材料力學(xué)中基本變形下內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法

1、材料力學(xué)中基本變形下內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法摘 要文章結(jié)合土木類專業(yè)和材料力學(xué)課程的特點(diǎn)，探索材料力學(xué)中基本變形下內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。在研究構(gòu)件的強(qiáng) 度和剛度等問(wèn)題時(shí)，均與內(nèi)力這個(gè)因素有關(guān)，經(jīng)常需要知道構(gòu)件在已知外力作用下某一截面上的內(nèi)力值。文章在截面法的基礎(chǔ) 上總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。內(nèi)力與外力有關(guān)，等于外力或外力矩的代數(shù)和，而 外力和外力矩符號(hào)的確定是關(guān)鍵。此方法的優(yōu)點(diǎn)是將外力和外力矩的符號(hào)與變形聯(lián)系起來(lái)，更加方便記憶和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了將材 料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問(wèn)題的工具。關(guān)鍵詞土木類專業(yè);材料力學(xué);基本變形；內(nèi)力；截面法材料力學(xué)是土木工程等專業(yè)的學(xué)

2、科基礎(chǔ)課，它以高 等數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、大學(xué)物理等課程為基礎(chǔ)，同時(shí)又為結(jié) 構(gòu)力學(xué)以及一系列專業(yè)課打下重要基礎(chǔ)。材料力學(xué)課 程的基本任務(wù)是將工程結(jié)構(gòu)中的簡(jiǎn)單構(gòu)件簡(jiǎn)化為桿件, 并對(duì)桿中的應(yīng)力、變形以及穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析，保證 結(jié)構(gòu)能承受預(yù)定的載荷，選擇適當(dāng)?shù)牟牧?、截面形狀?尺寸,設(shè)計(jì)出既安全又經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。課程目標(biāo)為利 用材料力學(xué)的常用分析方法，研究桿件四種基本變形及 其受力變形的基本規(guī)律，建立工程相關(guān)力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ) 知識(shí)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，為后續(xù)課程打下重要基礎(chǔ)。通過(guò)學(xué)習(xí) 桿件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等基本知識(shí)，掌握簡(jiǎn)單超靜定、 應(yīng)力狀態(tài)、強(qiáng)度理論、組合變形及壓桿穩(wěn)定等復(fù)雜工程 問(wèn)題的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)

3、題與解決問(wèn)題的能 力。土木類專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)適應(yīng)國(guó)家現(xiàn)代化建 設(shè)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，服務(wù)城鎮(zhèn)化和城市現(xiàn)代化進(jìn)程，德、 智、體、美、勞全面發(fā)展;熟練運(yùn)用基礎(chǔ)理論和專業(yè)知識(shí), 具備獲得土木工程及相關(guān)領(lǐng)域執(zhí)業(yè)資格的能力；能在房 屋、道路、橋梁、地下等相關(guān)行業(yè)獨(dú)立承擔(dān)技術(shù)或管理工 作;具有創(chuàng)新意識(shí)、人文素養(yǎng)、社會(huì)責(zé)任感和一定國(guó)際視 野，以及良好的組織管理、溝通協(xié)調(diào)能力；在終身學(xué)習(xí)、 專業(yè)發(fā)展和領(lǐng)導(dǎo)能力上能夠持續(xù)進(jìn)步，成為土木工程及 相關(guān)領(lǐng)域的復(fù)合型應(yīng)用人才。根據(jù)土木類專業(yè)的培養(yǎng) 目標(biāo)和材料力學(xué)課程的特點(diǎn)，將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化 為解決工程問(wèn)題的工具應(yīng)該是土木類專業(yè)材料力學(xué)課 程教學(xué)中的關(guān)鍵，也應(yīng)該區(qū)別

4、于力學(xué)和物理專業(yè)材料力 學(xué)課程的教學(xué)。物體的內(nèi)力一般是指物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相互 作用力。物體未受外力作用時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間就存 在著內(nèi)力，這種內(nèi)力能使質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變，從 而使物體保持一定的幾何形狀l1Jo當(dāng)物體受外力作用而 變形時(shí)，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離發(fā)生改變，從而引起內(nèi) 力的改變，即產(chǎn)生了附加內(nèi)力口。材料力學(xué)所研究的內(nèi) 力，就是物體內(nèi)部各部分之間由外力作用而引起的附加 內(nèi)力，簡(jiǎn)稱為內(nèi)力。這種內(nèi)力隨外力的增加而增加，到 達(dá)某一極限值時(shí)構(gòu)件就會(huì)發(fā)生破壞。在研究構(gòu)件的強(qiáng) 度、剛度等問(wèn)題時(shí)，均與內(nèi)力這個(gè)因素有關(guān)，經(jīng)常需要知 道構(gòu)件在已知外力作用下某一截面上的內(nèi)力值,教學(xué)中 采用圖1所示分

