*B,GF/2cD.故直線GE,EF所成的銳角即為AB與EF所成的角,直線GE,GF所成的銳角即為AB與CD所成的角.TAB與CD所成的角為30,:.ZEGF=30或150.由AB=CD，知EG=FG,.EFG為等腰三角形

10、.當(dāng)ZEGF=30。時(shí)，ZGEF=75；當(dāng)ZEGF=150時(shí)，ZGEF=15.故EF與AB所成的角為15或75.數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想例5在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2a,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF=*a，求異面直線AD,BC所成的角.分析要求異面直線AD,BC所成的角，可在空間中找一些特殊點(diǎn)，將AD,BC平移至一個(gè)三角形中此題已知E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，故可尋找一邊中點(diǎn)，如BD的中點(diǎn)M，則ZEMF（或其補(bǔ)角）為所求角.C解如圖，取BD的中點(diǎn)M.由題意，知EM為ABAD的中位線,所以EM/AD且EM=*D.C同理，MF/BC且MF=*BC.所以EM=a,MF=a,且ZEM

11、F（或其補(bǔ)角）為所求角.在等腰AMEF中，取EF的中點(diǎn)N，連接MN則MNLEF.又因?yàn)镋F=/3a,3所以EN=2a.,ENV3故有smZEMN=EM=.所以ZEMN=60，所以ZEMF=2ZEMN=120.因?yàn)閆EMF=12090。，所以AD，BC所成的角為/EMF的補(bǔ)角，即AD和BC所成的角為60.解題技巧反證法的合理應(yīng)用例6如圖，三棱錐P-ABC中，E是PC上異于點(diǎn)P的點(diǎn)求證：AE與PB是異面直線.分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個(gè)平面內(nèi)中的“任何”開(kāi)始入手，一個(gè)平面一個(gè)平面地尋找是不可能實(shí)現(xiàn)的，因此必須找到一個(gè)間接證法來(lái)證明，反證法即是一種行之有效的方法.證明假設(shè)AE與PB不是異

12、面直線，設(shè)AE與PB都在平面a內(nèi)，因?yàn)镻Ga,EWa，所以PEa.又因?yàn)镃WPE，所以CWa.所以點(diǎn)P,A,B,C都在平面a內(nèi).這與P,A,B,C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾.于是假設(shè)不成立，所以AE與PB是異面直線.尹當(dāng)堂檢測(cè)自晉自糾1若空間兩條直線Q和b沒(méi)有公共點(diǎn)，則Q與b的位置關(guān)系是（）共面B.平行C.異面D.平行或異面2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）A.平行或異面B.相交或異面C.異面D.相交3設(shè)P是直線l外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與l成30角的異面直線（）A.有無(wú)數(shù)條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條4.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所

13、在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN5在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與A所成角的余弦值為戸課時(shí)精練一、選擇題1分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.定平行B.定相交C.一定異面D.相交或異面TOC o 1-5 h z2已知空間兩個(gè)角a,B，a與B的兩邊對(duì)應(yīng)平行，且a=60。，則“等于（）A.60。B.120。C.30。D.60?；?203在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1所成的角為（）A.30。B.45。C.60。D.90。4下面四種說(shuō)法：若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；若直線a、b相交，b、c相交，則a

14、、c相交；若ab，則a、b與c所成的角相等；若alb,b丄c，則allc.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.15空間四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是（）A.梯形B.矩形C.平行四邊形D.正方形6若空間四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別是8,12,則過(guò)AB的中點(diǎn)E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長(zhǎng)為（）A.10B.20C.8D.47如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘CEB述正確的是（）CEBA.CC、與BE是異面直線CC與AE共面AE與BC是異面直線AE與B,C,所成的角為60

15、二、填空題8在四棱錐PABCD中，各棱所在的直線互相異面的有對(duì).9.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：AB丄EF；AB與CM所成的角為60。；EF與MN是異面直線；MNCD.以上結(jié)論中正確的序號(hào)為.E10如圖所示，在正方體ABCDABCD中，異面直線AB與AD所成的角為,三、解答題11.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,BC=&,DA丄AC,DA丄AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值.12如圖，E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且有AE:EB=AH：HD=m,CF:FB=CG:GD=n.證明：E,F,G,

16、H四點(diǎn)共面；m,n滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形?在(2)的條件下，若/C丄BD,試證明：EG=FH.當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案D解析若直線a和b共面，則由題意可知a/b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.2.答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線，又AA/BB,A.A/DD,顯然BB1HBC=B,DD與BC是異面直線，故選B.CC3.答案A解析我們現(xiàn)在研究的平臺(tái)是錐空間如圖所示，過(guò)點(diǎn)p作直線廠1,以t為軸，與r成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角.4.答案解析中，VG,M是中點(diǎn)，：AG綊BM,：GM綊AB綊HN,:GH/MN，即G,

17、H,M，N四點(diǎn)共面；中，VH,G,N三點(diǎn)共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi)，：H,G，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面；中，VG，M是中點(diǎn)，:GM2cD，-GM綊HN，即GMNH是梯形，則HG，MN必相交，:H，G，M，N四點(diǎn)共面;中，同，G,H,M,N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面.解析設(shè)棱長(zhǎng)為1,因?yàn)锳BJ/CD所以ZAED、就是異面直線AE與AB所成的角.在AED1中,cosZAEDcosZAED=DEAE1-3=1-2-3-2課時(shí)精練答案一、選擇題1.答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行（否則與條件矛盾）.C2答案DC解析由等角定理，知B與a相等或互補(bǔ)，故卩=6

18、0?；?20.3答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BBJ/CC,故ZBA】就是異面直線BA1與CC1所成的角，故為45.4答案D解析若a、b異面，b、c異面，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對(duì).若a、b相交，b、c相交，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對(duì).若alb,b丄c,則a、c平行、相交、異面均有可能，故不對(duì)正確.5答案D解析如圖，因?yàn)锽D丄AC,且BD=AC，又因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，所以FG/EH/|bD，HGEF*C.所以FG丄HG,且FG=HG.所以四邊形EFGH為正方形.6答案B解析設(shè)截面四邊形為EFGH，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，B

19、C，CD，DA的中點(diǎn)，:EF=GH=2=2AC=4，F(xiàn)G=HE=BD=6,周長(zhǎng)為2X(4+6)=20.7答案C解析由于CC1與B1E都在平面CBBC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面CBBC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，AABC為正三角形，所以AE丄BC,D錯(cuò)誤綜上所述,故選C.二、填空題8答案8解析以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行考察，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平面圖形,4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對(duì)異面直線，所以共有4X2=8（對(duì)）異面直線.9答案解析把正方體的平面展開(kāi)圖還原成原來(lái)的正方體，如圖所示，AB丄EF,EF與MN是異面直線，AB/CM,MN丄CD,只有正確.10.答案10.答案60解析連