5、析方法。截面法為材料力學(xué)中求解構(gòu)件 內(nèi)力的常用方法A5，其基本思想是:無(wú)論構(gòu)件發(fā)生何種 變形，畫脫離體受力圖時(shí)，其截面上的內(nèi)力方向統(tǒng)一設(shè) 成與規(guī)定內(nèi)力正向相一致,然后按照設(shè)定的參考軸建立 力系的平衡方程。求解所得的數(shù)值為正，說(shuō)明所設(shè)內(nèi)力 方向與實(shí)際同向，數(shù)值為負(fù)說(shuō)明所設(shè)內(nèi)力方向與實(shí)際反 向。此外還可從撓曲線的一般形式出發(fā)，通過(guò)邊界條件 確定待定常數(shù),能同時(shí)得到撓曲線方程，轉(zhuǎn)角方程，彎矩 方程，剪力方程和支座反力回。本文在截面法的基礎(chǔ)上 總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi) 力求解的簡(jiǎn)便方法。此方法的優(yōu)點(diǎn)是將外力和外力矩應(yīng)力 強(qiáng)度分析外力 I內(nèi)力I變形 剛度分析圖1材料力學(xué)分析方法的

6、符號(hào)與變形聯(lián)系起來(lái)，更加方便記憶和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了 將材料力學(xué)中的理論轉(zhuǎn)化為解決工程問(wèn)題的工具。一、軸向拉壓變形軸向受拉桿件圖2(a)所示，運(yùn)用截面法求解橫截面 m-m的內(nèi)力，首先用假想截面在此處將桿件截?cái)?，保?左部分或右部分為脫離體，用內(nèi)力來(lái)代替移去部分對(duì) 保留部分的作用，其作用線與桿的軸線重合，即垂直于 橫截面并通過(guò)其形心，故稱這種內(nèi)力為軸力，用符號(hào)Fn 表示。圖2軸向拉伸試件取右段脫離體n為研究對(duì)象,根據(jù)軸力符號(hào)規(guī)定如 圖3所示，假設(shè)橫截面上的軸力為正，畫脫離體的受力 圖，如圖2(b)所示。由于原直桿處于平衡狀態(tài)，故截開(kāi) 后各部分仍應(yīng)維持平衡。根據(jù)平衡條件列平衡方程得圣八=0,Fn - F

7、 = 0,(1)F n= F圖3軸力符號(hào)規(guī)定對(duì)于所研究的構(gòu)件來(lái)說(shuō)，其他構(gòu)件作用于該構(gòu)件上 的力稱為外力。構(gòu)件的內(nèi)力是由外力引起的，內(nèi)力是與 變形相聯(lián)系的，內(nèi)力總是與變形同時(shí)產(chǎn)生的。內(nèi)力作用 的趨勢(shì)則是使受力構(gòu)件恢復(fù)原狀，內(nèi)力對(duì)變形起抵抗和 阻止作用。由式(1)可得出軸向拉壓構(gòu)件的軸力等于脫 離體上的所有軸向外力的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用 固定端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖2(c)所示。 由式(1)可得出當(dāng)軸向外力使懸臂梁拉伸時(shí)，在平衡方 程中軸力與軸向外力符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符 號(hào)相同，軸向外力取正號(hào)。由此得出軸向外力使懸臂梁 拉伸時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁壓縮時(shí)取負(fù)號(hào),此方法的優(yōu)點(diǎn) 是無(wú)

8、論取左半段還是右半段脫離體為研究對(duì)象此方法 都適用，且將軸向外力的符號(hào)與變形聯(lián)系起來(lái)。二、扭轉(zhuǎn)變形如圖4(a)所示圓軸受到一對(duì)外力偶Me的作用，使 其產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)變形,求任一橫截面m-m上的內(nèi)力?？梢?采用截面法,設(shè)想將桿件沿m-m截面截成兩段，并取右 段n為脫離體如圖4(b)所示，那么m-m截面上必有一 內(nèi)力偶作用,該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。圖4 扭轉(zhuǎn)試件取右段脫離體n為研究對(duì)象,根據(jù)扭矩符號(hào)規(guī)定如 圖5所示，假設(shè)橫截面上的扭矩為正，畫脫離體的受力 圖，如圖4(b)所示。根據(jù)平衡條件列平衡方程得x=0 , -T + Me = 0,2)T = M2)圖5圖5扭矩符號(hào)規(guī)定圖6彎曲試件由式(2)

9、可得出扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的扭矩等于脫離體上的所 有外力偶矩的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束 代替，使脫離體成為懸臂梁如圖4(c)所示。由式(2)可 得出當(dāng)向固定端看去外力偶使懸臂梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在 平衡方程中扭矩與外力偶矩符號(hào)相反，而移到等式另一 端時(shí)符號(hào)相同，外力偶矩取正號(hào)。由此得出當(dāng)向固定端 看去外力偶使懸臂梁逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁順 時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào)。三、彎曲變形彎曲變形是工程中最常見(jiàn)的一種變形形式。在工 程實(shí)際中，受到荷載作用產(chǎn)生彎曲變形的桿件是很多 的，通常把這種以彎曲變形為主的桿件叫作梁。如圖6 (a)所示的懸臂梁，在外力作用下處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)假 想在距右端為a的橫截面處，用一假想

10、的橫截面m-m將 此懸臂梁截為兩段,取右半段口為脫離體，并用內(nèi)力來(lái) 代替左半段I對(duì)它的作用如圖6(b)所示。為使右半段 脫離體保持平衡，在其截面上應(yīng)該有兩個(gè)內(nèi)力，沿截面 切線方向的剪力FS和縱向平面內(nèi)的彎矩M。取右段脫離體:為研究對(duì)象,根據(jù)剪力和彎矩符號(hào) 規(guī)定如圖7所示，假設(shè)橫截面上的剪力和彎矩為正，畫脫 離體的受力圖，如圖6(b)所示。根據(jù)平衡條件列平衡方 程得f, = o,-F + F s = 0,(3)Fs = F由式(3)可得出彎曲構(gòu)件的剪力值等于脫離體上的 所有外力橫向外力的代數(shù)和。將截面處的內(nèi)力用固定 端約束代替，使脫離體成為懸臂梁如圖6(c)所示。由式 (3)可得出當(dāng)橫向外力使懸

11、臂梁繞固定端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)，在平衡方程中剪力與橫向外力符號(hào)相反，而移到等 式另一端時(shí)符號(hào)相同，橫向外力取正號(hào)。由此得出橫向 外力使懸臂梁繞固定端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，使懸臂梁 繞固定端逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)號(hào)。由式(4 )可得出彎曲構(gòu)件的彎矩值等于脫離體上的 所有外力(橫向外力和外力偶)對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù) 和。將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，使脫離體成為 懸臂梁如圖6(c)所示。由式(4)可得出當(dāng)外力使懸臂梁 下側(cè)受拉時(shí),在平衡方程中彎矩與外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩 的符號(hào)相反，而移到等式另一端時(shí)符號(hào)相同，外力對(duì)截 面形心點(diǎn)矩取正號(hào)。由此得出外力使懸臂梁下側(cè)受拉 時(shí)外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正號(hào)，使懸臂梁下側(cè)受壓

12、時(shí)外 力對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)號(hào)。四、應(yīng)用算例梁橫截面上的剪力和彎矩都是隨橫截面的位置變 化而變化的。由于在進(jìn)行梁的應(yīng)力和變形計(jì)算時(shí)，需要 知道沿梁軸線橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律。為了 形象地表明剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，通常用剪 力圖和彎矩圖將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況表示 出來(lái)。繪制剪力圖和彎矩圖的關(guān)鍵就是計(jì)算剪力和彎 矩值,下面的例題運(yùn)用本文提出的彎曲變形內(nèi)力求解的 簡(jiǎn)便方法，計(jì)算剪力值和彎矩值,進(jìn)而繪制剪力圖和彎 矩圖。例題外伸梁尺寸及其上荷載如圖8(a)所示，試作 該外伸梁的剪力圖和彎矩圖。圖8剪力圖和彎矩圖解:首先求出梁的支座反力:FRA=8kN, FRB=12kN(1)作剪力

13、圖AB段作用有向下的均布荷載，即荷載集度方程為q (x)=常數(shù)Cv0,所以剪力圖為向下傾斜直線段;BC段沒(méi) 有荷載作用，即荷載集度方程為q(x)=0，所以剪力圖為 平行梁軸線的水平線段。無(wú)限靠近A點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值 等于脫 離體上所有橫向外力的代數(shù)和，取左半段為脫離體，并 將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力Fra使左 半段懸臂梁繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正值,所以無(wú)限靠近A 點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值FSa 右=FRao無(wú)限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值等于脫離 體上所有橫向外力的代數(shù)和，取右半段為脫離體，并將 截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力FRb使右半 段懸臂梁繞截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)值，

14、所以無(wú)限靠近B點(diǎn) 左側(cè)截面上的剪力值FSb左=-Frb。無(wú)限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值等于脫離 體上所有橫向外力的代數(shù)和,取右半段為脫離體，無(wú)橫 向外力，所以無(wú)限靠近B點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值右=0。無(wú)限靠近C點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值等于脫離 體上所有橫向外力的代數(shù)和，取右半段為脫離體，無(wú)橫 向外力，所以無(wú)限靠近C點(diǎn)左側(cè)截面上的剪力值孩左=0。表1剪力值位置A右B左B右C左剪力F,(kN)8_1200根據(jù)以上剪力值并結(jié)合各段剪力圖線形，便可繪出 剪力圖如圖8(b)所示。(2)作彎矩圖AB段作用有向下的均布荷載，即荷載集度方程為q (x)=常數(shù)v0,所以彎矩圖為下凸二次拋物線；BC段沒(méi) 有荷載作

15、用，即荷載集度方程為q(x)=0，所以彎矩圖為 傾斜直線。無(wú)限靠近A點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值等于脫離 體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和,取左半段為脫 離體，橫向外力Fra對(duì)截面形心點(diǎn)的矩為零，所以無(wú)限靠 近A點(diǎn)右側(cè)截面上的剪力值Ma右=0。無(wú)限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值等于脫離 體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫 離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力 Frb對(duì)截面形心點(diǎn)的矩為零,外力偶Mc使右半段懸臂梁 下側(cè)受壓,外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，所以無(wú)限 靠近B點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值Mb左=-McO無(wú)限靠近B點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值等于脫離 體上所有外力對(duì)截面形心

16、點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫 離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替,外力偶Me 使右半段懸臂梁下側(cè)受壓,外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取 負(fù)值,所以無(wú)限靠近B點(diǎn)右側(cè)截面上的彎矩值Mb w-M。無(wú)限靠近C點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值等于脫離 體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代數(shù)和，取右半段為脫 離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端約束代替,外力偶Me 使右半段懸臂梁下側(cè)受壓,外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取 負(fù)值,所以無(wú)限靠近C點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩值Mc左=-m。當(dāng)彎矩圖為拋物線時(shí)還應(yīng)確定極值點(diǎn)才能繪出彎 矩圖，求出剪力Fs=0的截面位置以確定彎矩的極值。假 設(shè)該截面距離梁左端點(diǎn)為X,截面上的剪力值等于脫離 體上所有橫向外

17、力的代數(shù)和，取左半段為脫離體，并將 截面處的內(nèi)力用固定端約束代替，橫向外力fra使左半 段懸臂梁繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正值，均布荷載簡(jiǎn)化為的 集中力使左半段懸臂梁繞截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)值，于是 可求出在X處截面上剪力值,并令它為零。FS = FR _ qx = 0AB段內(nèi)在剪力為零的截面上彎矩有極值，截面上 的彎矩值等于脫離體上所有外力對(duì)截面形心點(diǎn)矩的代 數(shù)和，取右半段為脫離體，并將截面處的內(nèi)力用固定端 約束代替，橫向外力Fra使右半段懸臂梁下側(cè)受拉，橫向 外力FRa對(duì)截面形心點(diǎn)矩取正值,外力偶Me使右半段懸 臂梁下側(cè)受壓，外力偶Me對(duì)截面形心點(diǎn)矩取負(fù)值，于是 可求出AB段內(nèi)彎矩的極值。M極值=Fra X L6 _ ； q X 1.62 = 6.4kN.m表2彎矩值位置A右極值B左B右C左彎矩 M(kN.m)06.4_8_8_8由以上彎矩值并結(jié)合各段彎矩圖線形，便可繪出該 梁的彎矩圖如圖8(c)所示。五、結(jié)論本文在截面法的基礎(chǔ)上總結(jié)出了軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和 彎曲基本變形形式下構(gòu)件內(nèi)力求解的簡(jiǎn)便方法。內(nèi)力 與外力有關(guān),等于外力或外力矩的代數(shù)和，而外力和外 力矩符號(hào)的確定是關(guān)鍵。提出將截面處的內(nèi)力用固定 端約束代替，使脫離體成為懸臂梁。軸向拉壓變形